无限弹性介质中的弹性波

无限弹性介质中的弹性波第一页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日第六章无限弹性介质中的弹性波

6.1

弹性波控制方程的建立6.2声波方程的建立（流体力学）6.3均匀各向同性无限弹性介质中的平面波6.4波前面分析与弹性介质中任意波前形状波的传播速度6.5均匀各向同性无限弹性介质中球面波6.6谐波第二页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日无限弹性介质中的弹性波声带振动，使周围空气获得一个密度的改变量,即产生一个初始“扰动”。第三页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日无限弹性介质中的弹性波手拨两端固定的琴弦，在其被拨处将产生一个速度或位移的改变量，产生一个初始“扰动”。第四页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日无限弹性介质中的弹性波炸药在地表层爆炸，使地应力获得一个改变，产生一个初始“扰动”。第五页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日地震勘探在地壳某处以一定的方式激发波动，在离震源很近的地方称为破裂带和塑性带，由于爆炸造成的变形很大，从而岩石不能看作是弹性的；但离震源足够远的地方，由于岩石受力很小，且受力时间相当短，因此可以看作是弹性介质。震源作用的效果，通常可以认为以弹性波的形式在岩石中传播，这就是地震波。无限弹性介质中的弹性波第六页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日◆在弹性动力学中，研究的整个弹性体恰似一个多自由度的振动系统，当某一点处受扰动（可能是位移、速度、应力等的改变量）时，该质点将发生振动并引起该处微元体产生变形;无限弹性介质中的弹性波◆由于变形弹性体的拉压力（对固体或液体）和剪切应（对固体）的存在，又会引起周围介质也跟着振动起来。◆弹性波就是在弹性介质中传播的扰动。◆波在介质中传播时是将扰动或能量由此处传递到彼处，而介质的质点并不随波迁移。第七页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日◆弹性体既能传播拉压应力，又能传播剪切应力;无限弹性介质中的弹性波……产生各微元体间受到拉压作用而传播的涨缩波（无旋波），这时单元体只发生膨胀或压缩，单元体对角线不发生转动。产生各微元体间受到剪切作用而传播的畸变波（等体积波），这时单元体只发生对角线转动，其体积不发生变化。第八页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日◆在介质中传播的扰动总存在着一个前沿。当弹性波在介质中传播的某瞬间，介质中某个区域内质点振动着，而介质的这个区域由两个闭合的面所限制，此两个面称为波阵面。无限弹性介质中的弹性波◆在一个面以外的区域波的影响尚未达到，这个面称为弹性波在此瞬时的波前；◆在另一个面以内的区域波引起的振动已经停止，这个面称为波尾；波前波尾第九页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日无限弹性介质中的弹性波◆根据波前的形状，通常把波分为平面波、球面波、柱面波等。◆波前和波尾随时间不断向前推进，不指明哪一时间的波前和波尾，没有明确意义。平面波球面波第十页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日无限弹性介质中的弹性波◆弹性波在传播过程中遇到两种不同介质的分界面要发生反射、透射、折射，还会产生转换波，同时存在绕射现象。◆弹性波可以用振幅、频率、相位、波速等来描述其特征。第十一页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日在弹性力学中弹性波对传播介质的动力学效应由波动方程来描述。现在由以位移表示的运动微分方程——拉梅方程出发来推导出波动方程。拉梅方程的矢量形式（5-11）式为：弹性波控制方程的建立(6-1)第十二页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日弹性波控制方程的建立第十三页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日弹性波控制方程的建立根据场论，任一矢量场，如果在其定义域内有散度和旋度，则该矢量场可以用一个标量位的梯度场和一矢量位的旋度场之和来表示，故作用在弹性介质上的体力也可表示为：第十四页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日以位移位为扰动函数的波动方程中可得:第十五页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日以位移位为扰动函数的波动方程其中：第十六页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日以位移位为扰动函数的波动方程进一步可得：（6-3）第十七页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日以位移位为扰动函数的波动方程（6-3）（6-4）（6-5）的解。第十八页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日以位移位为扰动函数的波动方程其中（6-4）式称为以标量位移位表示的无旋波波动方程，（6-5）式称为以矢量位移位表示的等容波波动方程。其中：分别为无旋波波速和等容波波速。与第十九页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日以位移矢量为扰动函数的波动方程对式（6-4）和（6-5）两端分别进行梯度和旋度运算，可得：（6-4）（6-5）第二十页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日以位移矢量为扰动函数的波动方程以及：注意到：第二十一页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日以位移矢量为扰动函数的波动方程可得：（6-6）（6-7）方程（6-6）和（6-7）即为无旋变形位移场和等体积变形位移场的波动方程。第二十二页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日对拉梅方程（6-1）分别进行散度和旋度运算：以体积应变和旋转矢量为扰动函数的波动方程

