现代制造技术基础理论第八讲

现代制造技术基础理论第八讲第一页，共三十八页，编辑于2023年，星期日主要内容机床颤振基础理论知识单自由度线性振动系统非线性振动的定性分析速度反馈引起的切削颤振；位移延时反馈引起的切削颤振；模态耦合引起的切削颤振第八讲：机床颤振的基本理论第二页，共三十八页，编辑于2023年，星期日1.自由振动振动方程：(1)当时,系统作频率为的简谐振动:(2)当时,系统作衰减振荡:频率为小于系统的固有频率.每过一个周期，振幅减小（3）当时,系统作衰减的非周期振动（4）当时为负阻尼,系统作发散振荡8.1单自由度线性振动系统第三页，共三十八页，编辑于2023年，星期日2.受迫振动方程(1)当时稳态响应是与激励频率ω相同的简谐振动(2)稳态响应的振幅A取决于激励的幅值B和频率比(3)稳态响应的相位差θ取决于频率比s:第四页，共三十八页，编辑于2023年，星期日2.受迫振动方程(4)当激励频率为时稳态响应的振幅A有极大值,称为共振;(5)ξ=0,时,系统作振幅随时间增大的发散振荡，即共振的过渡过程.(6)系统在若干激励同时作用下的响应，等于它们单独作用时的响应的叠加。第五页，共三十八页，编辑于2023年，星期日1.相平面内的相轨迹单自由度机械系统的自由振动:引入新的变量y表示速度:系统的运动状态由位置x及速度体现,构成系统的状态变量。动力学方程可改写为一阶微分方程组：以x，y为直角坐标建立的坐标平面称为相平面。与系统的运动状态一一对应的相平面上的点称为系统的相点相点移动的轨迹称为相轨迹；不同初始条件的相轨迹组成相轨迹族8.2非线性振动的定性分析第六页，共三十八页，编辑于2023年，星期日2.相轨迹的奇点将状态变量的一阶微分方程的两式相除得到相轨迹的一阶微分方程:给定系统的作用力,即函数f(x,y)确定后，上式确定相平面内各点的向量场，构成相轨迹族。第七页，共三十八页，编辑于2023年，星期日奇点：相平面内使相轨迹的一阶微分方程右边分子分母同时为零的点。奇点表明系统的速度和加速度均为零，即系统的平衡状态，也将奇点称为系统的平衡点；奇点可以是稳定的也可以是不稳定的。3.保守系统的自由振动保守系统的动力学方程:相轨迹微分方程:此方程分离变量积分,得到相轨迹方程:保守系统的相轨迹的特点(1)相轨迹曲线相对横坐标对称第八页，共三十八页，编辑于2023年，星期日(2)势能曲线z=V(x)与横坐标的平行线z=E交点的横坐标x=C1、C2、C3，相轨迹和横坐标相交。(3)势能曲线z=V(x)驻点相对应的点x=S1、S2、S3为奇点，满足奇点的条件。(4)在势能取极小值的x=S1处，设E>V(S1),则在x=S1的某个小邻域内都有E≥V(S1)

在相平面上可以得到一个围绕奇点的封闭相轨迹。当E减小时，封闭轨迹逐渐收缩，而当E=V(S1)，缩为奇点S1。当E<V(S1),相平面上不存在相应的相轨迹。这类型的奇点是稳定的，称为中心，对应系统的稳定平衡状态第九页，共三十八页，编辑于2023年，星期日(5)在势能取极大值的x=S2处，设E<V(S2),则在区间(C2，C3）内没有对应的轨迹，而在x<C2及x>C3处

