第-二-章-矩-阵-及本章习题课总优秀文档

复习上次课的内容：定义1对矩阵施行下列三种变换称为矩阵的初等行变换(1)互换两行(记作：)(2)以数0乘以第行(记作：)(3)将第j行各元素乘以数后加到第i

行的对应元素上去(记作：)由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。定义2(1)交换矩阵第i

行第j行(2)倍乘矩阵00第i

行第i

行第j

行(1)初等矩阵都是可逆矩阵(2)初等矩阵的逆矩阵仍然是初等矩阵说明(A

E)(E

A－1

)初等行变换初等列变换一、矩阵秩的概念二、矩阵秩的求法§2.7矩阵的秩一、矩阵秩的概念1.k阶子式例如：一个2阶子式(1)A

的每个元素

aij

都是A

的一个一阶子式(2)当A

为n

阶方阵时，n

阶子式即为|A|注：2.矩阵的秩(3)A中有二阶子式，但它的任何三阶子式皆为零，即不为零的子式最高阶数，从而（1）非奇异矩阵（可逆矩阵）A，有|A|0，A的秩就等于它的阶数，A为满秩矩阵。(2)奇异矩阵A，也称为降秩矩阵。注意：二、矩阵秩的求法定理1：对矩阵施行初等变换，矩阵的秩不变即:若矩阵A经过有限次的初等变换后得到矩阵B,则初等变换求矩阵秩的方法（1）用初等变换把矩阵A化为型如的矩阵，可得例1、将A化为一个阶梯矩阵，数非零行的行数即为A的秩初等变换求矩阵秩的方法（2）（更容易）第二章矩阵

（习题课）矩阵1、矩阵的定义２、方阵列矩阵行矩阵两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵．３、同型矩阵和相等矩阵４、零矩阵单位矩阵交换律结合律５、矩阵相加1）r(AB)=r(BA)；A中有二阶子式，但它的任何三阶子式皆为零，即不为零的子式最高阶数，从矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。(2)奇异矩阵A，也称为降秩矩阵。4)(A+B)(A-B)=A2-B2(2)当A为n阶方阵时，n阶子式即为|A|2）A+B=0;主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三(EA－1)3)A对称，则A2对称。（1）非奇异矩阵（可逆矩阵）A，有|A|0，A的秩就等于它的阶数，A为满秩矩阵。(2)当A为n阶方阵时，n阶子式即为|A|例2、设A,B为同阶方阵，则必有：(1)互换两行(记作：)矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于运算规律６、数乘矩阵７、矩阵相乘运算规律n阶方阵的幂８、方阵的运算方阵的行列式运算规律转置矩阵９、一些特殊的矩阵例3、设A,B为同阶方阵且AB=0，则必有1）矩阵的和、数乘、乘积、转置、幂等的运算４、零矩阵单位矩阵矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于初等变换求矩阵秩的方法（2）4)(A+B)(A-B)=A2-B2（1）非奇异矩阵（可逆矩阵）A，有|A|0，A的秩就等于它的阶数，A为满秩矩阵。1）r(AB)=r(BA)；3)r(A-B)=r(B-A);4)r(AB)=r(A)r(B).４、零矩阵单位矩阵（1）非奇异矩阵（可逆矩阵）A，有|A|0，A的秩就等于它的阶数，A为满秩矩阵。２、方阵列矩阵行矩阵定理1：对矩阵施行初等变换，矩阵的秩不变例6、A3=I,则A-1=?3）矩阵的初等变换及求矩阵的秩2）矩阵的逆的求法（两种方法）对称矩阵反对称矩阵幂等矩阵正交矩阵对角矩阵对合矩阵上三角矩阵主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三角矩阵．下三角矩阵主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三角矩阵．伴随矩阵定义10、逆矩阵相关定理及性质矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证．分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似．11、分块矩阵在这一章中必须掌握的计算问题的有：1）矩阵的和、数乘、乘积、转置、幂等的运算2）矩阵的逆的求法（两种方法）3）矩阵的初等变换及求矩阵的秩3）矩阵的初等变换及求矩阵的秩2）A+B=0;A中有二阶子式，但它的任何三例7、设A,B为n阶矩阵，且有|A|＝-2，主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三4)(A+B)(A-B)=A2-B2|B|＝3则|-A*B-1|=?例3、设A,B为同阶方阵且AB=0，则必有2）A+B=0;（1）非奇异矩阵（可逆矩阵）A，有|A|0，A的秩就等于它的阶数，A为满秩矩阵。4)(A+B)(A-B)=A2-B23）矩阵的初等变换及求矩阵的秩2）A2=0能否得到A=0;例2、设A,B为同阶方阵，则必有：1）r(AB)=r(BA)；2）r(A+B)=r(A)+r(B);3)r(A-B)=r(B-A);4)r(AB)=r(A)r(B).例3、设A,B为同阶方阵且AB=0，则必有1）A=0或B=0；2）A+B=0;3)|A|=0或|B|=0;4)|A|+|B|=0例4、同阶方阵A,B;则下列命题是否正确1）|A|=0能否得到A=0；2）A2=0能否得到A=0;3)A对称，则A2对称。例5、A2=A,且A可逆，则A=？例6、A3=I,则A-1=?4)(A+B)(A-B)=A2-B2例7、设A,B为