第3章 线性定常系统的线性变换

线性定常系统的线性变换章本章介绍常用的线性变换方法，以及非奇异线性变换的一些不变特性。2021/5/913.1状态空间表达式的线性变换

在前面学习建立系统动态方程时已经看到，选取不同的状态变量，可以得到不同形式的动态方程。若两组状态变量之间用一个非奇异矩阵联系着，则两组动态方程的矩阵与该非奇异矩阵有确定关系。

设系统动态方程为令式中，P为非奇异线性变换矩阵，变换后的动态方程为式中并称对系统进行P变换。线性变换的目的：揭示系统特性及分析计算。线性变换的影响：不改变系统原有的性质。2021/5/92几种常用的线性变换关系

1化A阵为对角阵

⑴设A阵为任意方阵。且有n个互异实特征值λ1，λ2，…，λn，则可由非奇异线性变换化为对角阵Λ。P阵由A阵的实数特征向量pi(i=1,2,…,n)组成特征向量满足2021/5/93⑶设A阵具有m重实数特征值λ1，其余为(n-m)个互异实数特征值。在求解Api=λ1pi(i=1,2,…,m)时仍有m个独立特征向量p1,p2,…,pm，仍然可使A阵化为对角阵Λ。⑵若A为友矩阵，且有n个互异实特征值λ1，λ2，…，λn，则下列的范德蒙特矩阵P可使A对角化：式中，pm+1,pm+2,…,pn为互异实数特征值对应的实特征向量。2021/5/94

⑴设A阵具有m重实特征值

λ1，其余为n-m个互异实特征值，但在求解Api=λ1pi(i=1,2,…,m)时只有一个实特征向量p1，则只能使A化为约当阵J。2化A阵为约当型J中虚线表示存在一个约当块。式中p2,p3,…,pm为广义实特征向量，满足2021/5/95

⑵若A阵为友矩阵，具有m重实特征值

λ1，且只有一个实特征向量p1，则使A约当化的P阵为J中虚线表示存在一个约当块。式中p2,p3,…,pm为广义实特征向量，满足pm+1,pm+2,…,pn是互异特征值对应的实特征向量。2021/5/96⑶设A阵具有五重实特征值

λ1，且只有两个独立实特征向量p1,p2,其余为n-5个互异时特征值，A阵约当化的可能形式如下，式中，J中虚线表示存在两个约当块。2021/5/973化可控系统为可控标准型

已知单输入线性定常系统的状态方程的可控标准型为与之相对应的可控性矩阵S为S是一个右下三角形，主对角线元素均为1，故detS≠0，系统一定可控。2021/5/98

任何一个可控系统，当A，b不具有可控标准型时，一定可通过适当的变换化为可控标准型。

已知可控系统的状态方程为进行P-1

变换，即令变换为要求

？如何确定变换矩阵P2021/5/99

推导变换矩阵P：P应该满足式（3-227），有展开得

假设变换矩阵P为2021/5/910整理后得由此可得变换矩阵P又根据b阵变换要求，P应该满足式（3-227），有2021/5/911即 ①计算可控性矩阵S＝[bAb…An-1b]; ②计算可控性矩阵的逆阵S-1, 设一般形式为故上式表明，p1是可控矩阵的逆阵的最后一行。因此可得出变换矩阵P-1的求法： ③取出S-1的最后一行，构成p1行向量 ④构造P阵 ⑤P-1便是讲非标准型可控系统化为可控标准型的变换矩阵2021/5/9123.2对偶原理

对偶原理可使系统的研究更加方便。

设系统为S1(A,B,C)，则系统S2(AT,CT,BT)为系统S1的对偶系统。特征方程分别为：

系统与对偶系统之间，其输入、输出向量的维数是相交换的。S1与S2互为对偶系统。特点：①S1的可控性矩阵与S2的可观测性矩阵完全相同。②S1的可观测性矩阵与S2的可控性矩阵完全相同。③可把可观测的SISO系统化为可观测标准型的问题转化为将其对偶系统化为可控标准型的问题。2021/5/913利用已知的化可控标准型的原理和步骤，获得可观测标准型的步骤：⑴列出对偶系统的可控性矩阵（即原系统的可观测性矩阵V2）⑵求V2的逆阵V2-1，且记为行向量组⑶取V2-1的第n行νnT，并按下列规则构造变换矩阵P2021/5/914

⑷求P-1，引入P-1变换⑸对对偶系统再利用对偶原理，便可获得原系统的可观测标准型，结果为与原系统动态方程相比较，可知将原系统化为可观测标准型需要进行PT变换，即令其中，νn为原系统可观测性矩阵的逆阵中第n行的转置。2021/5/9153.3非奇异线性变换的不变性1变换后系统特征值不变变换后系统的特征值为令线性变换线性变换后的动态方程为系统变换后与变换前的特征值完全相同。

?

