复变函数-史上最全

复变函数与积分变换（B）《复变函数》(四版)2013-2014学年学期教材2021/5/912013年9月3日第一章复数与复变函数2021/5/92对象复变函数（自变量为复数的函数）主要任务研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分主要内容复变函数的积分、级数、留数、共形映射、傅立叶变换和拉普拉斯变换等复数与复变函数、解析函数、2021/5/93学习方法复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处.但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的性质与结果2021/5/94背景十六世纪,在解代数方程时引进复数为使负数开方有意义，需要扩大数系，使实数域扩大到复数域在十八世纪以前，对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾.在历史上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数”直到十八世纪，J.D’Alembert(1717-1783)与L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题.复数被广泛承认接受，复变函数论顺利建立和发展.2021/5/95十九世纪奠定复变函数的理论基础三位代表人物:A.L.Cauchy（1789-1866)K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数研究复变函数G.F.B.Riemann(1826-1866)研究复变函数的映照性质通过他们的努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也得到了很多的应用.

2021/5/961.复数的概念

2.代数运算

3.共轭复数§1复数及其代数运算2021/5/97

一般,任意两个复数不能比较大小.1.复数的概念

定义对任意两实数x、y,称z=x+iy或z=x+yi为复数.复数z的实部Re(z)=x;虚部Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart)

复数的模

判断复数相等2021/5/98定义z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：

z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)

z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)2.代数运算四则运算2021/5/99z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.运算规律复数的运算满足交换律、结合律、分配律.（与实数相同）即，2021/5/910共轭复数的性质3.共轭复数定义若z=x+iy,称z=x-iy

为z的共轭复数.(conjugate)2021/5/9112021/5/9121.点的表示

2.向量表示法

3.三角表示法

4.指数表示法§2复数的表示方法2021/5/9131.点的表示点的表示：

数z与点z同义.2021/5/9142.向量表示法

oxy(z)P(x,y)xy

称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；以正实轴为始边,以为终边的角的弧度数称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时)2021/5/915辐角无穷多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，把其中满足的θ0称为辐角Argz的主值，记作θ0=argz.

z=0时，辐角不确定.

计算argz(z≠0)

的公式2021/5/916

当z落于一,四象限时，不变.

当z落于第二象限时，加.

当z落于第三象限时，减.

2021/5/9172021/5/9182021/5/9192021/5/920oxy(z)

z1z2

z1+z2z2-z1由向量表示法知3.三角表示法4.指数表示法2021/5/9212021/5/922引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方程（或不等式）来确定它所表示的平面图形.例1

用复数方程表示:（1）过两点zj=xj+iyj

(j=1,2)的直线；（2）中心在点(0,-1),

半径为2的圆.oxy(z)Lz1z2z解（1）z=z1+t(z2-z1)

（-∞<t<+∞）2021/5/923xy(z)O(0,-1)2例2

方程表示什么图形？解2021/5/9242021/5/925注意.复数的各种表示法可以相互转化,以适应不同问题的需要.2021/5/9262013年9月4日2021/5/9272021/5/9282021/5/9292021/5/9301.复数的乘积与商

2.复数的乘幂

3.复数的方根§3复数的乘幂与方根2021/5/931定理1

两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加.证明设z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1

z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2

则z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]=r1r2ei(θ1+θ2)1.乘积与商因此|z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz22021/5/932几何意义将复数z1按逆时针方向旋转一个角度

Argz2，再将其伸缩到|z2|倍.

定理1可推广到n个复数的乘积.oxy(z)z1z2z22021/5/933由于辅角的多值性，因此，该等式两端都是无穷多个数构成的两个数集,等式两端可能取的值的全体是相同的,也就是说，对于左端的任一值，右端必有一值和它相等，并且反过来也一样。注意：Arg(z1z2)=Argz1+Argz22021/5/934要使上式成立,必须且只需k=m+n+1.2021/5/935定理2