(6-1)第二十三页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日注意到：以体积应变和旋转矢量为扰动函数的波动方程第二十四页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日以体积应变和旋转矢量为扰动函数的波动方程

可得：方程（6-8）和（6-9）分别为以体积应变和转动矢量表示的无旋波和等容波波动方程。(6-8)(6-9)第二十五页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日弹性波控制方程的建立

综上，在弹性介质中存在两种类型的波，无旋波(longitudinal,irrotational,compressionalP-ware)和等容波(shear,transverse,rotational,S-ware)。在地震勘探中体力对应力的改变量而言可以忽略不计，故波动方程可简化为齐次方程，上述各种形式的波动方程可以写成如下统一形式：（6-10）第二十六页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日弹性波控制方程的建立第二十七页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日弹性波控制方程的建立◆求解拉梅方程问题可转化为求解泛定波动方程问题。波动方程来源于拉梅方程，但又超越于拉梅方程，因为它可以描述弹性介质对各种物理量的响应，而不仅仅是位移扰动的响应。

◆波动方程仍然是线性的，满足迭加原理，这就意味着，如果介质中存在由诸多因素所造成的扰动，则每个扰动彼此独立，而介质中的扰动总可以视为多个独立扰动的迭加。第二十八页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日弹性波控制方程的建立◆均匀各向同性完全弹性介质中无旋波和等容波彼此独立存在和传播，无旋波不能激发等容波，等容波也不能激发纵波，但在不均匀介质中，当弹性参数是质点位置坐标的函数时，不能把弹性波解耦为相互独立的无旋波和等容波。第二十九页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日固体介质中的纵波（无旋波）是一种胀缩应变波（疏密波），它与流体中的声波具有同样的性质。如果不考虑固体中转换波问题，地震波的传播问题也可以用声波方程来研究，即用声波方程来近似，通常使用的标量地震波动方程就是以这类标量(如压力)为未知函数的方程。声波方程的建立（流体力学）弹性波方程声波方程忽略转换波第三十页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日运动微分方程（质点流速与压强的关系）第三十一页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日运动微分方程（质点流速与压强的关系）（a）

（b）式中，为梯度算子。考虑到（a）式，进一步得到：（c）

第三十二页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日运动微分方程（质点流速与压强的关系）图6‑1作用于流体中体积单元的压力第三十三页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日运动微分方程（质点流速与压强的关系）同样作用在y和z方向为：第三十四页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日运动微分方程（质点流速与压强的关系）于是作用力写成矢量形式为：（d）第三十五页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日运动微分方程（质点流速与压强的关系）方程（6-11）称为流体中速度和压强表示的质点运动方程。（6-11）第三十六页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日连续性方程（质点的流速和密度关系）第三十七页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日根据散度定理：连续性方程（质点的流速和密度关系）代入前式，得到：称为流体介质连续性方程，是质量守恒的数学公式。即：（6-12）第三十八页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日设流体介质密度和压强变化是在常数背景上的扰动，即（e）将（e）式代入运动方程(6-11)式得：即：物理方程（压强与密度关系）第三十九页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日物理方程（压强与密度关系）(6-13)第四十页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日物理方程（压强与密度关系）再将（e）式代入连续性方程(6-12)中:由于(6-12)（6-12）第四十一页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日物理方程（压强与密度关系）(6-14)将（e）式代入(6-14)式进一步得到连续性方程：(6-15)第四十二页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日物理方程（压强与密度关系）或(6-16)第四十三页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日物理方程（压强与密度关系）可见压强的变化量与密度的变化量成正比，比例系数为一常数，也可用气态方程来说明这一点。声波传播过程中，可以看作是绝热过程，满足泊松绝热方程：（f）第四十四页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日物理方程（压强与密度关系）展开近似得到：因此：或(6-17)第四十五页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日物理方程（压强与密度关系）则:(6-18)称为流体状态方程（物理方程）。

