第二节余弦定理(能力提高练)

【能力提高练】第二节余弦定理1．(2022•云南省昆明市第一中学第六次月考)我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求职公式，即的三个内角所对的边分别为，则的面积.已知在中，，则面积的最大值为()A． B． C．2 D．4【解析】∵，又∵，.∴(当且仅当时取等号).∴，∴面积的最大值为4.故选：D【答案】D2．(2022•山西省长治市第二中学高三(上)第三次练考)在中，、分别是边、的中点，若，则的最小值为()A． B． C． D．【解析】依题意，如图，设、，因为为中点，为的中点，，，，，，则，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：A.【答案】A3．(2022•深圳外国语学校高三(下)第二次检测)(多选)的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是()A．若，则B．若，，，则有两解C．若为钝角三角形，则D．若，，则面积的最大值为【解析】对于A选项，若，则，由正弦定理可得，所以，，A选项正确；对于B选项，，则，如图所示，所以有两解，B选项正确；对于C选项，若为钝角三角形且为钝角，则，可得，C选项错误；对于D选项，由余弦定理与基本不等式可得，即，当且仅当时，等号成立，所以，D选项正确．故选：ABD【答案】ABD4．(2022•辽宁省名校高三第四次联考)拿破仑·波拿巴，十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在中，，以，，为边向外作三个等边三角形，其中心依次为，，，若，则__________，的最大值为__________.【解析】设，，.如图，连接，.由拿破仑定理知，为等边三角形.因为为等边三角形的中心，所以在中，，，设，由余弦定理，得，即，解得：，即，，同理；又，，所以，在中，由余弦定理可得，即，化简得，由基本不等式得，解得(当且仅当时取等号)，所以.故答案为：；.【答案】①②5．(2022•重庆市育才中学高三一模)设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(1)求的值；(2)若点D为边的中点，，求的值．【解析】(1)因为，所以，即．又，所以．(2)如图，作边上的高，垂足为E，因为，所以．又，所以．因为点D为边的中点，，所以．在直角三角形中，，所以．在直角三角形中，，所以．【答案】(1)4；(2)．6．(2022•重庆市第八中学高三(下)第一次调研检测)已知的内角、、的对边分别为、、，且.(1)求角的值；(2)若，且的面积为，求的周长.【解析】(1)由正弦定理得，，则，所以，，，则，可得，故.(2)由三角形的面积公式可得，所以，，由已知可得，解得或.当时，则为等边三角形，其周长为；当且时，由余弦定理可得，此时，的周长为.综上所述，的周长为或.【答案】(1)(2)或7．(2022•重庆市巴蜀中学高三第八次月考)如图，在中，点在线段上，且，.(1)若是正三角形，求的长；(2)若，，求的值.【解析】(1)因为，，由余弦定理可得.(2)因为，则为锐角，则，则，由正弦定理得，则，因此，.【答案】(1)(2)8．(2022•云南省师范大学附属中学高三第七次月考)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．(1)求A；(2)从两个条件：①；②中任选一个作为已知条件，求的面积．【解析】(1)由正弦定理得，∴．又，∴，∴．又，∴；(2)若选择①，将，代入得，即，∵，∴，，．∴．若选择②，将，代入得，解得(舍去)，∴．∴．【答案】(1)；(2).9．(2022•天津市实验中学高三(下)第三次检测)在中，角A，，的对边分别为，，，已知．(1)求角A的大小；(2)若，，求的面积．【解析】(1)，由正弦定理得：，即，因为，所以，解得：或-2(舍去)，因为，所以.(2)由余弦定理得：，解得：，所以，，所以【答案】(1)(2)10．(2022•天津市南开中学高三第四次调查)在中，内角、、的对边分别为，，，．(1)求角的大小；(2)若，．求：(ⅰ)边长；(ⅱ)的值．【解析】(1)由已知及正弦定理得，，，(2)(ⅰ)因为，，由余弦定理得，(ⅱ)由，因为为锐角，所以，，【答案】(1)；(2)(ⅰ)；(ii)．11．(2022•天津市第一中学高三第三次月考)在锐角中，内角，，的对边分别为，，，满足.(1)求角的大小；(2)若，求的值；(3)若，，求的面积.【解析】(1)因为，所以，，因为，所以，所以；(2)因为，所以，所以，，所以.(3)由余弦定理得，又因为，，所以，所以三角形ABC的面积是.【答案】(1)；(2)；(3).12．(2022•江苏省苏州中学等四校高三(下)期初联合检测)在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＋c．(1)求内角A的大小；(2)若c＝3，，CD＝，求△ABC的面积．