期权的基本概念和定价分析现代金融理论-上海交大

第7章

期权的基本概念和定价分析

1Black-Schole原假设改变的情况贡献者(1)无风险利率为定常数无风险利率满足随机的情形Merton（1973）(2)连续模型离散的二项式定价方法Cox、Ross和Rubinstein（1977）、Rendleman和Barter（1977）数值解法和近似解法Barone-Adesi和Whaley（1987），Omberg（1987）和Chaudhury（1995）(3)根本证券不支付红利考虑根本证券支付红利的看涨期权定价公式Roll（1979）、Geseke（1979）、Whaley（1981）(4)欧式看涨期权美式看跌期权Parkinson（1977）美式期权最优提早执行的条件Cox和Rubinstein（1985），Geseke和Shastri（1985）亚式期权TurnbullandWakeman(1991)，Levy(1992)，Vorst(1992,1996)，MileskyandPosner(1998)扩散—跳空方程(Diffusion-JumpModel)Merton（1976）根本证券价格动力学满足双变量和多变量Ornstein-Uhlenbeck基础上Andrew和Wang（1995）(6)波动率为定常数波动率为随机变动的期权定价公式Hull和White（1990）(7)不存在交易成本交易成本与根本证券价格成比例的单阶段期权定价公式Merton（1990）将Merton（1990）的方法推广到多阶段情形Boyle和Vorst（1992）(8)股票期权外汇期权GarmanandKohlhagen(1983)期货期权Lieu（1990）、Chaudhury和Wei（1994）2Black-Schole原假设改变的情况贡献者(1)无风险利率为定常数无风险利率满足随机的情形Merton（1973）(2)连续模型离散的二项式定价方法Cox、Ross和Rubinstein（1977）、Rendleman和Barter（1977）数值解法和近似解法Barone-Adesi和Whaley（1987），Omberg（1987）和Chaudhury（1995）(3)根本证券不支付红利考虑根本证券支付红利的看涨期权定价公式Roll（1979）、Geseke（1979）、Whaley（1981）(4)欧式看涨期权美式看跌期权Parkinson（1977）美式期权最优提早执行的条件Cox和Rubinstein（1985），Geseke和Shastri（1985）亚式期权(5)假设股票价格为对数正态分布股票价格为对数泊松分布时纯跳空期权定价模型(PureJumpModel)Cox和Ross（1976）扩散—跳空方程(Diffusion-JumpModel)Merton（1976）根本证券价格动力学满足双变量和多变量Ornstein-Uhlenbeck基础上Andrew和Wang（1995）(6)波动率为定常数波动率为随机变动的期权定价公式Hull和White（1990）(7)不存在交易成本交易成本与根本证券价格成比例的单阶段期权定价公式Merton（1990）将Merton（1990）的方法推广到多阶段情形Boyle和Vorst（1992）(8)股票期权外汇期权GarmanandKohlhagen(1983)期货期权Lieu（1990）、Chaudhury和Wei（1994）36.1独特性（1）期货特性：线性100007500500025000(2500)(5000)(7500)(10000)94.0095.0096.0097.0098.0099.00100.00101.00102.00结算价格最终支付（马克）多头空头图4-1债券期货合同双方的交付4(2)期权特性：左右不对称，非线性100007500500025000(2500)(5000)(7500)(10000)94.0095.0096.0097.0098.0099.00100.00101.00102.00最终支付（马克）多头空头结算价格图4-2国债（期货）期权合同双方的交付5期权特性：左右不对称，非线性4。03。02。01。00-1。0-2。0-3。