第四十六页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日可压缩流体中的声波方程对微分方程(6-13)式取散度:将(6-18)式代入得:（g）再由(6-15)式:代入（g）式得:于是：(6-19)第四十七页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日可压缩流体中的声波方程(6-20)第四十八页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日可压缩流体中的声波方程(6-21)即流体中声波是无旋波，或胀缩波，疏密波。写成分量形式:第四十九页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日可压缩流体中的声波方程交换求导顺序得：

有

第五十页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日可压缩流体中的声波方程整理得：或(6-22)这就是质点运动速度的速度位满足的波动方程。求解声波方程时分界面的连续条件：①声压函数连续：分界面两侧介质声压函数在分解面处数值相等；②速度函数连续：分界面两侧介质质点运动速度沿界面法线方向分量相等。第五十一页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日可压缩流体中的声波方程通过与固体弹性动力学方程比较，我们可以这样理解：压强相当于应力，密度相当于应变，质点流速相当于位移。在使用连续条件时，一般用速度位表示声压和质点速度：第五十二页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日可压缩流体中的声波方程二维声波方程可以用(1)式和(2)时来表示:(1)(2)声波方程的拓展(一)：无反射声波方程第五十三页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日可压缩流体中的声波方程对(2)式两端同取时间t的导数，得:再将(1)式代入得到：即：第五十四页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日可压缩流体中的声波方程当上式中的密度为常数时，即化为声波方程。若密度不为常数，引入波阻抗第五十五页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日可压缩流体中的声波方程若令波阻抗为常数：或：此即无反射声波方程第五十六页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日可压缩流体中的声波方程声波方程的拓展(二)：单程波方程对于二维声波方程：其达朗贝尔解为：内行波场外行波场第五十七页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日可压缩流体中的声波方程两边分别做二维傅氏变换，得到声波方程频散关系为：分离左行波和右行波（吸收边界处理）分离上行波和下行波（有限差分偏移）第五十八页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日可压缩流体中的声波方程声波方程在地震勘探中的应用:◆正演模拟（直达波、透射波、反射波、折射波、多次波、绕射波）第五十九页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日可压缩流体中的声波方程声波方程在地震勘探中的应用:◆有限差分偏移（传统有限差分偏移和逆时偏移）第六十页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日可压缩流体中的声波方程声波方程在地震勘探中的应用:◆其他应用：深度域滤波：应用声波方程进行波场逆推，剔除面波、直达等干扰多次波剔除：模拟预测多次波记录，剔除实际记录中的多次波信息数据处理检测：基于处理模型正演模拟，与实际记录比对全波形反演：波动方程正反演技术结合，反演介质模型第六十一页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日可压缩流体中的声波方程二阶标量声波方程：一阶压力-速度方程组：第六十二页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日均匀各向同性无限弹性介质中的平面波建立了波动方程之后，还必须求解波动方程，才能描述扰动函数在介质中的传播规律。求解波动方程一般要考虑边界条件和初始条件（称为定解条件）。我们先讨论无限大均匀各向同性弹性介质中波动方程的解，即不考虑边界条件情况，分别研究平面波，球面波，谐波等的传播规律。第六十三页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日均匀各向同性无限弹性介质中的平面波◆

等相位面是平面，且波阵面与波的传播方向垂直的弹性波平面波。◆在弹性波传播理论中广泛使用平面波（plane-wave）的概念。实际上不存在激发平面波的震源，平面波是波动过程的数学抽象。第六十四页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日均匀各向同性无限弹性介质中的平面波◆从点震源产生的球面波四周传播，在离震源足够远的地方，研究局部等相位面，可看作一个平面。◆球面波的局部等相位面越小，则把它看成平面波所需的足够距离越小，因此，理论上任何类型的波可以用平面波合成的形式表示。◆平面波是波动现象中最基本的形式，是理论研究和实际应用的基础。………第六十五页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日沿x轴方向传播的平面波(6-23)方程(6-23)又称为一维波动方程，描述平面波，包括平面纵波和平面横波。第六十六页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日沿x轴方向传播的平面波纵波（无旋波）：波的传播方向与质点的振动方向一致，称为纵波（无旋波）。横波（等体积波）：波的传播方向与质点的振动方向垂直，称为横波（等体积波）。对于纵波：第六十七页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日沿x轴方向传播的平面波对于横波，分两种：SV波：SH波：第六十八页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日沿x轴方向传播的平面波第六十九页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日沿x轴方向传播的平面波(6-24)第七十页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日沿x轴方向传播的平面波对两边求反Fourier变换，并由Fourier变换的频移定理得：(6-25)第七十一页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日沿x轴方向传播的平面波