两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.证明Argz=Argz2-Argz1由复数除法的定义z=z2/z1，即z1z=z2∵|z||z1|=|z2|及Argz1+Argz=Argz2（z1≠0）2021/5/936设z=reiθ，由复数的乘法定理和数学归纳法可证明zn=rn(cosnθ+isinnθ)=rneinθ.2.复数的乘幂定义n个相同的复数z的乘积，称为z的n次幂，记作zn，即zn=zzz（共n个）.定义特别：当|z|=1时，即：zn=cosnθ+isinnθ，则有

(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ

棣模佛(DeMoivre)公式.2021/5/937问题给定复数z=rei，求所有的满足ωn=z的复数ω.3.复数的方根（开方）——乘方的逆运算

当z≠0时，有n个不同的ω值与相对应，每一个这样的ω值都称为z的n次方根，2021/5/938

当k=0，1，…，n-1时，可得n个不同的根，而k取其它整数时，这些根又会重复出现.几何上，的n个值是以原点为中心，为半径的圆周上n个等分点，即它们是内接于该圆周的正n边形的n个顶点.xyo2021/5/9392021/5/9401.区域的概念

2.简单曲线（或Jordan曲线)3.单连通域与多连通域§4区域2021/5/9411.区域的概念邻域复平面上以z0为中心，任意δ>0为半径的圆|z-z0|<δ(或0<|z–z0|<δ)

内部的点的集合称为点z0的δ（去心）邻域.记为Ｕ(z0,δ)即，设G是一平面上点集内点对任意z0属于G，若存在Ｕ(z0,δ)，使该邻域内的所有点都属于G，则称z0是G的内点.2021/5/942开集若G内的每一点都是内点，则称G是开集.连通是指区域设D是一个开集，且D是连通的，称

D是一个区域.D-区域边界与边界点已知点P不属于D，若点P的任何邻域中都包含D中的点及不属于D的点，则称P是D的边界点；内点外点D的所有边界点组成D的边界.P2021/5/943有界区域与无界区域若存在R>0,对任意z∈D,均有z∈G={z||z|<R}，则D是有界区域；否则无界.闭区域区域D与它的边界一起构成闭区域,2021/5/9442021/5/9452.简单曲线（或Jardan曲线)令z(t)=x(t)+iy(t)a≤t≤b;则曲线方程可记为：z=z(t)，a≤t≤b有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线.2021/5/946重点设连续曲线C：z=z(t)，a≤t≤b，对于t1∈(a，b),t2∈[a,b],当t1≠t2时，若z(t1)=z(t2)，称z(t1)为曲线C的重点.定义称没有重点的连续曲线C为简单曲线或Jardan曲线;若简单曲线C满足z(a)=z(b)时，则称此曲线C是简单闭曲线或Jordan闭曲线.z(a)=z(b)简单闭曲线z(t1)=z(t2)不是简单闭曲线2021/5/9473.单连通域与多连通域简单闭曲线的性质

任一条简单闭曲线C：z=z(t)，t∈[a，b]，把复平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有界区域，称为C的内部；一个是无界区域，称为C的外部；还有一个是它们的公共边界.z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)内部外部边界定义

复平面上的一个区域B，如果B内的任何简单闭曲线的内部总在B内，就称B为单连通域；非单连通域称为多连通域.2021/5/948例如

|z|<R（R>0）是单连通的；

0≤r<|z|≤R是多连通的.单连通域多连通域多连通域单连通域2021/5/949作业P31

1（２）（４），２，８（３）（４）（５），１４（２）（４），２１（４）（８）（９）２２（３）（４）（６）2021/5/9502021/5/9512021/5/9522021/5/9532021/5/9541.复变函数的定义

2.映射的概念

3.反函数或逆映射§5复变函数2021/5/9551.复变函数的定义—与实变函数定义相类似定义

2021/5/9562021/5/957例1例22021/5/958oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在几何上，w=f(z)可以看作：

定义域函数值集合2.映射的概念——复变函数的几何意义zw=f(z)w2021/5/959

以下不再区分函数与映射（变换）.

