数学概念课教学设计的实践与思考-以一节数列的概念及表示教学为例

数学概念课教学设计的实践与思考-以一节“数列的概念及表示”教学为例

Summary：中职数学概念课教学存在学生抽象思维差异大、概念教学方式单一和师生对数学抽象素养养成重视不够等问题，借助探究式教学理念，在数学概念课教学中注重概念生成过程，把握概念本质，实施教学策略，激发学生思维活力，促进学生深度学习，培养中职生数学抽象素养。Keys：概念生成；数学抽象；思维活力一、教学实践背景数学概念是揭示现实世界空间形式与数量关系本质属性的思维形式。新课标要求数学概念课教学时要突出概念的发生、发展过程，把接受新知识的过程当作再发现、再探索的过程。[1]在实际概念教学中存在以下问题：1.中职生数学抽象素养参差不齐，中职生数学基础薄弱，数学核心素养水平较低，数学成绩两极分化，大部分成绩不理想，长期的数学学习挫败感导致学生对学习内容没有兴趣，课堂氛围沉闷。2.概念课教学方式单一，仅是对数学概念做字面上的讲解，对照概念做练习的教学方式导致学生对数学概念理解和应用停留在字面上，不能综合情境进行抽象解决问题，学生课堂参与度和思考深度不够。3.师生对数学抽象素养养成重视不够，看重分数但分数低，课堂上死记硬背，忽视概念、公式、定理的生成过程，解题没有方法记套路，数学概念课索然无味，无法对学生数学抽象素养的培养起到应有的作用。二、教学设计与实践为解决中职数学概念课教学中存在的弊端，部分教师运用探究式教学，注重数学概念生成过程，把握概念本质，实施教学策略，激发学生思维活力，促进学生深度学习。1.创设适当情境，促进概念生成数学源于生活，数学问题与现实情境紧密相连，情境是抽象概念的土壤，高中生虽处于逻辑思维迅速发展的阶段，但形象思维仍然发挥着重要作用。从适当的学习素材(现实生活的、数学内部的、相关学科的等等)中引出的、对学生的思维具有挑战性的“问题情景”，引导学生开展系列化数学学习活动，从素材中抽象出一般的、概括性的知识[2]。教学片段1以《数列的概念及表示》为例师:古希腊有位智者叫毕达哥拉斯，他发现了勾股定理还创建了影响西方乃至整个世界的毕达哥拉斯学派者，被称为数学之父。毕达哥拉斯年轻时喜欢研究数，用小石头排成图1形状：问题1图1中的小石头数表示了一系列数字，这些数有怎样的规律？先画出图1中第5个，第6个“三角形”，说出它们分别表示哪些数，并找规律填表1。师:这些“三角形”含有的点数分别是1,3,6,10,15,21，…（I）这就是大名鼎鼎的“三角形数”；师：图2中的小石头摆出的图形表示哪些数?找出这些数的规律填写表2。“正方形”点数分别是1,4,9,16,25,36…（II）这些数叫“正方形数”；设计说明：由数学大咖毕达哥拉斯及其学派与形数的数学史创设三角形数和正方形数构成的数列问题情境，对同学们进行形数的科普，引导学生对形数的规律进行探索。画图填表，增强教学的直观性与趣味性;情景问题简明易懂，在学生思维最近发展区内提有适度挑战性问题，满足“导而弗牵，开而弗达”的要求，让学生自己“捅破窗户纸”促进概念生成。[2]2.设计典型问题，厘清概念本质著名数学教育家波利亚曾说过：“问题是数学的心脏”。问题是数学活动中学生思维动力和课堂活力的源头，在概念教学中，设计一系列逻辑合理、导向明确的问题串，把概念理解的难点阶梯分解，降阶抽象思维的难度，引学生朝预期设计的方向生成课堂，让学生有深度思考的时间和空间。层层深入的问题串，在问答中思维产生交互，学生在课堂交互中生成概念，丰富学生学习体验，提升思维活力。教学片段2问题2表1和表2两列数（I）和（II），其中的任意两个数字交换位置，两列数变了吗?