【解析】(1)由三角形的正弦定理及得，∴，∴，即，∵，∴，即.(2)如图，∵，∴，且，在中，，∴由余弦定理得，，①在中，，∴由余弦定理得，，②由①②得，，③又在中，由余弦定理得，，④由③④得，，∴的面积为.【答案】(1)(2)13．(2022•吉林省东北师范大学附属中学高三第二次摸底考试)在中，分别为内角的对边，(1)求角的大小；(2)若，求的面积.【解析】(1)∵，由正弦定理得，，化简得，.∴.∵，∴；(2)∵，∴.∴.由正弦定理得，，∵，，∴.∴的面积.【答案】(1)；(2).14．(2022•湖南省长郡中学高三第六次月考)在中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．(1)求；(2)若D为上点，平分角A，且，，求．【解析】(1)因为，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理，可得，又因为，可得．(2)因为D为上点，平分角，则，又由，可得，又因为，可得，解得，因为，所以．【答案】(1)；(2)．15．(2022•湖南省雅礼中学等十六校高三(下)第一次联考)在中，．(1)求B；(2)若，的面积为，求的周长．【解析】(1)由，得，∴，即，∴．由正弦定理，得，又，∴，即，，∴．(2)由的面积为，得，解得，即．由余弦定理，可得，解得．∴的周长为．【答案】(1)；(2).16．(2022•湖南省长沙市第一中学高三第八次月考)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，且.(1)求角C的大小；(2)若，点D为AB边的中点，CD=，求的值.【解析】(1)由题意得：，∴，∴.∵，∴，又，∴，∴，∴；(2)由，可得，∴，∴.∴，即.∴，得【答案】(1)；(2).17．(2022•湖南省衡阳市第八中学高三第五次月考)在中，角，，的对边分别为，，，已知，且，.(1)求证：；(2)求的面积.【解析】(1)证明：，，所以，根据正弦定理得，，又，所以，即(2)由余弦定理得，由(1)，得，结合可得.即，解得或(舍去)，所以【答案】(1)证明见解析(2)18．(2022•黑龙江省双鸭山市第一中学高三(下)开学考试)在四边形中，.(1)求及的长；(2)求的长.【解析】(1)在中，由余弦定理可得：，解得，所以.(2)由(1)知，所以，所以，又由，由正弦定理，可得，则.【答案】(1)，；(2)3.19．(2022•河北省名校联盟高三(下)联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积.(1)求角A的值；(2)延长AC至点D，使得CD＝AC，且BD＝2BC，若c＝6，求△ABC的周长.【解析】(1)由题得．因为.(2)如图，设，在中，由余弦定理得，(1)在中，由余弦定理得，即，(2)，(1)(2)得.所以△ABC的周长为.所以△ABC的周长为.【答案】(1)；(2)20．(2022•河北省衡水中学高三六调)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+c=2bcosA.(1)证明：B=2A；(2)设D为BC边上的中点，点E在AB边上，满足，且，四边形ACDE的面积为，求线段CE的长.【解析】(1)由正弦定理得∶∵A，B∈(0，π)，∴A=B-A，∴B=2A(2)由∴DE⊥AB，∴∴，，∴而四边形ACDE的面积∴由余弦定理得∶【答案】(1)证明见解析；(2).21．(2022•深圳实验学校等高三(上)联考)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，.(1)求B；(2)若，，求的面积.【解析】(1)因为，所以，所以，所以或.因为B为的内角，且，所以或.(2)由(1)得，或，(i)当时，得，因为，，所以，即.因为无解，所以.(ii)当时，因为，所以，所以，所以的面积为.【答案】(1)或(2)22．(2022•华南师范大学附属中学高三(上)综合测试)在中，已知角所对的边分别是，且.(1)求和角的值；(2)求的面积.【解析】(1)在中，由正弦定理得：，则有，而，解得，又，即为锐角，于是得，所以，.(2)在中，由余弦定理得：，整理得：，解得或，当时，，当时，，所以的面积为或3.【答案】(1)，；(2)或3.23．(2022•广东省广州市执信中学高三(下)二月月考)如图，在中，内角、、的对边分别为、、．已知，，，且为边上的中线，为的角平分线．(1)求及线段的长；(2)求的面积．【解析】(1)，，，，在中，由余弦定理得，解得(负值舍去)，即．(2)，，，平分，，所以，为边的中线，，．【答案】(1)，(2)24．(2022•北京市一零一中学高三(上)统考(二))在中，.求的值；若点为射线上的一个动点(与点不重合)，设.①求的取值范围；②直接写出一个的值，满足：存在两个不同位置的点，使得.【解析】在中，根据余弦定理，所以因为，所以①在中，根据正弦定理，得因为点为射线上一动点，所以，所以的取值范围为②答案不唯一.取值在区间上均正确.【答案】