九年级数学寒假班培优讲义

个性化教学辅导教案

学生姓名年级九年级学科数学

上课时间2017年月日教师姓名

课题圆的有关概念

1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等孤的概念.

2.探索并掌握垂径定理及其推论.

教学目标

3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论.

4.知道三角形的外心，并能画任意三角形的外接圆.

教学过程

教师活动学生活动

1.圆的基本概念:

在同一平面内，线段0A绕它固定的一个端点形成的图形叫做圆,

叫做圆4行间的,叫做圆弧；在同圆

或等圆中的弧等弧.

2.圆的有弓

(1)称性：圆是中‘心对称图形,是它的对称中心；圆恺是轴对称图形,

.都是它的利称轴.

(2)圆心角、弧、我之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两票

条疾中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别

(3)垂径定理:垂直于弦的直径眩，并且平分弦所学।两条弧

论：平分弦(不是直径)的直径于弦,所对的两条弧.

圆心角和圆周角:

1)圆心角：顶点在.心角的度,它所对的弧的

度数.

圆周角：顶圆上，两边都与圆的角㈣故圆糊角.

⑧问题定

1.如图，CD是。O的直径，弦AB_LCD于E,ZBCD=25°,则下列结论错误的是

()

A.AE=BEB.OE=DE

C.ZAOD=50°D.D是弧AB的中点

2.如图，在。O中，弦AB〃CD.若/ABC=40。，则NBOD的度数为()

A.20°B.40°C.50°D.80°

3.如图，OC过原点，且与两坐标轴分别交于点A、B,点A的坐标为(0,3),M

是第三象限内弧OB上一点，ZBMO=120°,则。C的半径长为()

A.6B.5C.3D.3•夜

4.如图，NPAC=30。，在射线AC上顺次截取AD=3cm,DB=IOcm.以DB为

直径作。O交射线AP于E、F两点，则EF的长是cm.

5.如图，00是△ABC的外接圆，AB是00的直径，D为。。上一点，ODLAC,

垂足为E,连接BD.

(1)求证：BD平分/ABC；

(2)当NODB=30。时，求证：BC=OD

◎精准突破

教学目标：

1、理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等孤的概念.

2、探索并掌握垂径定理及其推论.

3、探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论.

4、知道三角形的外心，并能画任意三角形的外接圆.

目标分解：【掌握圆的有关概念和计算】

①知道圆由圆心与半径确定，了解圆的对称性.

②通过图形直观识别圆的弦、弧、圆心角等基本元素.

③利用圆的对称性探索弧、弦、圆心角之间的关系，并会进行简单计算和说理.

④探索并了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征.

⑤掌握垂径定理及其推论，并能进行计算和说理.

⑥了解三角形外心、三角形外接圆和圆内接三角形的概念.

⑦掌握圆内接四边形的性质

知识点梳理：

1.圆的有关概念和性质

（1）圆的有关概念

①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点

为圆心，定长为半径.

②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，

小于半圆的弧称为劣弧.

③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.

（2）圆的有关性质

①圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形,

对称中心为圆心.

②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.

③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两

条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周

角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径.

④三角形的内心和外心

④确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆.

@三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外

接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角

形的外心.

©三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切

圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心

2.与圆有关的角

（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数.

（2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。圆周角的度数

等于它所对的弧的度数的一半.

（3）圆心角与圆周角的关系：

同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

（4）圆内接四边形：顶点都在国上的四边形，叫圆内接四边形.

圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角.

【考点总汇】

一、垂径定理及推论

1.垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的。

2推.理：平分弦（不是直径）的直径，并且平分弦所对的。

微拨炉：

1.在推论中，被平分的弦不能是直径，因为所有的直径均互相平分。

2.垂径定理及其推论是证明两条线段相等，两条弧相等及两条直线垂直的重要

依据之一，在有关弦长、弦心距的计算中常常作垂直于弦的线段，构造直角三

角形。

考点一垂径定理及其推论

例1.如图，AB为。。的直径，弦CD_LAB于E,已知CD=12,

A43

BE=2,则。。的直径为（）T

A.8B.10C.16D.20例1图

【变式训练】己知在以点。为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C,。

(如图).

