概率论与数理统计第二章随机变量

概率论与数理统计第二章随机变量第一页，共七十页，编辑于2023年，星期六

§2.2

§2.3

§2.4第2章随机变量§2.1随机变量的定义第二页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.1随机变量的定义

1.引进随机变量（r.v)的目的随机事件：样本空间的子集。例如：掷一次骰子出现的点数建立一种函数关系：

一.随机变量的定义1).量化随机事件2).引进微积分来研究随机试验第三页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.1随机变量的定义

引例：请适当定义一变量（函数）使之与下列各随机试验的结果对应起来.例2.1.1

掷一枚硬币，观察朝上一面

一.随机变量的定义例2.1.3

从一批灯泡中任取一只，测其寿命例2.1.2

射击一个目标，击中为止，记录射击次数第四页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量注（1）随机变量是一个函数。定义在样本空间上。取值在实轴上；（2）与一般函数不同，它的自变量是随机实验的结果；（3）随机变量的取值具有随机性。

一.随机变量的定义§2.1随机变量的定义

定义2.1.1.设随机试验的样本空间为，如果对中的每一个元素，有一个实数与之对应，这样就得到了一个定义在上的实值函数，称为随机变量。第五页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量二.随机事件的表示

.

§2.1随机变量的定义第六页，共七十页，编辑于2023年，星期六

§2.2

§2.3

§2.4第2章随机变量及其分布§2.2离散型随机变量第七页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.2离散型随机变量一.离散型随机变量

例如,掷骰子朝上一面的点数(1,2,3,4,5,6)、电梯在一年内发生故障的次数（0,1,2，…)等均为离散型随机变量。

连续型随机变量:其全部可能取得值虽然也是无限多，但这些值充满了某个区间，不能一一罗列出来.

例如，而某元件寿命，零件的长度则的所有可能取值充满一个区间,无法按一定次序一一列举出来,因而它是一个连续型随机变量.第八页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.2离散型随机变量二.离散型随机变量的概率分布第九页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.2离散型随机变量

概率分布（分布律）也可以表示为表格形式：二.离散型随机变量的概率分布

注(1)上述两条性质是分布律必须具有的性质.如果一个数列

具有以上两条性质,则它可以作为某离散型随机变量的分布律.

(2)第十页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.2离散型随机变量

所以，概率分布体现了随机变量取各个可能值的概率的分布情况。二.离散型随机变量的概率分布第十一页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.2离散型随机变量二.离散型随机变量的概率分布第十二页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.2离散型随机变量二.离散型随机变量的概率分布第十三页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.2离散型随机变量三.常见的离散型随机变量的概率分布第十四页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.2离散型随机变量三.常见的离散型随机变量的概率分布服从两点分布的随机变量：例如：射手射击是否中靶，产品是否合格，明天是否下雨，种子是否发芽…第十五页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.2离散型随机变量三.常见的离散型随机变量的概率分布第十六页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.2离散型随机变量三.常见的离散型随机变量的概率分布2.二项分布第十七页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.2离散型随机变量三.常见的离散型随机变量的概率分布2.二项分布第十八页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.2离散型随机变量三.常见的离散型随机变量的概率分布2.二项分布第十九页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.2离散型随机变量三.常见的离散型随机变量的概率分布二项分布与n次伯努利试验关系第二十页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.2离散型随机变量例2.2.4

一种40瓦的灯泡，规定其使用寿命超过2000小时的为正品，否则为次品。一直有很大一批这样的灯泡，其次品率为0.2。现从该批灯泡中随机的抽取20只做寿命试验，问这20只灯泡恰有k只次品的概率是多少？解我们将观测一只灯泡的使用寿命是否超过2000小时，看成一次试验，观测20只灯泡，相当于做20次伯努利试验。三.常见的离散型随机变量的概率分布2.二项分布用X记20只灯泡中次品的只数，则X是一个随机变量且X~B(20,0.2)，于是，得。第二十一页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.2离散型随机变量例2.2.5

设每天每辆出租车出现故障的概率为0.02，某出租车公司共有出租车400辆，试求一天内没有出租车出现故障的概率。解观测一辆出租车是否出现故障，看成一次试验。观测400辆出租车，相当于做400次伯努利试验。三.常见的离散型随机变量的概率分布2.二项分布用X记一天出现故障的出租车数量，则X是一个随机变量且X~B(400,0.02)，于是，得。第二十二页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.2离散型随机变量三.常见的离散型随机变量的概率分布3.泊松分布第二十三页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.2离散型随机变量3.泊松分布查表210页第二十四页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.2离散型随机变量第二十五页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.2离散型随机变量第二十六页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.2离散型随机变量重点：求解离散型随机变量的概率分布熟记并会应用常见离散型随机变量的概率分布课后作业：P.48——2.4,2.5,2.6，2.7第二十七页，共七十页，编辑于2023年，星期六

§2.2

§2.3

§2.4

§2.5-7

第2章随机变量及其分布§2.3连续型随机变量第二十八页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.3连续型随机变量及其分布

如灯泡的寿命、测量误差、天气温度的变化等都是连续型随机变量，其特点为所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.