0-4。06.007.008.009.0010.0011.0012.0013.0014.00最终支付（马克）多头空头结算价格股票期权合同双方的交付，执行价为106（3）期货与期权的根本区别：期货同时有权利和义务期权将权利和义务分离利润损失期货价格权利义务期货多头期货空头图4-3期货：权利和义务结合7图4-4期权：权利和义务分离利润期货价格只有权利多头看涨多头看跌利润损失期货价格只有义务空头看跌损失期权买方期权卖方空头看涨86.2基本概念看涨期权和看跌期权持有一份看涨期权是：买的权利一定数量的对应资产一定的价格在给定日期或者之前执行注意：看涨期权的买方有权利而没有义务9持有一份看跌期权是：卖的权利一定数量的对应资产一定的价格在给定日期或者之前执行注意：看跌期权的买方有权利而没有义务10欧式：只能在到期日行使的期权美式：在到期日前任何一天都可以行使的期权权利金（期权价格或期权费）：买方为了获得期权支付给卖方的费用交割价格（执行价格）：行使期权的价格，通常事先确定内在价值：如果期权立即执行其正的价值时间价值：权利金超过内在价值的值价内（折价）：有内在价值价外（溢价）：没有内在价值平价：行使价格等于相关资产价格11图4-5期权的基本交付模式买入看跌买入看涨卖出看跌卖出看涨12图6-6价内、价外和平价期权的关系价外价内平价看涨期权价值看跌期权价值交割价格交割价格平价价内价外对应资产价格对应资产价格136.3到期日的价值和利润模式图4-7美元对马克看涨期权的价值0.35000.30000.25000.20000.15000.10000.05000.00001.401.451.501.551.601.651.701.751.801.851.901.952.00利润（马克）对应资产价格（美元/马克）140.25000.20000.15000.10000.05000.0000-0.0500-0.10001.401.451.501.551.601.651.701.751.801.851.901.952.00利润（马克）对应资产价格（美元/马克）0.3000期权费平衡点图6-815表4-1不同交割价格期权的期权费交割价格期权费价内平价价外1.50001.60001.70001.80001.90000.22000.13000.06000.02000.010016图4-9五种美元对马克看涨期权的利润模式0.25000.20000.15000.10000.05000.0000-0.0500-0.10000.3000-0.1500-0.2000-0.25001.401.451.501.551.601.651.701.751.801.851.901.952.00对应资产价格（美元/马克）利润（马克）1.50001.60001.70001.80001.900017图4-10美元对马克看跌期权的利润模式0.35000.30000.25000.20000.15000.10000.05000.00000.4000-0.0500-0.1000-0.15001.401.451.501.551.601.651.701.751.801.851.901.952.00利润（马克）对应资产价格（美元/马克）1.50001.60001.70001.80001.900018中值=10%标准差=20%图4-11收益率的正态分布19中值=112.75标准差=22.78图6-12价格的对数正态分布20概率密度图6-13价外结果的对数正态分布21中值=112.75标准差=22.55概率图6-14对应资产价格的分布22概率=0.66期权价值概率图4-15期权价值的分布23模型假设：根本资产可以自由买卖根本资产可以卖空在到期前根本资产没有任何收益资金的借贷适用相同的无风险利率且为连续复利欧式期权，即在到期前不能执行没有任何税赋、交易成本或保证金根本资产价格是时间的连续函数，不会出现跳动或间断情况根本资产的波动率、利率在契约期间不变24放宽假设：根本资产买卖有约束根本资产不能卖空在到期前根本资产有收益或红利资金的借贷无风险利率不相同美式期权，即在到期前可以执行有税赋、交易成本或保证金根本资产价格出现突变根本资产的波动率、利率均为随机过程25理论推导(1)布朗运动的假设