非奇异线性变换后，系统的固有特性是否会改变？系统特征值；？系统传递矩阵；？系统可控、可观测性；

设系统的动态方程为2021/5/9162变换后系统传递矩阵不变3变换后系统可控性不变变换后系统可控性矩阵的秩为系统变换后，可控性矩阵的秩相同，系统的可控性不变。

变换后系统的传递矩阵为

变换前后系统的传递矩阵完全相同。2021/5/9174变换后系统可观测性不变变换前后系统的可观测性矩阵的秩相等，故系统的可观测性不变。

变换后系统的可观测性矩阵为V’，变换前系统的可观测性矩阵为V，则2021/5/9183.4线性定常系统的结构分解定义、意义、方法和过程定义：从可控性、可观测性出发，状态可分解成可控可观测

、可控不可观测

、不可控可观测

、不可控不可观测

四类，由

对应状态变量作坐标轴构成的子空间也分为四类，把系统也随应分成四类系统子系统，称为系统的结构分解。

意义：研究规范系统分解能更明显地揭示系统结构特性、传递特性，并与稳定性分析、反馈校正等密切相关。方法：选取一种特殊的线性变换，使原来的状态向量x变换成

，相应地使原动态方程中的A、B、C矩阵变换成某种标准构造的形式。过程：可以先从整个系统的可控性分解开始，将可控、不可控的状态变量分离开，继而分别对可控。不可控子系统进行可观测性分解，便可以分离出四类状态变量及四类子系统。2021/5/9191系统按可控性分解设不可控系统动态方程为系统可控性矩阵的秩为r（r<n），从可控性矩阵中选出r个线性无关的列向量s1,s2,…,sr，另外再任意选取尽可能简单的（n－r）个列向量sr+1,sr+2,…,sn，使它们与{s1,s2,…,sr}线性无关，这样就可以构成（n×n）非奇异变换矩阵

对式（3－249）进行非奇异线性变换，式中

为r维可控状态子向量，

为（n-r）维不可控状态子向量，且

式（3－249）便变成下列的规范表达式

2021/5/920展开式（3－251），有将输出量进行分解，可得可控子系统、不可控子系统的动态方程分别为：可控子系统动态方程不可控子系统动态方程

2021/5/921

系统结构的可控性规范分解具有下列特点：

⑴由于2021/5/922

设一个可控性规范分解系统为但是，不可控子系统

对整个系统的影响依然存在不可忽视，如要求

仅含稳定特征值，以保证整个系统稳定，并且应考虑可控子系统的状态响应

及系统输出响应y（t）均与

有关。

⑶由于选取非奇异变换阵P-1的列向量s1,s2,…,sr，及sr+1,sr+2,…,sn，的非唯一性，虽然可控性规范分解的形式相同，但诸系数阵不相同，故可控性规范分解不是惟一的。因而r维系统是可控的，并且与(A,B,C)具有相同的传递函数矩阵。如果从传递函数的角度分析系统(A,B,C)时，可以等价地用分析子系统来代替，由于后者维数已经降低，可能会使分析变得简单。

⑵输入u只能通过可控子系统传递到输出，而与不可控子系统无关，故u至y之间的传递函数矩阵描述不能反映不可控部分的特征。2021/5/923

设另一个可控性规范分解系统为⑷由于2021/5/924故⑸线性定常系统完全可控的充要条件是，系统经过非奇异线性变换不能化成（3-251）的形式。对于维数较大系统的可控性判别，这是一种好方法。2021/5/925例3－32已知系统（A，b，c）如下，试按可控性进行分解。解

计算可控性矩阵的秩

故不可控。从中选出两个线性无关列，附加任意列向量

构成非奇异变换矩阵

。并计算变换后的各矩阵

2021/5/926续可控子系统动态方程为

不可控子系统动态方程为

2021/5/9272系统按可观测性分解观测矩阵的秩为l（l<n），在V中任意选取l个线性无关的行向量t1,t2,…,tl，此外再选取n-l个与之线性无关的行向量tl+1,…,tn，构成非奇异线性变换阵设不可观测系统动态方程如下，其可观测矩阵的秩为l（l<n）系统的可观测矩阵2021/5/928对式（3-261）进行非奇异线性变换式中，xo为l维可观测状态子向量，

为（n－l）维不可观测状态子向量

l列

(n-l)列

p列（3－265）

q行

l列

(n-l)列

可得系统结构按可观测性分解的规范表达式2021/5/929展开式（3－265），有可观测子系统动态方程为

不可观测子系统动态方程为

2021/5/930例3-34试将例3－32所示系统按可观测性进行分解解

计算

可观测性矩阵的秩

故不可观测，从中选出两个线性无关的行，附加任意一行，构成非奇异变换矩阵T并计算变换后各矩阵

2021/5/931可观测子系统动态方程为不可观测子系统动态方程为

2021/5/9323系统结构的规范分解（按可控性、可观测性分解）先对系统进行可控性分解，即引入状态变换

式中

基于系统可控性矩阵来构造。继而对可控子系统进行可观测性分解，即引入状态变换其To1基于可控子系统得可观测性矩阵来构造。最后对不可控子系统进行观测性分解，即引入状态变换

设不可控、不可观测系统动态方程如下，其To2基于不可控子系统的可观测性矩阵来构造。2021/5/933综合上面三次状态变换，有下列状态变换关系当系统（A、B、C）引入该

T-1

变换后，能将系统变换为下列规范构造形式

2021/5/934展开上式可得可控、可观测子系统动态方程为

可控、不可观测子系统动态方程为

不可控、可观测系统动态方程为

不可控、不可观测系统动态方程为

系统的特征值由

矩阵的特征值集合而成。系统传递函数矩阵2021/5/935传递函数矩阵仅描述可控、可观测子系统的特性。是对系统结构的一种不完全描述。只有当系统可控且可观测时，输入-