(1)求证：AC=BD.

(2)若大圆的半径&=10,小圆的半径r=8,且点。到直线A8的距离为6,求AC

的长./-----、

得分要领：

1.找准相应线段的长：半径、弦长、弦心距。

2.利用垂径定理构造直角三角形：弦的一半、弦心距分别作为直角边、半径作为斜边。

3.利用勾股定理解决问题。

【考题回放】

1.如图，。。的直径C。垂直弦A3于点E,且CE=2,DE=8,则AB的长为

()

A.2B.4C.6D.8

第1题第2题第3题

2.如图，CO是。。的直径，弦于E，连接8C,30.下列结论中不一定正

确的是()

A.AE=BEBAD=SC.OE=DED.ZZ)JBC=90°

3.如图，点P是等边三角形ABC外接圆。。上的点，在以下判断中，不正确的是

()

A.当弦P8最长时，△APC是等腰三角形

B.当△APC是等腰三角形时，P01AC

C.当POJ.AC时，ZACP=30°

D.当NACP=30°时，△BPC是直角三角形

4.如图，圆O的直径CZ)=l()cm,且AB_LCD,垂足为P,AB=8cm,则

sinZOAP=.

第4题第5题第6题

5.如图，是半圆的直径，点。为圆心，。4=5,弦AC=8,OD1AC,垂足

为E,交。。于点。，连接8E，设NBEC=a,则sina的值为.

6.如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A,8,并

使48与车轮内圆相切于点。，作C£),A3交外圆于点C,测得CD=10cm,

AB=60cm,则这个车轮的外圆半径是cm.

7.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图/比/~、尸力

如图，。。与矩形ABC。的边分别相切和相交：p•

(E,尸是交点)。已知历=CD=8,则。。的半径为../

B''c

二、圆周角定理及其推论

1、弧、弦、圆心角的关系

同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余

各组量也相等。

微拨炉：

应用时一定注意“在同圆或等圆中''的条件；同时要特别注意一条弦所对的弧有两条。

2、圆周角定理及推论

1.定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角，都等于这条弧所对的圆心角的.

2推论：

(1)半圆(或直径)所对的圆周角是，90。的圆周角所对的弦是.

(2)在同圆或等圆中，如果两个圆周角，它们所对的弧一定.

微拨炉：

1.注意定理及推论的条件是“同圆或等圆中

2.一条弦对着两第弧，对着两类圆周角，且这两类圆周角互补。

3.一条弦只对着一个圆心角，却对着无数圆周角。

考点二圆周角定理及其推论

例2.如图，若AB是。O的直径，CD是。0的弦，ZABD=55°,则/BCD的度数

为()

A.35°B.45°C.55°D.75°

子D©D可匕

例2图例3图

变式2(1)变式2(2)

例3.如图，点A、B、C、D在。0上，0点在ND的内部，四边形OABC为平行四

边形，则NOAD+NOCD=_______.

【变式2】(1)如图，△ABC的顶点A,B,C均在。。上，若NABC+NA00=90°，

则NAOC的大小是()

A.30°B.450C.60°D.70°

(2)如图，□ABC。的顶点A,B在。。上，顶点C在。。的直径上，连接AE，

NE=36°，则NAOC的度数是()

A.44°B.54°C.72。D.53°

得分要领：

1.同弧所对的圆周角、圆心角、弦、弦心距等要对应。

2.在解决圆周角问题时，常要考虑同弧所对的圆周角和圆心角的关系，找到一条弦,

利用此关系进行角之间的转化和计算。

3.由于直径所对的圆周角是直角，所以在圆中，有直径时，构造直径所对的圆周角,

利用解直角三角形的知识解决问题，这是圆中最常用的辅助线。

【考题回放】

1.如图，已知A8是△A8C外接圆的直径，NA=35°，N8的度数是（）

2.如图，已知点均在。。上，为优弧，下列选项中与乙4。8相等的

是（）

A.2ZCB.4ZBC.4ZAD.Zfi+ZC

3.从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（）

4.如图，点P在以A3为直径的半圆内，连接AR8P,并

延长分别交半圆于点C。，连接并延长交于点

F，作直线Pb，下列说法正确的是：

①AC垂直平分3尸；②AC平分ZR4F；③

@BD±AF.