关键在,用是否可行是正态分布零均值方差为1

26（2）股票价格过程的假设几何布朗运动

27(3)Ito过程设设G是x和t的函数，则有28多元函数泰勒展开：29用并把代入更高阶无穷小量30ITO定理的特例应用31ITO定理在远期合约中的应用从方程得到32ITO定理应用于股票价格对数变化G=lnS33Black--Scholes微分方程的推导(式*1)(式*2)34恰当的证券组合应该是:-1:衍生证券:股票此证券组合的持有者卖出一份衍生证券,买入数量为的股票。定义证券组合的价值为。根据定义：35时间后证券组合的价值变化为:(式*3)36将方程(式*1)和(式*2)代入方程(式*3),得到37对欧式看涨期权,关键的边界条件为:当t=T时对欧式看跌期权,边界条件为:当t=T时38

案例2

阿莱商品公司发行可售回股票

39阿莱商品公司发行可售回股票

1984年11月，德莱克塞尔投资银行在帮助阿莱商品公司（ArleyMerchandiseCorporation）进行600万股的股票首次公开出售时，设计了可售回股票。即阿莱商品公司的普通股与一份看跌权同时出售。普通股的售价是每股8美元，看跌期权则是给予投资者在两年之后按8美元的价格将其持有的普通股出售给发行公司的权利。在这两年内投资者无权行使该权利，只有在满两年时，即1986年11月，投资者才能行使期权。这样。投资者在这两年的投资每股至多损失时间成本，即利息。40当时，阿莱商品公司之所以愿意提供这样的承诺，是因为老股东不愿意以每股低于8美元的价格出售普通股，但德莱克塞尔投资银行却认为，按当时的市场情况，阿莱的股票仅能以每股6美元左右的价格出售。为了满足阿莱的要求，德莱克塞尔投资银行便设计了可售回股票。结果，阿莱的股票顺利的以每股8元的价格销售一空。411984年11月15日，阿莱公司的股票在美国股票交易所AMSE上市。当天股价跌至7.625美元。在新股的适应期内，阿莱的股票不象一般的IPO股票一样：阿莱的股票迅速下挫至每股6美元—这正是德莱克塞尔投资银行的预测值。其后的一年半内，该股票始终在6美元左右徘徊，从1986年4月开始，它开始小幅攀升。

421986年8月16日，阿莱公司董事会接受了该公司的中层经理提出的管理层收购方案（MBO）。这些经理斥资4870万美元，以每股10美元的价格购买阿莱公司。于是，在其可售回股票的执行期内，阿莱公司的股价在9—10美元之间盘整，故“售回”没被执行。43阿莱公司的老股东和经理相对外部投资者而言，均是所谓的“内部人”，经理们愿意以每股10美元实施收购，足以证明其真实的股票价值断然不至市场预测的每股6美元。这个案例说明可售回股票的确有助于缓解公司内外的信息不对称问题，避免股价的低估。444.4期权平价定理454.5股票期权价格的特征一、影响期权价格的因素股票价格和执行价格到期期限波动率无风险利率红利46表4-2一个变量增加而其他变量保持不变

对股票期权价格的影响47二假设和符号为分析问题，可以合理地假定不存在套利机会以下字母的含义为：S：股票现价X：期权执行价格T：期权的到期时间t:现在的时间ST：在T时刻股票的价格48r:在T时刻到期的无风险利率C：一股股票的美式看涨期权的价值P：一股股票的美式看跌期权的价值c:一股股票的欧式看涨期权的价值p:一股股票的欧式看跌期权的价值:股票价格的波动率49三、期权价格的上下限1期权价格的上限股票价格是期权价格的上限:502.不付红利的欧式看跌期权的下限对于不付红利的欧式看跌期权来说，其价格的下限为：51假定S=$37，X=$40，r=5%，T-t=0.5Xe-r(T-t)-S=40e-0.05*0.5-37=2.01或$2.01如果欧式看跌期权价格$1.00<$2.01(理论最小值)套利者可借入六个月期的$38.00，购买看跌期权和股票。在六个月末套利者将支付$38e0.05*0.5=$38.96。52如果股票价格低于$40.00,套利执行期权以$40.00卖出股票，归还所借款项本金和利息，其获利为：$40.00-$38.96=$1.04如果股票价格高于$40.00，套利者放弃期权，卖出股票并偿付所借款项本金和利息，甚至可获得更高的利润。例如，如果股票价格为$42.00，则套利者的利润为：$42.00-$38.96=$3.0453考虑下面两个组合：组合C：一个欧式看跌期权加上一股股票组合D：金额为Xe-r(T-t)的现金如果ST<X，在T时刻组合C中的期权将被执行，该组合的价值为X。如果ST>

X，在T时刻看跌期权到期价值为零，该组合的价值为ST。因此，组合C在T时刻的价值为：max(ST,X)54假定现金按无风险利率进行投资，则在T时刻组合D的价值为X。因此，在T时刻组合C的价值通常不低于组合D的价值，并且有时组合C的价值会高于组合D的价值。在不存在套利机会时，组合C的现在价值一定高于组合D的现在价值。因此：

p+S>Xe-r(T-t)或p>Xe-r(T-t)-S55由于对于一个看跌期权来说，可能发生的最坏情况是期权到期价值为零所以期权的价值必须为正值，即p>0这意味着：

p>max(Xe-r(T-t)-S,0)式（*1）563.不付红利的看涨期权的下限不付红利的欧式看涨期权的下限是57例考虑一个不付红利的股票的美式看涨期权此时股票价格为$51时，执行价格为$50距到期日有六个月，无风险年利率为12％即在本例中，S＝$51，X=$50，T-t=0.5，r=0.12。根据c>max(S-Xe-r(T-t)，0)该期权价格的下限为S-Xe-r(T-t)或51-50e-0.12*0.5=$3.9158四、提前执行：