下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法.一.连续型随机变量第二十九页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.3连续型随机变量及其分布例.某工厂生产一种零件，由于生产过程中各种随机因素的影响，零件长度不全相同，现测得该厂生产的100个零件的长度（单位：毫米）如下：129,132,136,145,147,142,138,144,147,142,137,144,144,134,149,142,137,137,155,128,143,144,148,139,143,142,123,142,148,137,142,144,141,149,132,134,145,132,140,142,130,145,148,143,148,135,136,152,141,146,138,131,138,136,144,142,142,137,141,134,142,133,153,143,145,140,137,142,150,141,139,139,150,139,137,139,140,143,149,136,142,134,134,146,145,130,136,140,134,142,142,135,131,136,139,137,144,141,136,140.一.直方图

设随机变量X表示零件的长度，下面来画直方图第三十页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.3连续型随机变量及其分布（2）确定区间：（127.5,155.5）取左端点比最小值稍小，右端点比最大值稍大，可包含所有数据；（1）找最大值与最小值：128,155；

（3）等分区间：将（127.5,155.5）等分为7个小区间

(127.5,131.5)，(131.5,135.5)，(135.5,139.5),(139.5,143.5)，(143.5,147.5)，(147.5,151.5),(151.5,155.5)，每个区间称为一个组，区间的长度为组距；（4）计算频数、频率和频率/组距：数据落入每个组的个数为频数，每个组的频数与数据总个数的比值是频率，列表：一.直方图

第三十一页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.3连续型随机变量及其分布组频数频率频率/组距(127.5,131.5)60.060.015(131.5,135.5)120.120.03(135.5,139.5)240.240.06(139.5,143.5)280.280.07(143.5,147.5)180.180.045(147.5,151.5)80.080.02(151.5,135.5)40.040.01（5）画直方图：平面直角坐标系横轴上截取各组区间，纵轴表示频率/组距，以该区间为底，以频率/组距为高做长方形，则其面积为该组频率。画图：第三十二页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.3连续型随机变量及其分布0.070.060.050.040.030.020.01频率/组距127.5131.5135.5139.5143.5147.5151.5155.5组区间当数据个数越多，分组越细，其轮廓接近于一条曲线概率密度曲线第三十三页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.3连续型随机变量及其分布二.连续型随机变量及其概率密度函数

第三十四页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.3连续型随机变量及其分布第三十五页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.3连续型随机变量及其分布三.概率密度函数的性质性质1.2是判定一个函数

f(x)是否为某随机变量X的概率密度函数的充要条件.第三十六页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.3连续型随机变量及其分布第三十七页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量及其分布§2.4连续型随机变量及其分布四.常见的连续型随机变量及其概率密度函数1.均匀分布Uniform.adj均匀的，统一的第三十八页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量及其分布§2.4连续型随机变量及其分布第三十九页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量及其分布§2.4连续型随机变量及其分布即乘客候车时间少于5分钟的概率为第四十页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量及其分布§2.4连续型随机变量及其分布2.指数分布指数分布是最常用的寿命分布，如元件的寿命，随机服务系统的服务时间等都服从指数分布.第四十一页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量及其分布§2.4连续型随机变量及其分布第四十二页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.3连续型随机变量及其分布3.正态分布Normal.adj正常的，标准的第四十三页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量及其分布§2.4连续型随机变量及其分布钟形曲线第四十四页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.3连续型随机变量及其分布4.标准正态分布X～N(0,1)概率密度记作记性质（1）正态分布（2)标准正态分布令第四十五页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量及其分布§2.4连续型随机变量及其分布注：（1）若X～N(0,1),第四十六页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.3连续型随机变量及其分布查表4.标准正态分布第四十七页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.3连续型随机变量及其分布解

合格品的概率为例2.3.3

已知某台机器生产的螺栓长度X（单位：厘米）服从参数的正态分布。规定螺栓长度在10.05±0.12内为合格品，试求螺栓为合格品的概率。4.标准正态分布第四十八页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.3连续型随机变量及其分布4.标准正态分布第四十九页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.3连续型随机变量及其分布重点：

1.连续型随机变量的概率计算方法

2.三种常见的连续型随机变量的概率密度函数，极其应用课后作业:p48-p492.92.112.122.14

第五十页，共七十页，编辑于2023年，星期六

§2.2

§2.3

§2.4第2章随机变量及其分布§2.3随机变量的分布函数第五十一页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.3随机变量的分布函数一.随机变量的分布函数

刻画概率的分布情况：（1）离散型随机变量——分布律（概率分布）（2）连续型随机变量——概率密函数问题：引入分布函数，可对上述两类随机变量的概率分布情况进行刻画。第五十二页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.3随机变量的分布函数一.随机变量的分布函数

第五十三页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.3随机变量的分布函数

因此，只要知道了随机变量X的分布函数，它的统计特性就可以得到全面的描述.第五十四页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.3随机变量的分布函数一.分布函数的性质

第五十五页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.3随机变量的分布函数一.分布函数的性质

第五十六页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.3随机变量的分布函数二.求随机变量的分布函数F(x)是X取的诸值xk

的概率之和，故又称F(x)为累积概率函数.第五十七页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.3随机变量的分布函数三.随机变量的分布函数实例第五十八页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.3随机变量的分布函数三.随机变量的分布函数实例第五十九页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.3随机变量的分布函数三.随机变量的分布函数实例第六十页，共七十页，编辑于2023年，星期六第二章随机变量§2.3随机变量的分布函数三.随机变量的分布函数实例第六十一页，共七十页，编辑