A.①②B.①④C.②④D.③④

5.如图，在半径为6cm的。。中，点A是劣弧前的中点，点

。是优弧前上一点，且/。=30°，下列四个结论：

①OAJ.BC；②BC=6gcm；®sinZAOB=—；④四边

2

形ABOC是菱形，其中正确结论的序号是（）

A.①③B.®@③④C.②③④D.①③④

6.如图，已知A,8,C三点在。。上，4。，3。于0,ZB=55°，则/BOC的度

数是.

第6题第7题第8题

7.如图，△A8C为。。的内接三角形，A8为。。的直径，点。在。。上,

ZA£>C=54°.则ZBAC的度数等于.

8.如图，点AB,C,D在。。上，。点在N。的内部，四边形。43c为平行四边形,

则NQ4O+NOCD等于.

三、圆内接四边形的性质

圆内接四边形的对角.

微拨炉:

圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。

考点三圆的性质与其他知识的综合运用

例.如图，为。。的直径，、是。上的两点，过作

4MNABOA例4图

ACLMN于点C,过B作BDLMN于点D,P为DC上的任意一点,若MN=20,

AC=8,BD=6,则PA+PB的最小值是

例5.如图，直径为0A的。P与x轴交于0、A两点，点B、C把弧0A三等分，连

接PC并延长PC交y轴于点D（0,3）.

（1）求证：△P0DZZ\AB0；

（2）若直线心y=kx+b经过圆心P和点D,求直线/的解析式.

⑥巩固练回

一、精心选一选

1.如图，已知。。是△ABD的外接圆，AB是。。的直径，CD是。O的弦，ZABD

=58。，则NBCD等于（）

A.116°B.32°C.58°D.64°

第1题图第2题图第3题图第4题图

2.如图，。。的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=2,DE=8,则AB的长为（）

A.2B.4C.6D.8

3.如图，。。的半径为1,△ABC是。O的内接等边三角形，点D,E在圆上，四

边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是（）

3立

A.2B.小C.2D.2

4.如图，AB是半圆的直径，点D是R的中点，ZABC=50°,则/DAB等于（）

A.55°B.60°C.65°D.70°

5.如图，半径为5的。A中，弦BC,ED所对的圆心角分别是NBAC,

NEAD.已知DE=6,ZBAC+ZEAD=180°,则弦BC的弦心距等

B

MV34

A.2B.2C.4D.3

6.如图，点A,B,C,D为。O上的四个点，AC平分NBAD,AC交BD于点E,

CE=4,CD=6,则AE的长为()

A.4B.5C.6D.7

第6题图第7题图第8题图

7.如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC,AB于D,E两点，连接

BD,DE,若BD平分NABC,则下列结论不一定成立的是（）

A.BD1ACB.AC2=2ABAE

C.△ADE是等腰三角形D.BC=2AD

8.如图，在半径为6cm的。。中，点A是劣弧R的中点，点D是优弧云:上一点，

且ND=30。，下列四个结论：©OA±BC；②BC=6于cm；③sin/AOB=2:④

四边形ABOC是菱形.其中正确结论的序号是（）

A.①③B.①②③④C.②③④D.①③④

二、细心填一填

9.如图，圆O的直径CD=10cm,且AB_LCD,垂足为P,AB=8cm,贝Usin/OAP

，。第9题图），第10题图）

^\BC

10.如图，MN是。O的弦，正方形OABC的顶点B,C在MN上，且点B是CM

的中点，若正方形OABC的边长为7,则MN的长为—.

11.如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线

的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转,

CP与量角器的半圆弧交于点E,第24秒，点E在量角器上对应的读数是一度.

12.如图，圆心角NAOB=30。，弦CA〃OB,延长CO与圆交于点D,则NBOD=

13.如图，点A,B,C,D在。O上，O点在/D的内部，四边形OABC为平行四

边形，则/OAD+NOCD=

14.在。O中，AB是。。的直径，AB=8cm,AC=CD=BD,M是AB上一动点,

CM+DM的最小值是cm.