提前执行不付红利的美式看涨期权是不明智的。考虑一个不付红利股票的美式看涨期权，距到期日还有1个月，股票价格为$50，执行价格为$40。期权的实值额很大，期权的持有者可能很想立即执行它。那些确实想持有股票的投资者将会购买该期权。这类投资者是一定存在的。否则股票的现价就不会是$50。C>S-Xe-r(T-t)59所以C>S-X。如果提前执行是明智的，那么C应该等于S-X。我们的结论是：提前执行是不明智的。60图6-16

股价为S的不付红利股票的美式或欧式看涨期权的价格变化61五、提前执行：

提前执行不付红利的看跌期权可能是明智的。

提前执行不付红利的看跌期权可能是明智的。事实上，在期权有效期内的任一给定的时刻，如果看跌期权的实值额很大，则应提前执行它。62考虑一个极端的例子假定执行价格为$10，股票价格接近为0。通过立即执行期权，投资者可立即获利$10如果投资者等待，则执行期权的盈利可能低于$10，但是由于股票价格不可能为负值，所以盈利不会超过$10。另外，现在收到$10比将来收到$10要好。这说明该期权应立即执行。63图6-17

股价为S的美式看跌期权的价格变化图64图6-18

股价为S的欧式看跌期权的价格变化图65六、美式看涨期权和看跌期权之间的关系看涨与看跌期权之间平价关系仅适用于欧式期权。但也可推导出不付红利股票的美式期权价格之间的某种关系。

S-X<C-P<S-Xe-r(T-t)

式（*2）66例考虑不付红利股票的美式看涨期权，执行价格为$20，到期期限为5个月，期权价格为$1.5。则同一股票相同执行价格和到期期限的欧式看涨期权的价格也是如此。假定股票的现价为$19，无风险年利率为10％。根据C+Xe-r(T-t)=P+S，执行价格为$20，到期期限为5个月的欧式看跌期权的价格为：1.50＋20e-0.1*0.4167-19=$1.6867根据式（*2）19-20<C-P<19-20e-0.1*0.4167或1>P-C>0.18这表明P-C在$1.00和$0.18之间。由于C为$1.50，P必须在$1.68和$2.50之间换句话说，与美式看涨期权执行价格和到期期限相同的美式看跌期权价格的上限和下限分别为$2.50和$1.68。68七、红利的影响用字母D表示在期权有效期内红利的现值为此，人们假定在除息日发放红利。1.看涨期权和看跌期权的下限2.提前执行3.看涨与看跌期权之间的平价关系691.看涨期权和看跌期权的下限c>S-D-Xe-r(T-t)p>D+Xe-r(T-t)-S702.提前执行当预期有红利发放时，我们不再肯定美式看涨期权不应提前执行。有时在除息日前，立即执行美式看涨期权是明智的。这是因为发放红利将使股票价格跳跃性下降，使期权的吸引力下降。713.看涨与看跌期权之间的平价关系c+D+Xe-r(T-t)=p+SS-D-X<C-P<S-Xe-r(T-t)726.6二项式定价7310012090风险资产期权C200图4-20一期二项程序——具体举例74考虑这样一个资产组合（1）以价格C卖出三口看涨期权(100)（2）以价格100买进两个单位的根本资产（3）以10%的利率借入资金163.647510012090风险资产期权C14410881上升C下降4480图6-21两期二项期权定价C76120144108风险资产期权C448图6-22两期二项期权定价——右上方分支7710012090风险资产期权C29.094.85图6-23两期二项期权定价——左方分支7810012090风险资产期权19.10144108814.8529.094480套头率=1套头率=0.30套头率=0.81图6-24两期二项期权定价——完整过程79100.00100.00100.00100.00100.00100.00106.53106.53106.53106.53106.5393.8793.8793.8793.8793.87113.48113.48113.48113.48120.89120.89120.89120.89128.79128.79128.79137.19137.19137.19146.15146.15155.69155.69165.86176.69113.48128.79146.15165.86188.2288.1288.1288.1288.1288.1282.7282.7282.7282.7277.6577.6577.6577.6572.8972.8972.8968.4268.4268.4264.2364.2360.2960.2956.6053.13012345678910表6-3十步二项模型定价——资产价格800.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.008.7926.155.032.881.650.940.540.310.1818.6312.768.505.553.572.271.430.8945.8637.1229.0021.9016.0811.518.085.573.782.5468.2258.1248.7039.9431.9724.9919.0914.2910.507.585.40109876543210表6-4十步二项模型定价——期权价值81步数期权价格0102030405060708090100图6-25二项模型的可靠性826.7 价格波动期权定价模型期权费对应资产价格交割价格到期日波动率估计利率“向前”期权定价模型期权费