在波的传播空间中，波的相位相同的点构成的曲面为等相位面，平面波的等相位面是空间的一个平面，假设：第七十二页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日沿x轴方向传播的平面波第七十三页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日沿x轴方向传播的平面波图6‑2平面波的时间与空间关系第七十四页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日沿x轴方向传播的平面波第七十五页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日质点振动方向与传播方向一致——平面纵波

或：(6-26)方程(6-26)的通解为：(6-27)第七十六页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日质点振动方向与传播方向一致——平面纵波

图6‑3波传播及速度第七十七页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日质点振动方向与传播方向一致——平面纵波

第七十八页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日质点振动方向与传播方向一致——平面纵波

由几何方程（5－2）式得：进一步求应力分量，由广义虎克定律（5－3a）式得：第七十九页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日质点振动方向与传播方向一致——平面纵波

而剪应力分量均为零。又有：最后再求相应的质点振动的速度：第八十页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日质点振动方向与传播方向一致——平面纵波

综上，任意波函数的平面纵波，在弹性介质中都以疏密波形式向前或向后传播，其波速为：第八十一页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日或

(6-28)质点振动方向与传播方向垂直——平面横波第八十二页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日再应用几何方程（5－2）求得：进一步求应力分量，由物理方程（5－3a）式：其余应力分量均为零。质点振动方向与传播方向垂直——平面横波第八十三页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日最后求相应的质点速度质点振动方向与传播方向垂直——平面横波第八十四页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日质点振动方向与传播方向垂直——平面横波第八十五页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日质点振动方向与传播方向垂直——平面横波◆地层中纵波速度要比横波速度大，故在地震勘探中纵波比横波先到,而地震勘探长期使用纵波。第八十六页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日质点振动方向与传播方向垂直——平面横波◆目前横波尤其是转换横波勘探日益引起人们的重视。◆横波具有较高的分辨率，能够对尖灭、小幅度构造、小断层、礁体、古潜山等准确定位。◆因为横波不受流体影响，其对非构造油气藏勘探，真假亮点的识别，气囱内部成像，裂缝发育分析，流体识别等十分有效。第八十七页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日沿x轴方向传播的一般情况(6-29)第八十八页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日沿x轴方向传播的一般情况式中:第八十九页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日沿x轴方向传播的一般情况第九十页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日沿任意方向传播的平面波第九十一页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日沿任意方向传播的平面波图6‑4任意传播方向坐标变换第九十二页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日沿任意方向传播的平面波则扰动函数于是第九十三页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日沿任意方向传播的平面波故任意方向传播的平面波的方程为：(6-30)(6-31)第九十四页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日弹性介质中平面波传播的速度(a)(b)第九十五页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日弹性介质中平面波传播的速度将（a）和（b）代入拉梅方程（5-10），且不考虑体力，得到:拉梅方程第九十六页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日弹性介质中平面波传播的速度进一步整理得：（c）第九十七页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日弹性介质中平面波传播的速度行列式展开化简得：第九十八页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日弹性介质中平面波传播的速度于是:第九十九页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日波前面分析与弹性介质中任意波前形状波的传播速度

现在来研究一般情况，以波前（波阵面）的推进来阐述波传播的规律，在弹性介质中（各向同性，均匀，无限大）波传播的速度可理解为波前沿外法线方向扩展的速度。nc=l/t第一百页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日波前面分析与弹性介质中任意波前形状波的传播速度

第一百零一页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日波前面分析与弹性介质中任意波前形状波的传播速度

第一百零二页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日波前面分析与弹性介质中任意波前形状波的传播速度

根据动量定理

化简为:(a)第一百零三页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日波前面分析与弹性介质中任意波前形状波的传播速度