三、用心做一做

15.如图，AB为。。的直径，弦CDJ_AB,垂足为点E,K为R上一动点，AK,

DC的延长线相交于点F,连接CK,KD.

(1)求证：ZAKD=ZCKF；

(2)若AB=10,CD=6,求tan/CKF的值.

16.如图，AB为。。的直径，点C在。0上，延长BC至点D,使DC=CB,延长

DA与。O的另一个交点为E,连接AC,CE.

(1)求证：ZB=ZD；

(2)若AB=4,BC-AC=2,求CE的长.

17.如图，A,B是圆。上的两点，ZAOB=120°,C是AB弧的中点.

(1)求证：AB平分NOAC；

(2)延长OA至P使得OA=AP,连接PC,若圆0的半径R=l,求PC的长.

18.如图，点A,B,C,D在。O上，AC1_BD于点E,过点O作OFLBC于F.

求证：（1）AAEBS/\OFC；（2）AD=2FO.

同总结优化'

方法技巧（一）运用垂径定理进行解题的方法

在应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如图所示的直角三角形，根据垂径

22

定理与勾股定理有：r=J+^。根据此公式，在“，r,d三个量中，知道任

意两个量就可以求出第三个量。

方法技巧（二）利用弧、弦、圆心角之间的关系解题

在同圆或等圆中，两个圆心角及其所对的两条弧、两条弦中只要有一组量相等，对

应的另外两组量也分别相等。

点拨

在圆中证明弧相等时往往要证明弧所对的圆心角或弦相等，在证明圆心角或弦相等

时常由相应的半径、弦的一半、圆心与弦中点的连线段构造直角三角形，通过证明

三角形全等来解决。

方法技巧（三）利用圆周角的性质进行解题的方法

在求圆周角或圆心角的度数时，通常要找出或构造出同弧（或等弧）所对的圆周角

或圆心角。若题目中有直径，常常添加辅助线，构造直径所对的圆周角，利用垂径

定理或直角三角形求解。

注意

在圆内，同弧所对的圆周角相等是一个隐含条件，注意其在证明过程中的应用。

方法技巧（四）利用圆内接四边形的性质求角的度数

利用“圆内接四边形的对角互补”可以求一些不易求得的圆周角的度数。

方法技巧（五）圆中两条线段长度之和最小的问题

在圆中求两条线段长度之和最小的问题，通常通过转化，运用垂径定理和两点之间

线段最短来解决，考查灵活运用知识的能力。

易混易错辨析

易混易错知识

1.直径与弦的关系。

直径是弦，但弦不一定是直径，只是过圆心的弦才是直径，直径是最长的弦。

2.在同一个圆中，一条弦所对的圆周角有两种情况，但解题时常因考虑不周漏解。

3.应用垂径定理的推论时，对条件的理解不透致错。

在应用垂径定理的推论时，平分弦作条件时，必须指出被平分的弦是非直径的弦，

否则命题不一定成立。

⑥效果降

一、选择题（每小题3分，共12分）

1.如图，。。中，NCBO=45°，NC4O=15°，则NA08的

度数是（）

A.750B.60°C.45。D.3O0

2.已知如图，圆柱。。1的底面半径为13cm,高为10cm,一平面平

行于圆柱。。1的轴001,且与轴。。1的距离为5cm,截圆柱得矩

形ABB,4，则截面ABB】4的面积是（）

A.240cm2B.240）cm2C.260cm2D,260^-cm2

3.如图，在。。中，弦BC=1,点A是圆上一点，且/、

NBAC=30°，则。。的半径是（）|o,/jj

A.iB.2C.y[3D，V5

4.已知。。的直径C£>=10cm,AB是。。的弦，ABA.CD,垂足为M，且

A3=8cm,则AC的长为（）

A.26cmB.4A/5cmC.2百即或4百即D.2V5cm或4后cm

二、填空题（每小题4分，共12分）

5.如图，A8是。。的弦，0。_148于点。，连接OAOB。点p是半径OB上任

意一点，连接AP。若。4=5cm,0C=3cm,则AP的长度可能是cm（写出一

个符合条件的数值即可）。

第5题第6题第7题

6.如图，点都在。。上，ZABC=90>AD=3,CD=2,则。。的

直径的长是。

7.如图，A8是。。的直径，点。在。。上，点P在线段。4上运动，设NPCB=a,

则。的最大值是。

___________®

三、解答题（共12分）