对应资产价格交割价格到期日波动率估计利率“向后”图6-26通过期权定价模型计算隐含波动率83案例外汇结构性产品

结构性存款（DCD，又称双币种存款）虽然不是一种规避汇率风险的金融产品，但它目前较普遍地被用在财务管理中，是一种兼有币种转换和提高外汇收益的资金衍生产品。特别适用于当前手头拥有某种外币，并希望在预期的将来把它转换为另一种外币，用以支付应付账款或偿还外债，同时还可以获得较高的存款收益。在这种情况下，客户应选择非常接近于即期汇率的执行汇率价格，以获得较高的存款利率并提高币种转换的可能性。

84结构性存款是一种与汇率挂钩的投资性存款方式，其实质是做了一个看涨期权空头（客户卖出一份看涨期权给银行），结构性存款中客户虽然冒了币种转换的风险，但其基础货币的收益有可能比常规收益高出近10倍。85该产品的操作方式是，投资者将某种基础货币存入代理行。参考当前汇率，通过选择汇率浮动范围确定执行汇率，一般范围选择得越小，则可能得到的存款报价就越高（其中原因将在下文解释）。

86在存款到期日，客户可以获得当初与代理行之间约定的较高的存款利率，同时，在存款到期日，银行有权选择支付存款本金的币种。如果实际汇率超出了当初约定的汇率，则其基础货币就被转换为当初约定的转换货币；反之，银行支付原存款币种给存款人。

87下面以2003年3月21日/24日的汇率为例，分别列出了EUR/USD，USD/JPY，GBP/USD和AUD/USD的报价（见表１２-５至表１２-８）。该报价中对基础货币的存款量要求为30万美元至100万美元，大于100万美元，则报价利率在列示利率上再加0．50%（见表１２-９）。88表1２-5EUR/USD结构性存款报价

EUR/USD3月21日转换汇率4月2日/4月4日4月16日/4月22EURdeposit+100pips1．073011．11%8．26%USDdeposit-50pips1．058014．91%9．95%汇率2周exp/del1个月exp/del+50pips1．068015．23%10．17%现汇参考1．0630-100pips1．053010．33%7．69%89表1２-6USD/JPY结构性存款报价

2周exp/del1个月exp/delUSD/JPY3月24转换汇率4月2日/4月4日4月16日/4月22USDdeposit+100pips119．809．97%6．67%+50pips119．3014．88%8．57%现汇参考118．80JPYdeposit-50pips118．3014．67%8．65%-100pips117．809．76%6．67%90表1２-7GBP/USD结构性存款报价GBPdeposit+100pips1．57609．57%7．28%USDdeposit-50pips1．561012．21%8．37%2周exp/del1个月exp/delGBP/USD3月21日转换汇率4月2日/4月44月16日/4月22+50pips1．571012．53%8．61%现汇参考1．5660-100pips1．55609．09%6．79%91表1２-8AUD/USD结构性存款报价

