现代控制理论自用

现代控制理论自用第一页，共三十五页，编辑于2023年，星期日注：类似其中为矩阵；为矩阵1.齐次线性方程的非零解考虑下面结论成立的行列式不为零等价于方程有唯一零解；的行列式为零等价于方程有非零解，且解构成向量空间，基础解析所含向量的个数（解空间的维数）为；一.预备知识§2.1系统的可控性第二页，共三十五页，编辑于2023年，星期日2.凯莱-哈密顿定理设n阶矩阵A的特征多项式为则A满足其特征方程，即式（2.2-2）称为凯特-哈密顿定理。证明据逆矩阵定义有式中B(λ)为(λI-A)的伴随矩阵，其一般展开式为第三页，共三十五页，编辑于2023年，星期日B(λ)的元素均为

(n+1)阶多项式，根据矩阵加法规则将其分解为n个矩阵之和，即Bn-1,Bn-2,…,B0为n阶矩阵。将式(2.1－3)的两端右乘

将式（2.1－4）代入式（2.1－5）并展开，有第四页，共三十五页，编辑于2023年，星期日由方程两端λ同幂项系数相等的条件有将式

的前n个等式两端按顺序右乘An,An-1,…,A将式

中各式相加，则证毕。第五页，共三十五页，编辑于2023年，星期日证明故上述推论成立。式中αm与A阵的元素有关。该推论可用以简化矩阵的幂的计算。推论1

矩阵A的k（k≥n）次幂，可表示为A的（n-1）阶多项式第六页，共三十五页，编辑于2023年，星期日这是由于令推论2矩阵指数eAt可表为A的（n-1）阶多项式第七页，共三十五页，编辑于2023年，星期日则有

故推论2成立。式（2－126）中的α

0(t),α

1(t),…,α

n-1(t)均为t的幂函数。第八页，共三十五页，编辑于2023年，星期日动态系统的可控性和可观测性是揭示动态系统不变的本质特征的两个重要的基本结构特性。系统可控性指的是控制作用对被控系统的状态和输出进行控制的可能性。可观测性反映由能直接测量的输入输出的量测值来确定反映系统内部动态特性的状态的可能性。为什么经典控制理论没有涉及到可控性和可观测性问题?二.

线性定常系统的可控性及其判据第九页，共三十五页，编辑于2023年，星期日例2.1.1:

给定系统的状态空间模型与结构图分别为本例中,状态变量x1的运动只受初始状态x1(0)的影响,与输入无关,即输入u(t)不可控制x1(t)的运动,而且x1(t)不能在有限时间内衰减到零。因此,状态x1(t)不可控,则整个系统是状态不完全可控的。1/s-1-21/s第十页，共三十五页，编辑于2023年，星期日线性定常系统的状态方程为

给定系统一个初始状态，如果在的有限时间区间内，存在容许控制，使，则称系统状态在时刻是能控的；如果系统对任意一个初始状态都能控，则称系统是状态完全能控的。1.能控性定义说明：1）初始状态是状态空间中的任意非零有限点，控制的目标是状态空间的坐标原点。（如果控制目标不是坐标原点，可以通过坐标平移，使其在新的坐标系下是坐标原点。）维向量输出,为满足矩阵运算的矩阵。其中，为维向量，为维向量输入，为第十一页，共三十五页，编辑于2023年，星期日5）当系统中存在不依赖于的确定性干扰时，不会改变系统的能控性。2）如果在有限时间区间内，存在容许控制，使系统从状态空间坐标原点推向预先指定的状态，则称系统是状态可达的；由于连续系统的状态转移矩阵是非奇异的，因此系统的可控性和可达性是等价的。3）只有整个状态空间中所有的有限点都是可控的，系统才是可控的。4）满足

式的初始状态，必是可控状态。第十二页，共三十五页，编辑于2023年，星期日2.线性定常连续系统的状态可控性判据线性定常连续系统的状态方程格拉姆矩阵判据秩判据PBH秩判据模态判据运算的矩阵。其中，为维向量，为维向量输入，为满足矩阵第十三页，共三十五页，编辑于2023年，星期日1）格拉姆矩阵判据

线性定常连续系统式

完全可控的充要条件是，存在时刻t1>0，使如下定义的格拉姆矩阵：非奇异。证明

充分性：已知

为非奇异，欲证系统完全可控。已知

非奇异，故

存在。对于任一非零初始状态

可选取

为则在

作用下系统

在

时刻的解为第十四页，共三十五页，编辑于2023年，星期日必要性:已知系统完全可控，欲证

为非奇异。表明，对任一取定的初始状态

，都存在有限时刻

和控制

，使状态由

转移到t1时刻的状态

，于是根据定义可知系统完全可控。充分性得证。采用反证法。设

为奇异，则存在某个非零向量成立，由此可导出第十五页，共三十五页，编辑于2023年，星期日由此又可导出其中||·||为范数，故其必为正值。于是，欲使式

成立，应当有另一方面，因系统完全可控，根据定义对此非零向量应当有第十六页，共三十五页，编辑于2023年，星期日再利用式（2.1－19），由式（2.1－22）可以得到显然，此结果与假设相矛盾，即