8.（12分）如图所示，该小组发现8m高旗杆的影子EE落在了包含一圆弧型小

桥在内的路——于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动。小刚身高1.6m,测

得其影长为2.4m,同时测得EG的长为3m,族的长为1m,测得拱高（弧G”的

中点到弦G”的距离，即的长）为2m,求小桥所在圆的半径。

【错误诊断】分析下面解题的错误并纠正在右边

【例题】在半径为13的。。中，弦AB〃8，弦48和的距离为7,若=24，

则的长为（）

A.10B.4V30C.10或4亚D.10或271^

【规避策略】

1.注意考虑问题要全面，要考虑弦AB和CD在圆心的同侧和两侧的情况。

2.在已知圆的半径和两条平行弦的距离和一条弦长，求另一条弦长或已知圆的半径和

两条平行弦长，求两条弦的距离时，要分两弦在圆心的同侧和两侧两种情况讨论，

不要遗漏其中一种情况。

【强化提升】如图，己知△ABC是。。的内接三角形，AB=AC,点P是a的中点,

连接PA,PB,PC.

（1）如图①，若/BPC=60。，求证：AC=[5AP；

24

（2）如图②，若si〃/BPC=行，求小/PAB的值.

3.圆心角和圆周角：

个性化教学辅导教案

学生姓名年级九年级学科数学

上课时间2017年月日教师姓名

课题圆的有关概念

1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等孤的概念.

2.探索并掌握垂径定理及其推论.

教学目标

3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论.

4.知道三角形的外心，并能画任意三角形的外接圆.

教学过程

教师活动学生活动

麴复习检查,

2.圆的基本概念:

在同一平面内，线段0A绕它固定的一个端点.形成的图形叫做圆,

叫做圆心,叫做半径.圆上任意叫做圆弧；在同圆或等圆

中，能够..的©等我

2.圆的有关性藤1

(1)对称性:,是它的对称中心；圆也是轴、对称图形,

都是‘的对称轴.

/

、;，弦之间必关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两名

(2)圆心角、弧、两

条弦中襁一组相等，那么它们所对应的其余各组量都分别

⑶垂心定理:垂直于弦弦，并且平分弦所对的两条弧.

推延分弦(不是瞥于弦，且平分这条弦所对的i条弧.

⑴圆心诩:点在.的角叫做圆心角；圆心角的度数上;所对的弧的

度数.

(2)圆周角：顶圆上，两边都与圆.的角叫做圆周角.

②问题定位

________

1.如图，CD是。O的直径，弦ABLCD于E,ZBCD=25°,则下列结论错误的是

()

A.AE=BEB.OE=DE

C.ZAOD=50°D.D是弧AB的中点

2.如图，在OO中，弦AB〃CD.若NABC=40。，则/BOD的度数为()

A.20°B.40°C.50°D.80°

3.如图，OC过原点，且与两坐标轴分别交于点A、B,点A的坐标为(0,3),M

是第三象限内弧OB上一点，ZBMO=120°,则。C的半径长为()

A.6B.5C.3D.3,V2

4.如图，ZPAC=30°,在射线AC上顺次截取AD=3cm,DB=10cm.以DB为

直径作。。交射.线AP于E、F两点，则EF的长是<

5.如图，。。是AABC的外接圆，AB是。。的直径，D为。O上一点，OD_LAC,

垂足为E,连接BD.

(1)求证：BD平分NABC；

(2)当NODB=30。时，求证：BC=OD.

第5题

教学目标：

1、理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等孤的概念.

2、探索并掌握垂径定理及其推论.

3、探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论.

4、知道三角形的外心，并能画任意三角形的外接圆.

目标分解：【掌握圆的有关概念和计算】

①知道圆由圆心与半径确定，了解圆的对称性.

②通过图形直观识别圆的弦、弧、圆心角等基本元素.