在复变函数中用两个复平面上点集之间的对应关系来表达两对变量u，v

与x，y

之间的对应关系，以便在研究和理解复变函数问题时，可借助于几何直观.复变函数的几何意义是一个映射（变换）2021/5/960例3解—关于实轴对称的一个映射见图1-1~1-2—旋转变换(映射)见图2例4解2021/5/961oxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、(w)o图1-1图1-2图2uv(w)o2021/5/962例5oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R=42021/5/9633.反函数或逆映射例设z=w2

则称为z=w2的反函数或逆映射定义设w=f(z)的定义集合为G,函数值集合为G*则称z=φ(w)为w=f(z)的反函数（逆映射）.2021/5/964例已知映射w=z3

，求区域0<argz<在平面w上的象.例2021/5/9652008.10.8

(第三次课)2021/5/9661.函数的极限

2.运算性质

3.函数的连续性§6复变函数的极限与连续性2021/5/9671.函数的极限定义uv(w)oAxy(z)o几何意义:

当变点z一旦进入z0

的充分小去心邻域时,它的象点f(z)就落入A的一个预先给定的ε邻域中2021/5/968

(1)

意义中的方式是任意的.

与一元实变函数相比较要求更高.(2)A是复数.2.运算性质复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：定理1(3)若f(z)在处有极限,其极限是唯一的.2021/5/969定理2

以上定理用极限定义证!2021/5/970例1例2例32021/5/9713.函数的连续性定义定理32021/5/972例4证明f(z)=argz在原点及负实轴上不连续.证明xy(z)ozz2021/5/973

定理4连续函数的和、差、积、商(分母不为0)

仍为连续函数;

连续函数的复合函数仍为连续函数.有界性：2021/5/974第二章解析函数

第一节解析函数的概念第二节函数解析的充要条件第三节初等函数2021/5/9751.复变函数的导数定义

2.解析函数的概念§2.1解析函数的概念2021/5/976

一.复变函数的导数(1)导数定义定义设函数w=f(z)z∈D,且z0、z0+Δz∈D，如果极限存在，则称函数f(z)在点z0处可导.称此极限值为f(z)在z0的导数，记作

如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称f(z)在区域D内可导.2021/5/977

(1)Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零.

(2)z=x+iy,Δz=Δx+iΔy,Δf=f(z+Δz)-f(z)例12021/5/978(2)求导公式与法则①常数的导数c=(a+ib)=0.②(zn)=nzn-1(n是自然数).证明对于复平面上任意一点z0，有----实函数中求导法则的推广2021/5/979③设函数f(z),g(z)均可导，则

[f(z)±g(z)]=f(z)±g(z)，

[f(z)g(z)]=f(z)g(z)+f(z)g(z)2021/5/980④复合函数的导数(f[g(z)])

=f

(w)g(z)，

其中w=g(z).⑤反函数的导数，其中:w=f(z)与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0.2021/5/981例3问：函数f(z)=x+2yi是否可导？例2解解2021/5/9822021/5/983例4证明f(z)=zRez只在z=0处才可导.证明2021/5/9842021/5/9852021/5/9862021/5/987(1)复变函数在一点处可导，要比实函数在一点处可导要求高得多，也复杂得多，这是因为Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零的原故.(2)在高等数学中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是很困难的,

但在复变函数中，却轻而易举.2021/5/988(3)可导与连续若w=f(z)在点z0处可导w=f(z)点z0处连续.?2021/5/9892.4解析函数1.解析函数的概念定义

如果函数w=f(z)在z0及z0的某个邻域内处处可导，则称f(z)在z0解析；如果f(z)在区域D内每一点都解析，则称

f(z)在D内解析，或称f(z)是D内的解析函数

(全纯函数或正则函数）.如果f(z)在点z0不解析，就称z0是f(z)的奇点.

(1)w=f(z)在D内解析在D内可导.(2)函数f(z)在z0点可导，未必在z0解析.2021/5/9902021/5/991例如(1)w=z2在整个复平面处处可导，故是整个复平面上的解析函数；(2)w=1/z，除去z=0点外，是整个复平面上的解析函数；(3)w=zRez在整个复平面上处处不解析(见例4).定理1设w=f