又根据Cauchy公式应力矢量三个分量用应力分量表示为：（b）第一百零四页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日波前面分析与弹性介质中任意波前形状波的传播速度（c）第一百零五页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日波前面分析与弹性介质中任意波前形状波的传播速度将(c)代入（b），再代入（a）中得（d）第一百零六页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日波前面分析与弹性介质中任意波前形状波的传播速度

上式对位置和时间应用多元Taylor公式展开，略去高阶微量，得:（e）第一百零七页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日波前面分析与弹性介质中任意波前形状波的传播速度

（f）第一百零八页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日波前面分析与弹性介质中任意波前形状波的传播速度

将（f）代入（e）整理（g）第一百零九页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日波前面分析与弹性介质中任意波前形状波的传播速度

同样用Taylor展开，略去高阶微量，得（h）（j）

第一百一十页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日波前面分析与弹性介质中任意波前形状波的传播速度

（k）（j）与(k)比较得(l)式中为待定矢量，式（l）代入（g）式中得：故（m）（j）（g）

第一百一十一页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日波前面分析与弹性介质中任意波前形状波的传播速度

那么（n）从而得到波前面上位移矢量对坐标的偏导数与对时间偏导数的关系，代入动量定理（d）中，将位移矢量对坐标的偏导数全部换成对时间的偏导数，即得：第一百一十二页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日波前面分析与弹性介质中任意波前形状波的传播速度

或第一百一十三页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日波前面分析与弹性介质中任意波前形状波的传播速度

第一百一十四页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日波前面分析与弹性介质中任意波前形状波的传播速度

将此行列式展开，化简后，得到：于是这就证明了在各向同性弹性介质中，不论波前形状如何。波的传播速度只有两种，即：和。第一百一十五页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日均匀各向同性无限弹性介质中球面波在地震勘探中，由点爆炸所产生的在均匀各向同性弹性介质中传播的地震波是球对称的。由于球对称，质点只能发生径向位移，而不能发生垂直于径向的位移，因此波阵面为球面，波为球面纵波Spherical-wave）。第一百一十六页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日均匀各向同性无限弹性介质中球面波对于无限弹性介质，三维波动方程齐次形式为：其中：第一百一十七页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日均匀各向同性无限弹性介质中球面波……（a）设扰动函数…（b）第一百一十八页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日均匀各向同性无限弹性介质中球面波于是可得同理可得第一百一十九页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日均匀各向同性无限弹性介质中球面波所以……（c）第一百二十页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日均匀各向同性无限弹性介质中球面波所以球坐标系下波动方程为：即……（d）或根据数学物理方程，(d)式是关于扰动函数的一维波动方程其通解为第一百二十一页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日均匀各向同性无限弹性介质中球面波即……（e）是关于（r-ct）的任意函数，是关于(r+ct)的任意函数，与激发子波有关，（e）为波动方程球对称解或球面解。

显然，

是由原点向外以波速c传播的波，而则是向着原点以波速c传播的波，它们的振幅都随r增加而减少，称为球面扩散效应（或称几何扩散效应），这是球面波与平面波的重要区别。第一百二十二页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日均匀各向同性无限弹性介质中球面波原点向外传播的波在地震勘探中可以由位于原点的球形震源来实现；而向着原点传播的波可以设想为由一个具有圆球形外表面的弹性体在其外表受到均匀分布的动力作用时，变形将从外表面以波的形式向球心对称传播，但实际难以实现。第一百二十三页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日无限弹性介质中球面空腔产生的弹性波胀缩点震源引起的球面波即：则其通解为：第一百二十四页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日无限弹性介质中球面空腔产生的弹性波胀缩点震源引起的球面波取由中心向四周扩散的球面波的解，即为则位移场即第一百二十五页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日无限弹性介质中球面空腔产生的弹性波胀缩点震源引起的球面波

这样，在震源附近，质点的位移基本上重复震源强度函数变化规律，称近震源场，远离震源时，质点的位移是震源强度函数的导数。这说明球面波在其传播过程中波形逐渐改变，这也是区别平面波的一个重要特点。第一百二十六页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日谐波