③利用圆的对称性探索弧、弦、圆心角之间的关系，并会进行简单计算和说理.

④探索并了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征.

⑤掌握垂径定理及其推论，并能进行计算和说理.

⑥了解三角形外心、三角形外接圆和圆内接三角形的概念.

⑦掌握圆内接四边形的性质

知识点梳理：

1.圆的有关概念和性质

（1）圆的有关概念

①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点

为圆心，定长为半径.

②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，

小于半圆的弧称为劣弧.

③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.

（2）圆的有关性质

①圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形,

对称中心为圆心.

②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.

③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两

条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周

角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径.

④三角形的内心和外心

④确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆.

@三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外

接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角

形的外心.

©三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切

圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心

2.与圆有关的角

（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数.

（2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。圆周角的度数

等于它所对的弧的度数的一半.

（3）圆心角与圆周角的关系：

同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

（4）圆内接四边形：顶点都在国上的四边形，叫圆内接四边形.

圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角.

【考点总汇】

一、垂径定理及推论

1.垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的。

2.推理：平分弦（不是直径）的直径，并且平分弦所对的。

微拨炉:

1.在推论中，被平分的弦不能是直径，因为所有的直径均互相平分。

2.垂径定理及其推论是证明两条线段相等，两条弧相等及两条直线垂直的重要

依据之一，在有关弦长、弦心距的计算中常常作垂直于弦的线段，构造直角三

角形。

考点一垂径定理及其推论

例1.如图，AB为。O的直径，弦CDJ_AB于E,已知CD=12,

BE=2,则。O的直径为（）

A.8B.10C.16D.20例1图

【变式训练】已知在以点。为圆心的两个同心圆中，大圆的弦A8交小圆于点C,。

(如图)。

(1)求证：AC=BD。

(2)若大圆的半径H=10,小圆的半径r=8,且点。到直线AB的距离为6,求AC

的长。/-----\

得分要领：

1.找准相应线段的长：半径、弦长、弦心距。

2.利用垂径定理构造直角三角形：弦的一半、弦心距分别作为直角边、半径作为斜边。

3.利用勾股定理解决问题。

【考题回放】

1.如图，。。的直径C。垂直弦A6于点E,且CE=2,DE=8,则A8的长为

()

A.2B.4C.6D.8

第1题第2题第3题

2.如图，CD是。。的直径，弦AB_LC£＞于E,连接下列结论中不一定

正确的是()

A.AE=BEB.AD=BDC.OE=DED.ZDBC=90°

3.如图，点P是等边三角形ABC外接圆。。上的点，在以下判断中，不正确的是

()

A.当弦最长时，△APC是等腰三角形

B.当△APC是等腰三角形时，P01AC

C.当POLAC时，ZACP=30°

D.当NACP=30.时，△3PC是直角三角形

4.如图，圆O的直径CZ)=l()cm,且AB_LCD,垂足为P,AB=8cm,则

sinZOAP=。

第4题第5题第6题

5.如图，AB是半圆的直径，点。为圆心，OA=5,弦AC=8,OD1AC,垂足

为E,交。。于点。，连接BE,设NB£C=a,贝Usina的值为。

6.如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A,8,并

使与车轮内圆相切于点。，作CDLAB交外圆于点C,测得CD=10cm,

AB=60cm,则这个车轮的外圆半径是cm。

7.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图

如图，。。与矩形A8CD的边分别相切和相交

(£尸是交点)。已知E产=8=8,则。。的半径为。

二、圆周角定理及其推论

1、弧、弦、圆心角的关系

同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余

各组量也相等。

微拨炉：

应用时一定注意“在同圆或等圆中''的条件；同时要特别注意一条弦所对的弧有两条。

2、圆周角定理及推论

1.定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角，都等于这条弧所对的圆心角的。

2推.论：

(1)半圆(或直径)所对的圆周角是，90°的圆周角所对的弦是。

(2)在同圆或等圆中，如果两个圆周角，它们所对的弧一定。

微拨炉：

1.注意定理及推论的条件是“同圆或等圆中

2.一条弦对着两条弧，对着两类圆周角，且这两类圆周角互补。

3.一条弦只对着一个圆心角，却对着无数圆周角。

考点二圆周角定理及其推论

例2如图，若AB是。。的直径，CD是。O的弦，ZABD=55°,则/BCD的度数

为()

变式2(1)图变式2(2)图

例3如图，点A、B、C、D在。O上，0点在ZD的内部，四边形OABC为平行四

边形，则NOAD+/OCD=.