为非奇异因此，若系统完全可控，

必为非奇异。必要性得证。证毕。

可以看出，在应用格拉姆矩阵判据时需计算矩阵指数eAt，在A的维数n较大时计算eAt是困难的。所以格拉姆矩阵判据主要用于理论分析。线性定常连续系统可控性的常用判据是直接由矩阵A和B判断可控性的秩判据。。的反设不成立。第十七页，共三十五页，编辑于2023年，星期日2)秩判据线性定常连续系统

完全可控的充要条件其中n为矩阵A的维数，称为系统的可控性判别阵。证明

充分性：已知rankS＝n，欲证系统完全可控。采用反证法。反设系统为不完全可控，则根据格拉姆矩阵判据可知为奇异，这意味着存在某个非零n维向量α使成立。显然，由此可导出将式

求导直至n－1次，再在所得结果中令t＝0，得到第十八页，共三十五页，编辑于2023年，星期日式

又可表示为由于α≠0，所以式

意味着S为行线性相关，即rankS<n,这显然和已知rankS=n相矛盾。因而反设不成立，系统应为完全可控。必要性：已知系统完全可控，欲证rankS=n.采用反证法。反设rankS<n,这意味着S为线性相关，因此必存在一个非零n维常数向量α使成立。考虑到问题的一般性，由上式可导出根据凯莱－哈密顿定理，An，An+1，…均为可表示为A的（n－1）阶多项式，因而式

又可写为第十九页，共三十五页，编辑于2023年，星期日从而对任意t1>0有从而因而有由于已知α≠0，若式

成立，则W（0，t1）必为奇异，系统为不完全可控，与已知结果相矛盾。于是有rankS=n,必要性得证。秩判据证毕。第二十页，共三十五页，编辑于2023年，星期日例2.1.2判断下列状态方程的可控性解系统的可控性矩阵显见S矩阵的第二、第三行元素绝对值相同，rankS=2<3,系统不可控。第二十一页，共三十五页，编辑于2023年，星期日3)PBH秩判据

线性定常连续系统

完全可控的充要条件是，对矩阵A的所有特征值λi(i=1,2,3,…,n),均成立，或等价地表示为证明必要性：已知系统完全可控，欲证式

成立。采用反证法。反设对某个为线性相关，因而必存在一个非零常数向量α，使成立。考虑到问题的一般性，由式

可导出即(sI-A)和B是左互质的。

由于这一判据由波波夫和贝尔维奇(Belevitch)首先提出并由豪塔斯(Hautus)最先指出其广泛应用性，故称为PBH秩判据。第二十二页，共三十五页，编辑于2023年，星期日进而可得于是有因已知α≠0，所以欲使式

成立，必有这意味着系统不可控，显然与已知条件相矛盾，因而反设不成立，而式

成立。考虑到[sI-AB]为多项式矩阵，且对复数域C上除λi(i=1,2,3,…,n)以外的所有s均有det(sI-A)≠0，所以式

等价于式

。必要性得证。充分性：已知式

成立，欲证系统完全可控。采用反证法。利用与上述相反的思路，即可证明充分性。至此，PBH秩判据证毕。第二十三页，共三十五页，编辑于2023年，星期日例2.1.3已知线性定常系统的状态方程为试判断系统的可控性。解根据状态方程可写出考虑到A的特征值为所以只需对它们来检验上述矩阵的秩。通过计算可知，第二十四页，共三十五页，编辑于2023年，星期日计算结果表明，充分必要条件

成立，故系统完全可控。第二十五页，共三十五页，编辑于2023年，星期日解由方程|iI-A|=0,可解得矩阵A的特征值分别为1,2和3。对特征值1=1,有例2.1.4：试判断如下系统的状态可控性。第二十六页，共三十五页，编辑于2023年，星期日对特征值2=2,有对特征值3=3,有由PBH秩判据可知,该系统状态不完全可控。第二十七页，共三十五页，编辑于2023年，星期日4）约当规范型判据（模态判据）

线性定常连续系统

完全可控的充要条件分两种情况：⑴矩阵A的特征值λi(i=1,2,3,…,m),是两两相异的。由线性变换可将式

变为对角规范型则系统

完全可控的充分必要条件是，在式

中，不包含元素全为零的行。证明可用秩判据予以证明，推证过程略。第二十八页，共三十五页，编辑于2023年，星期日例2.1.5已知线性定常系统的对角线规范型为（9－148）试判定系统的可控性。解由于此规范型中不包含元素全为零的行，故系统完全可控。第二十九页，共三十五页，编辑于2023年，星期日例题：判断下述系统的状态可控性第三十页，共三十五页，编辑于2023年，星期日⑵矩阵A的特征值为由线性变换可将式

化为约当规范型其中第三十一页，共三十五页，编辑于2023年，星期日第三十二页，共三十五页，编辑于2023年，星期日对均为行线性无关最后一行所组成的矩阵证明可用PBH秩判据予以证明，此处略去推证过程。第三十三页，共三十五页，编辑于2023年，星期日例2.1.6给定线性定常系统的约当规范型如下，试判定系统的可控性。解由于矩阵和都是行线性无关的，的元素不全为零，故