(z)及w=g(z)是区域D内的解析函数，则f

(z)±g(z)，f(z)g(z)及f

(z)g(z)(g

(z)≠0时)均是D内的解析函数.2021/5/992定理2设w=f(h)在h

平面上的区域G内解析,

h=g(z)在z平面上的区域D内解析,h=g(z)的函数值集合G，则复合函数w=f[g(z)]在D内处处解析.2021/5/993

调和函数2021/5/994

在§6我们证明了在D内的解析函数,其导数仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数.本节利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间的关系.内容简介§7解析函数与调和函数的关系2021/5/995定义定理2021/5/996证明：设f(z)=u(x,y)+i

v(x,y)在区域D内解析，则2021/5/997即u及v在D内满足拉普拉斯(Laplace)方程:定义2021/5/998上面定理说明：由解析的概念得：现在研究反过来的问题：2021/5/999如2021/5/91002021/5/9101定理2021/5/9102

公式不用强记！可如下推出：类似地，然后两端积分得，2021/5/9103

调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中都有重要应用.本节介绍了调和函数与解析函数的关系.2021/5/9104例1解曲线积分法2021/5/9105故

2021/5/9106又解凑全微分法2021/5/9107又解偏积分法2021/5/9108又解不定积分法2021/5/9109第八次课11月12日2021/5/91101.解析函数的充要条件

2.举例§2函数解析的充要条件2021/5/9111

如果复变函数w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定义域D内处处可导，则函数w=f(z)在D内解析.

本节从函数u(x,y)及v(x,y)的可导性，探求函数w=f(z)的可导性，从而给出判别函数解析的一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法.问题如何判断函数的解析性呢？2021/5/9112一.解析函数的充要条件2021/5/91132021/5/91142021/5/9115

记忆定义方程称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).2021/5/91162008.10.15第四次课2021/5/9117定理1设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内有定义，则f(z)在点z=x+iy∈D处可导的充要条件是

u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微，且满足

Cauchy-Riemann方程上述条件满足时,有2021/5/9118证明（由f(z)的可导C-R方程满足上面已证！只须证

f(z)的可导函数u(x,y)、v(x,y)可微）.∵函数w=f(z)点z可导，即则f(z+Δz)-f(z)=f

(z)Δz+(Δz)Δz(1),且2021/5/9119Δu+iΔv=(a+ib)(Δx+iΔy)+(1+i2)(Δx+iΔy)=(aΔx-bΔy+1Δx-2Δy)+i(bΔx+aΔy+2Δx+1Δy)令：f(z+Δz)-f(z)=Δu+iΔv，f

(z)=a+ib，

(Δz)=1+i2故（1）式可写为因此Δu=aΔx-bΔy+1Δx-2Δy,Δv=bΔx+aΔy+2Δx+1Δy2021/5/9120所以u(x,y)，v(x,y)在点(x,y)处可微.

（由函数u(x,y),v(x,y)在点(x,y)处可微及满足

C-R方程f(z)在点z=x+iy处可导）∵u(x，y)，v(x，y)在(x，y)点可微，即：2021/5/91212021/5/9122定理2

函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内解析充要条件是u(x,y)和v(x,y)在D内可微，且满足Cauchy-Riemann方程

由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出导数来.

利用该定理可以判断那些函数是不可导的.2021/5/9123使用时:i)判别u(x,y)，v(x,y)偏导数的连续性，

ii)验证C-R条件.iii)求导数：

前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的,但是求复变函数的导数时要注意,并不是两个实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.2021/5/9124二.举例例1

判定下列函数在何处可导，在何处解析：解(1)设z=x+iy

w=x-iy

u=x,v=-y

则2021/5/9125解(2)∵f(z)=ex(cosy+isiny)则u=excosy,v=exsiny2021/5/9126仅在点z=0处满足C-R条件，故解(3)设z=x+iy

w=x2+y2

u=x2+y2,v=0则2021/5/9127例2

求证函数证明由于在z≠0处，u(x,y)及v(x,y)都是可微函数，且满足C-R条件：故函数w=f(z)在z≠0处解析，其导数为2021/5/9128例3证明2021/5/9129例4