【变式2】(1)如图，△ABC的顶点A,8,C均在。。上，若NABC+NA00=90°,

则NAOC的大小是()

A.30°B.45°C.60°D.70°

(2)如图，□ABC。的顶点A,8在。。上，顶点。在。。的直径上，连接AE,

ZE=36°,则NAOC的度数是()

A.441'B.54°C.72D.53

得分要领：

1.同弧所对的圆周角、圆心角、弦、弦心距等要对应。

2.在解决圆周角问题时，常要考虑同弧所对的圆周角和圆心角的关系，找到一条弦,

利用此关系进行角之间的转化和计算.

3.由于直径所对的圆周角是直角，所以在圆中，有直径时，构造直径所对的圆周角,

利用解直角三角形的知识解决问题，这是圆中最常用的辅助线。

【考题回放】

1.如图，已知A3是△ABC外接圆的直径，NA=35°,N8的度数是（）

D.65

2.如图，已知点均在。。上,ACB为优弧，下列选项中与NA08相等的

是（）

A.2ZCB.4ZBC.4ZAD.ZB+ZC

3.从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（）

4.如图，点P在以A3为直径的半圆内，连接ARBP,并

延长分别交半圆于点C,。，连接并延长交于点

F,作直线PF,下列说法正确的是：

①AC垂直平分3尸；②AC平分ZBAF；③

@BDVAF.

A.①②B.①④C.②④D.③④

5.如图，在半径为6cm的。。中，点A是劣弧BC的中点，点。是优弧BC上一

点，且ZD=30°,下列四个结论：①OA1BC；上系、

形，其中正确结论的序号是（）------

A.①③B.①②③④C.②③④D.①③④

6.如图，已知A,8,C三点在。。上，于。，NB=55°,则ZBOC的度

数是。

7.如图，△ABC为。。的内接三角形，为的直径，点。在。。上，

ZADC=54°,则ZBAC的度数等于。

8.如图，点在（DO上，。点在NO的内部，四边形。46C为平行四边形,

则NQAD+NOCD等于。

三、圆内接四边形的性质

圆内接四边形的对角。

微拨炉：

圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。

考点三圆的性质与其他知识的综合运用

例4.如图，MN为。。的直径，A、B是。O上的两点，过A作为［//\

AC_LMN于点C,过B作BDJ_MN于点D,P为DC上的任意P0—CJN

一点，若MN=20,AC=8,BD=6,贝UPA+PB的最小值是'一,

例5如图，直径为0A的。P与x轴交于O、A两点，点B、C把弧0A三等分，连

接PC并延长PC交y轴于点D（0,3）.

（1）求证：△POD^AABO；

（2）若直线./：y=kx+b经过圆心P和点D,求直线/的解析式.

1.下列说法正确的是（）

A.平分弦的直径垂直于弦B.半圆（或直径）所对的圆周角是直角

C.相等的圆心角所对的弧相等D.若两个圆有公共点，则这两个圆相交

2.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径03=1（）,水面宽43=16,则截

面圆心。到水面的距离0C是（）

3.如图，是圆0的直径，OE=5cm,弦MN=8cm,则瓦F两点到直线MN的

距离之和等于（）

A.12cmB.6cmC.8cmD.3cm

4.已知。O的半径为5cm,圆内有两条弦AB〃CD,且AB=6cm,CD-8cm,

则A&CO间的距离为（）

A.1cmB.7cmC.lcm或7cmD.不能确定

5.如图，A3为。。直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交A3于点

。，连接CD,若点。与圆心。不重合，NBAC=20°,则ZDC4的度数是()

A.30°B.40°C.50°D.60°

第5题第6题

6.绍兴是著名的桥乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m,桥拱半径OC为

5m,则水面宽AB为()