波有着多种多样的形式，从波动方程的通解表达形式知波函数与激发子波或震源函数有关，但最简单而最重要的莫过于谐波（Harmonicwave），即简谐振动在弹性介质中的传播而形成的波。由Fourier级数理论级可知，任何复杂的振动都可以看成若干各不相同简谐振动的合成；因此任何复杂的弹性波也总可以看成若干个具有各不相同的频率，相位和振幅的谐波合成起来的。于是谐波在弹性介质中传播时，任何一点处的扰动都不仅随时间而且随空间作余弦（或正弦）型变化。第一百二十七页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日谐波--平面谐波所谓的平面谐波是由若干个作简谐振动的质点发出的扰动所形成的几何包络面为平面的谐波。如下图所示。第一百二十八页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日谐波--平面谐波沿x轴方向传播的平面谐波对于沿着x轴正向传播的平面谐波的扰动函数可以简单写成：（a）也可写成：第一百二十九页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日谐波--平面谐波若设振动周期为T，圆频率而波数波传播速度为第一百三十页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日谐波--平面谐波图6‑8振动图第一百三十一页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日谐波--平面谐波图6‑9波剖面图第一百三十二页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日谐波--平面谐波相速度：指一定的相位移动的速度。群速度：指一定的振幅包络线移动的速度。相速度和群速度皆为波速，如果各个简谐波相速度相同，则群速度与相速度相等；若各个简谐波相速度不同，群速度与相速度不等，此时即发生频散。频散：由各种不同谐波成分组成的波，虽然受同一起始扰动下，但各自以不同的速度传播，并且起始扰动的形状在传播中将产生变化。扰动经传播以后将扩展成为一更长的波列，这种现象我们称之为频散。第一百三十三页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日谐波--球面简谐纵波所谓球面谐波是由若干作简谐振动质点发出的扰动所形成的波阵面为球面的谐波，如下图所示，对于球对称情况，则为球面简谐纵波。波函数（扰动函数）可以写成：写成复指数形式设

为位移场的标量位，则：当r>>波长时，第一项起主要作用，称为远震源场。第一百三十四页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日广义胡克定律第一百三十五页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日声波方程数值模拟

――地球物理场论

基础Ⅰ期末作业（1）

任课教师：宋鹏声波方程数值模拟

――地球物理场论

基础Ⅰ期末作业（1）

第一百三十六页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日一、地震勘探基本原理

二、波动方程类型及其局限性

三、数值算法类型及其局限性

四、声波方程的有限差分法数值模拟内容提纲第一百三十七页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日138一、地震勘探基本原理＊▽▽▽▽▽xt第一百三十八页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日 同相轴为双曲线，即反射波的时距曲线为双曲线，反射波一个同相轴可带来一个地层的信息。实际地下介质非常复杂，所得到的炮集记录也包含更多的地下信息。实际的炮集记录见图1-1和1-2。第一百三十九页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日图1-1陆上某区实际地震记录第一百四十页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日图1-2海上某区实际地震记录第一百四十一页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日地震波场模拟即地震正演，是指已知模型结构，通过物理或数值计算的方法模拟该地质结构下的地震波的传播，最终合成地震记录，也可以认为其是野外数据采集过程的室内再现。物理模拟花费昂贵，人们一般采用比较经济的数值模拟技术。地震波场数值模拟是在给定数学模型（如弹性波方程，声波方程等）、震源和地下几何界面、物性参数（岩层密度、速度等）情况下，研究弹性波或声波的传播规律。第一百四十二页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日广义的地震反演即是从地震炮集记录出发，经过复杂的去噪、速度分析以及偏移成像处理等手段得到反映地下的地质结构的地震剖面。实际的地震剖面见图1-3和1-4。第一百四十三页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日图1-3 陆上某区地震剖面第一百四十四页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日图1-4海上某区地震剖面第一百四十五页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日 一、地震勘探基本原理

二、波动方程类型及其局限性

三、数值算法类型及其局限性

四、声波方程的有限差分法数值模拟内容提纲第一百四十六页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日二、波动方程类型及其局限性1、声波方程：