如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是一解析函数，且f(z)≠0，那么曲线族u(x,y)=C1，

v(x,y)=C2必互相正交，这里C1

、C2常数.那么在曲线的交点处，i)uy、

vy

均不为零时，由隐函数求导法则知曲线族u(x,y)=C1，v(x,y)=C2中任一条曲线的斜率分别为解利用C-R方程

ux=vy,uy=-vx有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)=-1，即：两族曲线互相正交.2021/5/9130ii)uy，vy中有一为零时，不妨设uy=0，则k1=∞，

k2=0（由C-R方程）即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另一条是铅直的,它们仍互相正交.练习:a=2,b=-1,c=-1,d=22021/5/91312021/5/91322021/5/91332021/5/91341.指数函数

2.三角函数和双曲函数

3.对数函数

4.乘幂与幂函数

5.反三角函数与反双曲函数§3初等函数2021/5/9135

本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明它们的解析性.内容简介2021/5/9136一.指数函数它与实变指数函数有类似的性质：定义2021/5/91372021/5/9138

这个性质是实变指数函数所没有的.2021/5/9139

例1例22021/5/9140二.三角函数和双曲函数推广到复变数情形定义2021/5/9141正弦与余弦函数的性质2021/5/91422021/5/9143思考题：2021/5/91442021/5/91452021/5/9146由正弦和余弦函数的定义得其它三角函数的定义(详见P51)2021/5/91472021/5/9148定义—称为双曲正弦和双曲余弦函数双曲正弦和双曲余弦函数的性质2021/5/91492021/5/9150三.对数函数定义指数函数的反函数称为对数函数.即，(1)对数的定义2021/5/9151故2021/5/9152特别

2021/5/91532008.10.22第五次课2021/5/9154(2)对数函数的性质见§1-6例12021/5/9155例42021/5/91562021/5/91572021/5/91582021/5/91592021/5/9160四.乘幂与幂函数

乘幂ab定义

—多值—一般为多值2021/5/9161—q支2021/5/9162

(2)当b=1/n(n正整数)时，乘幂ab与a

的

n次根意义一致.(1)当b=n(正整数)时，乘幂ab与a的n次幂意义一致.2021/5/9163解例52021/5/9164

幂函数zb定义①当b=n(正整数)w=zn在整个复平面上是单值解析函数2021/5/91652021/5/9166

除去b为正整数外，多值函数，当b为无理数或复数时，无穷多值.5.反三角函数与反双曲函数详见P52

重点：指数函数、对数函数、乘幂．2021/5/9167作业P672,8,15,182021/5/9168第三章复变函数的积分2021/5/91691.有向曲线

2.积分的定义

3.积分存在的条件及其计算法

4.积分性质§1复变函数积分的概念2021/5/91701.有向曲线2021/5/9171CA(起点)B(终点)CC2021/5/91722.积分的定义定义DBxyo2021/5/9173

2021/5/91742021/5/91753.积分存在的条件及其计算法定理

2021/5/9176证明2021/5/9177

2021/5/9178由曲线积分的计算法得2021/5/91794.积分性质由积分定义得：2021/5/9180例1解又解Aoxy2021/5/9181例2解oxyrC2021/5/9182îíì¹==-=-\òò=-++0002)()(01010nnizzdzzzdzrzznCnp

2021/5/9183第六次课10月29日2021/5/9184oxy例3解2021/5/9185解:例42021/5/9186分析§1的积分例子:§2Cauchy-Goursat基本定理2021/5/9187猜想：积分的值与路径无关或沿闭路的积分值＝0的条件可能与被积函数的解析性及解析区域的单连通有关.先将条件加强些，作初步的探讨2021/5/91882021/5/9189—Cauchy定理2021/5/9190Cauchy-Goursat基本定理：

BC—也称Cauchy定理2021/5/9191(3)定理中曲线C不必是简单的！如下图.BBC推论设f(z)在单连通区域B内解析，则对任意两点z0,z1∈B,积分∫cf(z)dz不依赖于连接起点z0与终点z1的曲线，即积分与路径无关.Cz1z0C1C2C1C2z0z12021/5/9192复合闭路定理：§3基本定理推广—复合闭路定理2021/5/9193证明DCc1c2BL1L2L3AA’EE’FF’GH2021/5/9194说明2021/5/9195

此式说明一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的积分值，只要在变形过程中曲线不经过f(z)的不解析点.—闭路变形原理DCC1C1C12021/5/9196例解C1C21xyo2021/5/9197练习解C1C21xyo2021/5/9198作业P991,2,5,7(1)(2)2021/5/91991.原函数与不定积分的概念

2.积分计算公式§4原函数与不定积分2021/5/92001.原函数与不定积分的概念

由§2基本定理的推论知：设f(z)在单连通区域B内解析，则对B中任意曲线C,积分∫cfdz与路径无关，只与起点和终点有关.