A.4mB.5mC.6mD.83cm

7.如图，点。(0,3),0(0,0),C(4,0),B在。A的一条弦，则sinNQB£>=。

8.在。。中，圆心角NAOC=50°,点B是圆上不同于A,C的一点，则NABC的

度数为。

9.如图，一个宽为2cm的刻度尺(刻度单位：cm)放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度

尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9,那么

玻璃杯的杯口外沿半径为cm。

10.如图所示，已知四边形ABOC是圆内接四边形，Zl=120\

则NCDE=度。

11.如图所示，某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=3cm,弓开的高

EF=\cm,现计划安装玻璃，请帮工程师求出血所在圆。的半径r。

演）总结优化

方法技巧（一）运用垂径定理进行解题的方法

在应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如图所示的直角三角形，根据垂径

定理与勾股定理有：r2=。根据此公式，在a,r,d三个量中，知道任

意两个量就可以求出第三个量。

方法技巧（二）利用弧、弦、圆心角之间的关系解题

在同圆或等圆中，两个圆心角及其所对的两条弧、两条弦中只要有一组量相等，对

应的另外两组量也分别相等。

点拨

在圆中证明弧相等时往往要证明弧所对的圆心角或弦相等，在证明圆心角或弦相等

时常由相应的半径、弦的一半、圆心与弦中点的连线段构造直角三角形，通过证明

三角形全等来解决。

方法技巧（三）利用圆周角的性质进行解题的方法

在求圆周角或圆心角的度数时，通常要找出或构造出同弧（或等弧）所对的圆周角

或圆心角。若题目中有直径，常常添加辅助线，构造直径所对的圆周角，利用垂径

定理或直角三角形求解。

注意

在圆内，同弧所对的圆周角相等是一个隐含条件，注意其在证明过程中的应用。

方法技巧（四）利用圆内接四边形的性质求角的度数

利用“圆内接四边形的对角互补”可以求一些不易求得的圆周角的度数。

方法技巧（五）圆中两条线段长度之和最小的问题

在圆中求两条线段长度之和最小的问题，通常通过转化，运用垂径定理和两点之间

线段最短来解决，考查灵活运用知识的能力。

易混易错辨析

易混易错知识

1.直径与弦的关系。

直径是弦，但弦不一定是直径，只是过圆心的弦才是直径，直径是最长的弦。

2.在同一个圆中，一条弦所对的圆周角有两种情况，但解题时常因考虑不周漏解。

3.应用垂径定理的推论时，对条件的理解不透致错。

在应用垂径定理的推论时，平分弦作条件时，必须指出被平分的弦是非直径的弦，

否则命题不一定成立。

。效果验证

一、选择题（每小题3分，共12分）

1.如图，。。中，NCBO=45°,ZC4O=15°,则NAO8的

度数是（）

A.75°B.60°C.45°D.30°

2.已知如图，圆柱。。1的底面半径为13cm,高为10cm,一平面平

行于圆柱00、的轴,且与轴的距离为5cm,截圆柱得矩

形ABBt%,则截面ABB14的面积是（）

A.240cm2B.240^-cm2C.260cm?D.260万cm?

3.如图，在。。中，弦BC=\

ZBAC=30°,则

。。的半径是（）

A.iB.2C.V3

4.已知。。的直径CD=H）cm,AB是。。的弦，AB±CD,垂足为M,且

A8=8cm,则AC的长为（）

A.2V^cmB.4-\/5cmC.2百cm或cmD.2后cm或4若cm

二、填空题（每小题4分，共12分）

5.如图，A5是。。的弦，OC_LAB于点C,连接。4,。8。点P是半径0B上任

意一点,连接AP。若。4=5cm,0C=3cin,则AP的长度可能是cm（写出一

个符合条件的数值即可）。

第5题第6题第7题

6.如图，点A,B,C,O都在。。上，ZABC=90°,AD=3,CD=2,则。。的

直径的长是。

7.如图，A8是。。的直径，点。在。。上，点P在线段。4上运动，设ZPCB=a,

则。的最大值是。

三、解答题（共12分）

8.（12分）如图所示，该小组发现8m高