AUD/USD3月21转换汇率4月2日/4月4日4月16日/4月22日+100pips0．60307．28%6．85%现汇参考0．5930-50pips0．588012．34%9．61%2周exp/del1Mexp/delAUDdeposit+50pips0．598012．76%9．64%USDdeposit-100pips0．58305．90%5．78%92表1２-9目前一个月存款参考利率USDEURAUDGBPJPY1．31%2．28%4．31%3．25%0．52%93以美元为例，比较结构性存款的利率与普通定期存款的利率。在汇率范围选择为＋50pips时，结构性美元存款的两周存款利率按年利率可达14．88%，而１个月的存款利率也达到了8．57%。相比之下，美元普通１个月存款的利率只有1．31%，两者相比，相差几乎十倍。94（2）结构性存款报价分析影响DCD报价的因素主要是执行价格和存款期。执行汇率越靠近即期汇率，则存款利率越高；存款期越长，存款利息绝对值越大，但一般情况下，单位时间存款利率随着存款期的延长反而降低。例如，USD/JPY结构性存款报价中，时间长度是2周的年利率为14．88%，而时间长度是1个月的年利率仅为8．57%。95①执行汇率对价格的影响由于结构性存款的核心是客户出售一个看涨期权给银行，因此银行报价的基础是期权价格。购买期权合约的一方（即银行）持有期权多头头寸，而出售或承约期权合约的一方持有期权空头头寸（即选择做DCD的客户）。期权的出售方事先收取现金（期权费），对于DCD，客户从银行处获得了较高的存款利率回报，但随后则具有潜在的责任。期权出售方的损益状态与期权购买方的损益状态正好相反。

96以上述存款本金为美元，兑换货币为日元的报价为例。3月24日美元对日元的汇率参考价为118．80，如果客户选择了＋50点的汇率作为交割汇率即119．30，则银行存款利率的报价为14．88%；如果客户选择了＋100点的汇率作为交割汇率即119．80，则银行存款利率的报价为9．97%。显然＋50点的报价比＋100点的报价高。97②款期限对价格的影响上述报价单中，存款利率随着存期的延长反而降低，这与一般的存款不同，因为对于一般的银行存款，存款期越长，则存款利率越高。这一现象，可以通过高曼哥哈根模型来解释。98期权价格与S，X，rb，rp，t，σ有关，一般情况下当S，X，rb，rp固定时，期限t越长，波动率σ越大，则期权价格越高，但是，t与C之间并非线性关系，也就是当存款期从一个星期增加到两个星期，期权价格虽然也会增长，但不会同时增长一倍。除了t，波动率σ也同时对期权价格C产生影响。一般银行计算期权价格时使用的隐含波动率采用了当天市场价，在一般情况下，短期的隐含波动率大于长期的隐含波动率。上述两个因素决定了当存款期延长，虽然绝对利息收入增加，但单位时间存款利率却反而降低。99结构性存款的定价（１）定价计算由于结构性存款是一个看涨期权空头，低于执行价格时，看涨期权的卖出方收取了期权费。所以，银行对结构性存款的定价完全建立在它所收取的期权费的基础上，结构性存款的定价就变为计算看涨期权的期权费C。100（２）高曼哥哈根模型式中：C表示期权价格，S表示即期汇率，X表示执行汇率，rb

表示基础货币的连续复合利率，rp

表示定价货币的连续复合利率。101在上述公式中，只有一个参数不能从市场中直接观察到，这就是波动率，它是用来衡量未来汇率价格变动的不确定性。随着波动率的增加，看涨期权和看跌期权的价值都会增加。波动率有多种计算方法，从历史数据估计波动率、波动率微笑曲线、波动率的期限结构和波动率矩阵等。102这里利用市场隐含波动率计算期权价格。根据当天Reuter上的即时报价，市场隐含波动率为9．85%。分析以美元为基础货币，日元为兑换货币，交割汇率为＋100pips，1个月到期的结构性存款利率报价，必须计算该产品中的期权价格。103S＝118．80，X＝119．80，σ＝9．85%，t＝0．08333，rp＝0．05188%，rb＝1．30875%104=-0．3174

105假设美元存款30万，则期权收益为２１８４美元（２5９４４０日元），折算为存款利率约为8．７4%（年利率）。银行在2003年3月24日对美元１个月结构性存款利率的报价为6．67%（存款额30万美元至100万美元），银行赚取了约２．０7%的年率收益。