得到相轨迹的两个分支，当E增大时这两支曲线逐渐靠近，当E=V(S2)时它们在奇点S2处相接触。当E>V(S2)则演变成分布在x轴上、下方的两支曲线这类型的奇点是不稳定的，称为鞍点，对应系统的不稳定平衡状态通过鞍点的相轨迹称为分隔线。（6）在势能曲线的拐点x=S3处，相轨迹在x<S3的左半边具有中心性质，在x>S3的右半边具有鞍点性质,相轨迹不封闭。这种奇点为退化的鞍点，对应不稳定的平衡状态第十页，共三十八页，编辑于2023年，星期日4.极限环:自激振动相平面(相空间)轨线相图第十一页，共三十八页，编辑于2023年，星期日5.自激振动的特征振动过程中，存在能量的输入与耗散，因此为非保守系统；能源恒定，能量的输入仅受运动状态，既振动的位移和速度的调节，因此自振系统不显含时间变量，为自治系统；振动的特征量如频率和振幅，由系统的物理参数确定，与初始条件无关；自振系统必为非线性系统；自激振动的稳定性取决于能量的输入与耗散的相互关系，若振幅偏离稳态值时，能量的增减能使振幅回到稳态值，则自激振动稳定，反之不稳定。第十二页，共三十八页，编辑于2023年，星期日自激振动的能量特性第十三页，共三十八页，编辑于2023年，星期日自激振动的例子第十四页，共三十八页，编辑于2023年，星期日激振力:速度反馈系统组成8.2：速度反馈引起的切削颤振第十五页，共三十八页，编辑于2023年，星期日1.切削过程中的速度反馈机制

名义切削速度:理想情况下:V、、弹簧的压缩量保持不变，切削过程平稳进行，切削系统处于平衡点；平衡状态的稳定性取决于系统工作点的位置：A点不稳定；B点稳定系统的运动方程第十六页，共三十八页，编辑于2023年，星期日2.速度反馈所形成的负阻尼将在附近展开,得如果仅研究刚开始发生颤振的情况,假定与比较,很小,可只取其线性项,略去高次项。第一项是常数项对振动无影响，可略去。记则运动方程可表示为即系统的阻尼由两部分组成

（1）振动系统本身的阻尼，正阻尼

（2）速度反馈而形成的等效阻尼，可正可负第十七页，共三十八页，编辑于2023年，星期日负阻尼令运动方程为上式的通解为负阻尼系统是不稳定的:原因第十八页，共三十八页，编辑于2023年，星期日3.自激振动的能量机制切削过程的能量机制当机床工作在切削力的下降特性区域时，切削力将对振动系统做净的正功，即对振动系统输入能量；

而当机床工作在切削力的上升特性区域时，切削力对振动系统做净的负功，即振动系统的能量被切削过程耗散掉。对能量机制的说明第十九页，共三十八页，编辑于2023年，星期日3.自激振动的能量机制切削过程的能量的估算