当起点固定在z0,终点z在B内变动,∫cf(z)dz在B内就定义了一个变上限的单值函数，记作定理设f(z)在单连通区域B内解析，则F(z)在B内解析，且2021/5/9201定义若函数(z)

在区域B内的导数等于f(z)

，即

,称(z)为f(z)在B内的原函数.

上面定理表明是f(z)的一个原函数.设H(z)与G(z)是f(z)的任何两个原函数，这表明：f(z)的任何两个原函数相差一个常数.(见第二章§2例3)2021/5/92022.积分计算公式定义设F(z)是f(z)的一个原函数，称F(z)+c(c为任意常数)为f(z)的不定积分，记作定理设f(z)在单连通区域B内解析，F(z)是f(z)的一个原函数，则

此公式类似于微积分学中的牛顿－莱布尼兹公式.

但是要求函数是解析的,比以前的连续条件要强2021/5/9203例1计算下列积分：解1)

2021/5/9204解)2021/5/9205例3计算下列积分：2021/5/9206小结求积分的方法2021/5/9207第七次课11月5日2021/5/9208利用Cauchy-Goursat基本定理在多连通域上的推广,即复合闭路定理,导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式,该公式不仅给出了解析函数的一个积分表达式，从而成为研究解析函数的有力工具，而且提供了计算某些复变函数沿闭路积分的方法.§5Cauchy积分公式2021/5/9209分析DCz0C12021/5/9210DCz0C1∴猜想积分2021/5/9211定理(Cauchy积分公式)证明2021/5/92122021/5/9213

2021/5/9214

一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.2021/5/9215例1解2021/5/9216例2解CC1C21xyo2021/5/9217本节研究解析函数的无穷次可导性，并导出高阶导数计算公式.研究表明：一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各阶导数，它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示.这一点与实变函数有本质区别.§6解析函数的高阶导数2021/5/9218形式上，以下将对这些公式的正确性加以证明.2021/5/9219定理证明用数学归纳法和导数定义.2021/5/9220令为I2021/5/92212021/5/9222依次类推，用数学归纳法可得2021/5/9223一个解析函数的导数仍为解析函数.2021/5/9224例1解2021/5/92252021/5/92262021/5/9227

作业P1007(3)(5)(7)(9)8(1)(2)9(3)(5)2021/5/9228

解析函数与调和函数的关系2021/5/9229

在§6我们证明了在D内的解析函数,其导数仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数.本节利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间的关系.内容简介§7解析函数与调和函数的关系2021/5/9230定义定理2021/5/9231证明：设f(z)=u(x,y)+i

v(x,y)在区域D内解析，则2021/5/9232即u及v在D内满足拉普拉斯(Laplace)方程:定义2021/5/9233上面定理说明：由解析的概念得：现在研究反过来的问题：2021/5/9234如2021/5/92352021/5/9236定理2021/5/9237

公式不用强记！可如下推出：类似地，然后两端积分得，2021/5/9238

调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中都有重要应用.本节介绍了调和函数与解析函数的关系.2021/5/9239例1解曲线积分法2021/5/9240故

2021/5/9241又解凑全微分法2021/5/9242又解偏积分法2021/5/9243又解不定积分法2021/5/9244第八次课11月12日2021/5/92451.复数列的极限

2.级数的概念第四章级数§1复数项级数2021/5/92461.复数列的极限定义又设复常数：定理1证明2021/5/92472021/5/92482.级数概念级数的前n项的和---级数的部分和不收敛---无穷级数定义设复数列：

2021/5/9249例1解定理2证明2021/5/9250

由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为两个实数项级数的收敛问题.性质定理3证明2021/5/9251