106在2003年4月24日，如果汇率大于119．80，则美元以119．80被兑换成日元，公司获得比在3月24日以118．80兑换成日元更合算的兑换比例，并且可以获得年6．67%的利息，比日元存款利率0．05188%和美元存款利率1．30875%高得多。如果汇率小于119．80日元／美元，公司仍然可以保留美元，但可以获得年6．67%的利息，同样比日元存款利率0．05188%和美元存款利率1．30875%高得多。如果汇率等于119．80，公司可以兑换日元，也可以保留美元，但仍然可以获得年利率6．67%的利息。同理可以计算不同执行汇率，不同基础货币的结构性存款的价格。107布莱克斯科尔斯定价模型虽然解决了期权定价的计算问题，但是该模型应用的前提条件是资产收益率服从对数正态分布。如果这一假设不成立，那么该模型给出的价格就可能存在偏差。而大量实证检验表明资产收益率分布具有尖峰胖尾的特征，并不服从对数正态分布。由于上述的肥尾现象，布莱克斯科尔斯模型给出的价格就会低估虚值与实值看涨期权和看跌期权的价格。上述利用市场隐含波动率计算期权价格就是这个道理。108如果不利用市场隐含波动率，而利用50个连续交易日的汇率价格的每日数据，计算2003年3月24日USD/JPY汇率的波动率，得到历史波动率σ＝7．42%。下面利用历史波动率计算期权价格，并与上述用市场隐含波动率计算而得的存款利率进行比较。其中，仍假设基础货币为美元，兑换货币为日元，交割汇率为＋100pips。109S＝118．80，X＝119．80，σ＝7．42%，t＝0．08333，rp＝0．05188%，rb＝1．30875%110期权价格为0．5539日元。假设做期权的金额为３0万美元，则１个月期权收益为1399美元（166170日元），折算为存款利率约为年利5．60%，与利用市场隐含波动率计算而得的存款利率8．74%相比，低了3．14%，这就是利用历史波动率所产生的定价偏差

111布莱克斯科尔斯定价模型的不完美性，使实际从业人员在日常操作中，需要在通常偏差之上改变波动率参数以反映市场最新的信息。实际从业人员和研究人都发现隐含波动率依赖于执行价格（波动率微笑效应）和有效期限长度（期限结构效应）。利用波动率矩阵可以进一步处理模型的不完美之处。用最新的隐含波动率数据可以构造这些矩阵，这些矩阵综合考虑了波动率微笑和波动率期限结构。1126.8到期日前的期权价格1.40001.45001.50001.55001.60001.65001.70001.75001.80001.85001.90001.95002.00000.00000.05000.10000.15000.20000.25000.30000.3500对应资产价格(美元/德国马克)期权价值(德国马克)270天90天30天到期图6-27期权到期日前的价值113时间价值内在价值因持有人可以推迟决定是否行使期权而形成的价值因持有人可以推迟出售或购买对应资产带来的现金流而形成的价值，即持有成本期权独有的现金工具期权的重要特征1141.40001.45001.50001.55001.60001.65001.75001.80001.85001.90001.95002.00000.00000.05000.10000.15000.20000.25000.30000.3500对应资产价格(美元/德国马克)期权价值(德国马克)1.7000时间价值内在价值图6-28看涨期权的内在价值和时间价值1151.40001.45001.50001.55001.60001.65001.70001.75001.80001.85001.90001.95002.00000.00000.05000.10000.15000.20000.25000.30000.3500对应资产价格(美元/德国马克)期权价值(德国马克)负时间价值正时间价值时间价值内在价值图6-29看跌期权的内在价值和时间价值116步数对应资产套头率交易资产所持资产价值套头现金流量期权现金流量总现金流量现金流量的现在值012345100.000.43090.430943.09-43.090.00-43.09-43。09111.740.62690.196170.06-21.91-21.91-21.65120.950.75920.132391.83-16.00-16.00-15.62118.070.6985-0.060782.477.177.176.92116.080.6395-0.059074.246.856.856.53116.730.6279-0.011673.291.361.361.28表6-对空头看涨期权进行积极套头交易117步数对应资产套头率交易资产所持资产价值套头现金流量期权现金流量总现金流量现金流量的现在值678910到期日106.060.3210-0.306934.2432.7332.7330.46108.860.3135-0.007534.130.810.810.75115.290.45310.139652.24-16.09-16.09-14.62124.790.802.90.3498100.19-43.65-43.65-39.18137.911.000.1971137.91-27.18-27.18-24.11-1.00000.00137.91120.00106.43-17.91净现值-5.90表6-对空头看涨期权进行积极套头交易118平均=-5.40净现值图6-30套头成本的分布1196.9 期权的行为120一个例子某金融机构出售了基于100,000股不付红利股票的欧式看涨期权，获利$300,000。假设在股票市场股票价格是$49执行价格是$50无风险利率是年利率5%股票价格波动率是每年20%距到期时间还有20周股票的期望收益率是每年13%121使用一般的符号，这意味着：S=$49,X=$50,r=0.05σ=0.20,T-t=0.3846,μ=0.13122金融机构一般情况下很少出售基于单种股票的看涨期权。但用基于一种股票的看涨期权作为例子便于我们展开讨论，所得结论也适用于其它类型的期权和衍生证券。由Black-Scholes定价模型可知该期权的价格大致为$240,000。这家机构因此以比该期权理论价值高出$60,000的价格出售了该期权，同时面临着如何对冲其暴露头寸的问题。123模拟过程假设保值过程为每周调整一次。在表13.2中，Delta的初始计算值为0.522。意味着在出售看涨期权的同时，必须借进$2,577,800并按$49价格购买52,200股股票。第一周内发生的利息费用为$2,500。到第一周末，股票价格下降到$48(1/8)。这使得Delta值相应减少到0.458，要保持Delta中性，此时应出售6,400股股票。以上操作得到$308,000的现金。124在第一周末累计借款余额为2,252,300。在第二周内，股票价格下降到$47(3/8),Delta值又减小了，如此等等。在期权临近到期时，很明显该期权将被执行，Delta接近1.0。因此，到20周时，套期保值者具有完全的抵补期权头寸。套期保值者持有股票的收入为$5,000,000，因此出售该期权并对冲该期权风险的总计支出为$263,400。125表6-Delta对冲的模拟；期权接近于实值期权状态；