当ξ比较小时上式成为

切削力在一个振动周期做的功对能量机制的重新说明机床结构的内阻所耗散的能量总能量:第二十页，共三十八页，编辑于2023年，星期日4.能量平衡与振幅稳定性总能量:和的关系取切削力的高次项(三项)再求切削力在一个振动周期所做的功要达到能量平衡即可得能量平衡时的稳定振幅进一步分析由负阻尼引起的不稳定（动态不稳定）第二十一页，共三十八页，编辑于2023年，星期日4.颤振的阈限切削力的下降特性所激起的颤振主要在精密切削条件下发生。这时刀具后刀面与工件切削表面之间的摩擦力成为主切削力的主要成分，一般认为这一摩擦力与后刀面和工件之间的接触面积成正比，而该接触面积又正比于刀具后刀而磨损棱带的平均宽度VB，于是可将主切削力写为是单位磨损宽度所对应的主切削力,可得稳定与不稳定之间的临界情况后刀面的临界磨损量第二十二页，共三十八页，编辑于2023年，星期日1.位移反馈、负刚度和静态不稳定性运动方程:系统的特点：是作用在振动体上的力本身又受到其振动位移的控制。上式中F(x)一般是非线性函数，当c较小时，可将之在x＝0附近展成幂级数，仅取其一次项，而略去高次项和常数项，得运动方程成为系统的刚度变化系统的固有频率负刚度8.3位移延时反馈引起的切削颤振第二十三页，共三十八页，编辑于2023年，星期日稳定性（单摆）负刚度的讨论运动方程成为其特征方程特征根方程的通解为由负刚度引起的失稳称静态不稳定第二十四页，共三十八页，编辑于2023年，星期日静态不稳定实例切削过程扎刀现象振动位移反馈机制第二十五页，共三十八页，编辑于2023年，星期日位移反馈引起的等效刚度计算刀杆刚度由dF引起的挠度和转角设刀刃到刀杆中性面之间的距离为Z根据几何关系有:将切削力与切削厚度之间的函数关系展开切削力的增量由于是ds的增函数,故有,因此第二十六页，共三十八页，编辑于2023年，星期日位移反馈引起的等效刚度计算等效刚度系统的总刚度“扎刀”现象的条件防止“扎刀”现象的措施改变刀杆的形状，使得当刀刃向下变形时，它同时会退离工件，而不是扎入工件，这样上式中的第二项会变成正刚度，不会再失稳。单纯的位移反馈或者只能使系统原来的正刚度增加，或者形成负刚度而引起静态不稳定，但不可能引起动态不稳定，即不可能引起自激振动。位移的延时反馈却可以引起自激振动。第二十七页，共三十八页，编辑于2023年，星期日2位移的延时反馈延时反馈系统:如果作用在系统上的瞬时激振力F(t)不是受到当时的振动位移x(t)的控制，而是受到某一时段T以前的振动位移x(t-T)的控制，则得到位移的延时反馈系统，或称为“时延系统”。运动方程将Fx(t-T)线性化时延系统的稳定性：可稳定也可不稳定分析可稳定和不稳定之间的中间状态：产生等幅振动的可能性第二十八页，共三十八页，编辑于2023年，星期日设因此引入记号可得运动方程为：位移的延时反馈等价于位移与速度同时反馈，它同时改变了系统的阻尼与刚度延时反馈产生的等效刚度与等效阻尼系数。视时延了的长短，可以出现负的刚度或负的阻尼，从而引起静态或动态的不稳定。第二十九页，共三十八页，编辑于2023年，星期日3.金属切削过程的再生颤振(1)再生颤振系统(2)运动方程式中：h是滞后阻尼系数。采用滞后阻尼只是为了使后面的公式比较整齐，当阻尼比较小，而且系统作简谐振动时，无论采用滞后阻尼模型或粘滞阻尼模型，其差别都不大。上式右边的负号是由于对作用在刀具上的切削力F(t)的正向与工具振动位移x(t)的正向作了相反的规定。如果切削厚度的变化比较小，

则切削力的动态增量第三十页，共三十八页，编辑于2023年，星期日展直切削厚度考虑x(t)为等幅谐波有T为工件一转的周期,β为两相邻两圈刀刃波纹之间的相位差记第三十一页，共三十八页，编辑于2023年，星期日切削厚度的动态变化量切削力的动态变化量激振力同时受到振动位移和振动速度的控制，证明了位移的延时反馈相当于位移与速度同时反馈。运动方程可写为分析刚度和阻尼分析稳定性第三十二页，共三十八页，编辑于2023年，星期日(3)稳定性方程和稳定性图临界状态临界切削宽度稳定性阈临界状态下的固有频率系统的稳定性方程组稳定性图第三十三页，共三十八页，编辑于2023年，星期日(4)能量传输机制功的计算由此式可见，当β＝0-180º时，B>0．即切削力对振动系统做负功，振动系统将机械能馈送回切削过程，作为热能消耗掉，因此切削过程是稳定的；当β＝180-360º时，B<0，切削力做正功，如果此正功大干机床结构的阻尼所消耗的能量，振动能量将不断积累．振动加剧，切削过程是不稳定的。第三十四页，共三十八页，编辑于2023年，星期日两自由度振动系统的自由振动的运动方程非耦合的二自由度方程通过载荷中位移反馈耦合起来上式移项并整理后得如果是单自由度系统，是不会发生自激振动的。可是两自由度系统，振动位移在两个自由度之间的交叉反馈，却有可能导致系统失稳，从而引发颤振。8.4模态耦合引起的切削颤振1.模态耦合与模态耦合系统的稳定性第三十五页，共三十八页，编辑于2023年，星期日系统的稳定性判别设系统的解代入运动方程得非零解的条件展开得到特征方程令特征方程成为第三十六页，共三十八页，编辑于2023年，星期日系统的稳定性判别特征方程的解

对p及系统稳定性的影响(1)