一阶压力-速度方程组：二阶标量声波方程：第一百四十七页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日二、波动方程类型及其局限性能够描述且只能描述纵波的传播规律，包括直达波、反射波、透射波、折射波等，但不能描述转换波传播规律。需要的已知条件包括：1）震源函数2）地层速度/密度3）边界条件第一百四十八页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日2、弹性波方程：第一百四十九页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日能够描述纵、横波的传播规律，包括直达波、反射波、透射波、折射波以及转换波等。需要的已知条件包括：1）震源函数2）地层速度或根据方程的类型需要提供的地层的其它弹性参数3）边界条件第一百五十页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日3、粘声波/弹性波方程 前面讨论的是理想弹性介质，波在其中传播时，没有能量的损耗，介质中应力和应变关系严格遵循胡克定律（这种理想介质称虎克固体），但波在实际介质中传播时，是有能量损耗的，这就是所谓的弹性波吸收。波在传播过程中，实际介质的不同部位之间会出现某种摩擦力，称为内摩擦力或粘滞力。这种力导致机械能向其他形式能量转换，最终转化为热能消耗掉。第一百五十一页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日 在地震勘探中，地震波传播的实际介质是十分复杂的。在一定条件下，即震源作用时间短，作用力微小，地球介质可以看作完全弹性模型，但随着地震勘探技术的发展，勘探精度要求提高，面临复杂地质目标时，要求地震勘探采用更加符合实际的介质模型进行研究。粘弹性介质模型更符合实际。 但是到目前为止，在地震资料反演处理中应用最多的还是声波方程，弹性波以及粘弹性波方程的应用还只是停留在模拟层次上。第一百五十二页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日 一、地震勘探基本原理

二、波动方程类型及其局限性

三、数值算法类型及其局限性

四、声波方程的有限差分法数值模拟内容提纲第一百五十三页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日三、数值算法类型及其优缺点地震波波动方程数值模拟方法主要包括克希霍夫积分法、傅里叶变换法、有限元法和有限差分法等。克希霍夫积分法引入射线追踪过程，本质上是波动方程积分解的一个数值计算，在某种程度上相当于绕射叠加。该方法计算速度较快，但由于射线追踪中存在着诸如焦散、多重路径等问题，故其一般只能适合于较简单的模型，难以模拟复杂地层的波场信息。第一百五十四页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日傅里叶变换法是利用空间的全部信息对波场函数进行三角函数插值，能更加精确地模拟地震波的传播规律，同时，利用快速傅里叶变换(FFT)进行计算，还可以提高运算效率，其主要优点是精度高，占用内存小，但缺点是计算速度较慢，对模型的适用性差，尤其是不适应于速度横向变化剧烈的模型。第一百五十五页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日波动方程有限元法的做法是：将变分法用于单元分析，得到单元矩阵，然后将单元矩阵总体求和得到总体矩阵，最后求解总体矩阵得到波动方程的数值解；其主要优点是理论上可适宜于任意地质体形态的模型，保证复杂地层形态模拟的逼真性，达到很高的计算精度，但有限元法的主要问题是占用内存和运算量均较大，不适用于大规模模拟，因此该方法在地震波勘探中尚未得到广泛地应用。第一百五十六页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日相对于上述几种方法，有限差分法是一种更为快速有效的方法。虽然其精度比不上有限元法，但因其具有计算速度快，占用内存较小的优点，在地震学界受到广泛的重视与应用。第一百五十七页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日 一、地震勘探基本原理

二、波动方程类型及其局限性

三、数值算法类型及其局限性

四、声波方程的有限差分法数值模拟内容提纲第一百五十八页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日四、声波方程的有限差分法数值模拟对于二维速度-深度模型，地下介质中地震波的传播规律可以近似地用声波方程描述：是介质在点（x,z）处的纵波速度，为描述速度位或者压力的波场，为震源函数。(4-1)第一百五十九页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日空间模型网格化（如图4-1所示）：图4-1差分网格划分示意图第一百六十页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日网格间隔长度，时间采样步长表示(i,j)点k时刻的波场值

第一百六十一页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日 时间二阶、空间二阶差分格式推导如下：(4-2)(4-3)第一百六十二页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日将上两式相加，略去高阶小量，整理得(i,j)点k时刻的二阶时间微商为：(4-4)第一百六十三页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日同理可得(i,j)点k时刻的二阶空间微商分别为：(4-5)(4-6)第一百六十四页，共一百八十页，编辑于2023年，星期日这就实现了用网个点波场值的差商代替了偏微分方程的微商，将上三个式子代入(4-1)式中得：(4-7)式中第一百六十