对冲成本＝$263,400126表4-7Delta对冲的模拟；期权接近于虚值期权状态；对冲成本＝$256,600127裸期权头寸策略（nakedposition）如果看涨期权被执行，该金融机构不得不以当前的市场价格购买100,000股与该期权头寸对冲，其损失为股票价格超出执行价格部分的100,000倍。例如，若20周末到期时股票价格为$60，金融机构的期权成本为100,000×($60-$50)=$1,000,000，这远远高出先前的期权费收入$300,000。若20周末到期时股票价格低于$50，裸期权头寸策略将运行得很有效。该期权不会被执行，金融机构分文无损，整个交易中金融机构净获利$300,000。128抵补期权头寸策略（coveredposition）,所做的就是在出售看涨期权的同时购买100,000股股票。如果到期时该期权被执行，这个策略很有利，但在其余情况下，代价就会很昂贵。例如，如果股票价格降低到$40，该机构在股票头寸上的损失将比$300,000高许多。从看涨期权与看跌期权之间的平价关系，也可以看出出售一个抵补看涨期权头寸风险暴露与出售一个裸看跌期权头寸风险暴露是相同的。129所以裸期权头寸和抵补期权头寸这两种策略都不是理想的套期保值方法。130若某投资者出售了20份该股票看涨期权合约（20份股票看涨期权可购买2,000股股票）。投资者的保值头寸保持Delta对冲状态（或Delta中性状态）这是因为随着股票价格的变化和时间的流逝，Delta值也在不断地变化。实际上，这套期保值操作中，需要定期地调整保值头寸，这种调整称为再均衡（rebalancing）。1311.40001.45001.50001.55001.60001.65001.70001.75001.80001.85001.90001.95002.00000.00000.05000.10000.15000.20000.25000.30000.3500对应资产价格(美元/马克)价值(马克)270天30天=0.12=0.03=0.33=0.60=0.02=0.54=0.98=1.00=1.00=0.92=0.81=0.96=0.00图6-31显示得尔塔值的利润图1320.00000.02000.04000.06000.08000.10002702402101801501209060300价内平价价外=-0.0001=-0.0002=-0.00036=-0.0001=-0.0001=-0.0003=-0.0003=-0.0002=-0.0001=-0.0006时间价值（马克）到期日（天）图6-32时间衰减和希