?定义由定理3的证明过程，及不等式定理42021/5/9252解例2：P1082021/5/9253例3解练习(P108,例1)：2021/5/92541.幂级数概念

2.收敛定理

3.收敛圆与收敛半径

4.收敛半径的求法

5.幂级数的运算和性质§2幂级数2021/5/92551.幂级数的概念定义设复变函数列：称为复变函数项级数级数的最前面n项的和级数的部分和

2021/5/9256若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数---级数(1)的和函数特殊情况，在级数(1)中称为幂级数2021/5/92572.收敛定理同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：定理1阿贝尔(Able)定理讨论P142：52021/5/9258证明2021/5/9259(2)用反证法，3.收敛圆与收敛半径由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述三种情况：(i)若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上处处收敛.(ii)除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时，级数(3)在复平面上除z=0外处处发散.2021/5/9260显然，<否则，级数(3)将在处发散.将收敛部分染成红色，发散部分染成蓝色，逐渐变大，在c内部都是红色,逐渐变小，在c外部都是蓝色，红、蓝色不会交错.故播放2021/5/92612021/5/9262

(i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题要具体分析.定义红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的收敛圆；圆的半径R叫做幂级数的收敛半径.(ii)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心，半径为R的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径为R的圆域.2021/5/92634.收敛半径的求法

定理2(比值法)证明2021/5/92642021/5/92652021/5/9266

定理3(根值法)

定理2(比值法)2021/5/9267第九次课11月19日2021/5/9268例1：P111解

综上2021/5/9269例2求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形:解(1)该级数收敛该级数发散p=1p=2该级数在收敛圆上是处处收敛的.2021/5/9270

综上该级数发散.该级数收敛，2021/5/9271故该级数在复平面上是处处收敛的.2021/5/92725.幂级数的运算和性质

代数运算

---幂级数的加、减运算---幂级数的乘法运算2021/5/9273---幂级数的代换(复合)运算

幂级数的代换运算在函数展成幂级数中很有用.例3：P116解代换2021/5/9274解代换展开还原2021/5/9275

分析运算

定理4---幂级数的逐项求导运算---幂级数的逐项积分运算2021/5/9276作业P10330(1)(2),31P1411(2)(4),3(3)(4),6(2)(3)(4),11(1)(3)2021/5/92771.泰勒展开定理

2.展开式的唯一性

3.简单初等函数的泰勒展开式§3泰勒(Taylor)级数2021/5/92781.泰勒(Taylor)展开定理现在研究与此相反的问题：一个解析函数能否用幂级数表达?(或者说,一个解析函数能否展开成幂级数?解析函数在解析点能否用幂级数表示？）由§2幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在它的收敛圆内部是一个解析函数.以下定理给出了肯定回答：任何解析函数都一定能用幂级数表示.2021/5/9279定理（泰勒展开定理）Dk分析：代入(1)得2021/5/9280Dkz2021/5/9281---(*)得证！2021/5/9282证明(不讲)2021/5/9283(不讲)2021/5/9284证明(不讲)2021/5/9285

2021/5/92862.展开式的唯一性结论解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它的Taylor级数.利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样的展开式是否唯一？事实上，设f(z)用另外的方法展开为幂级数:2021/5/9287由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor级数，因而是唯一的.---直接法---间接法代公式由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分析运算和已知函数的展开式来展开函数展开成Taylor级数的方法：2021/5/92883.简单初等函数的泰勒展开式例1解(P120)2021/5/92892021/5/9290

上述求sinz,cosz展开式的方法即为间接法.例2把下列函数展开成z的幂级数:解2021/5/9291(2)由幂级数逐项求导性质得：2021/5/9292

(1)另一方面，因ln(1+z)在从z=-1向左沿负实轴剪开的平面内解析，ln(1+z)离原点最近的一个奇点是-1,它的展开式的收敛范围为z<1.2021/5/9293定理2021/5/92942021/5/9295第十次课11月26日2021/5/9296?2021/5/92971.预备知识

2.双边幂级数

3.函数展开成双边幂级数

4.展开式的唯一性§4罗朗(Laurent)级数2021/5/9298

由§3

知,f(z)在z0

解析，则f(z)总可以在z0

的某一个