数列：①1,2,3,4,5,6,7,8；②8,7，6,5,4,3,2,1是同一个数列吗?为什么?生1:两列数有变化，数的顺序改变了，数列就不一样。（前面的两列数都按一定顺序排列。）生2:不是。数字调换顺序后，数列就变成了另一个数列，①的第一项是1，②的第一项是8。问题3：数列⑴1,3,6,10,15,21，…；⑵1,4,9,16,25,36…；⑴、⑵中的项与数的次序有关吗?生3:数列中的每一项都与数所在的序号（第几）有关，并且序号都是从1开始的。例2写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数:(1)，，,，…；(2)2,4,6，8，…;(3)1，一1，1，一1，…;(4)1,1，1，1，1,…问题5已知数列的前几项，表示数列的通项公式是否只有一个?生7:不一定，如例2(3)，通项公式可以写成,=，也可以成,=cos（n-1）。设计说明:根据学生最近发展区设置问题，包括问题引入，概念建构，概念辨析，概念理解四个方面，逐步深人、层层相扣，在思维碰撞中动态生成数列的概念.问题1让学生在数学史中了解“形数”，在画图和找规律的数学活动中一起探究;问题2通过调换列数中数的“次序”来发现每个数是有“次序和对应”;问题3和问题4让学生通过次序与项的对应，理解数列是定义在正整数集或其子集上的特殊函数；问题5通过实例说明表示数列的通项公式多样性，问题6通过数列实例结合函数性质类比数列的性质，加深学生对数列通项公式和性质的理解。3.渗透思想方法，培养抽象素养在日常教学中部分师生只注重考试成绩，不重视数学抽象素养的养成。一些学生认为数学只要上课能听懂，下课能解题就行，其实不然，数学教育不仅仅是教会学生解题，而是培养学生学会用数学思维思考，用数学理念和方法解决生活实际问题。比如从特殊到一般的数学抽象方法就是将“将实际生活中的问题数学化，发现不同对象的共同特征”，就是发现不同问题中的一般的特性；数形结合思想是根据数和形的对应，“以形表数、以数解形”，把复杂问题简单化，抽象问题具体化的重要解题思想方法。思维导图是表达发散性思维的有效图形思维工具，引导学生绘制课程单元化的思维导图，建立章节知识概念体系。设计好学材，在完成任务单的同时，在概念的生成，知识的发生，问题的探究过程中培养了学生的抽象素养。[3]学习材料（任务单）问题4，数列{}，任意项(i=1,2,3,…,n,…)与各项序号i（项数）之间有图3的对应关系，这个对应关系“f”是函数关系吗?请举例验证（任务1）生(1-10):是函数关系。数列中的每一个序号（项数）1，2，3，…，n，…，都有唯一的项,…,与之对应。师:在数列{}中，对于每一个正整数n，都有一个数与之对应。数列可以看作是以正整数集或正整数集的有限子集）为定义域的函数,=f(n)。对函数y=f()，若自变量（）从1开始依次取全体正整数，得到一个数列:f(1),f(2),f(3),…,f(n),…，我们把=f(n)，(n)的解析式，称为数列的通项公式。师：请在EXCEL中画出数列⑵1,4,9,16,25,36…的图像（任务2）；通项公式=f(n)=；生：图像如右，数列的图像是一些独立的点。变式练习写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数:(1)1，，，,，…;(2)1，2，4，8，·…(3)2，0，2，0，…;(4)5，55，555，5555，·…问题6对照函数的一般性质，一起探究数列性质有哪些?师:我们学过函数单调性、奇偶性。数列也有单调吗？奇偶性呢?一起看看例2及变式练习中数列的单调性。生（1-10）:例2的(1)(2)及变式（1）（4）是递增数列，变式(1)是递减数列，(4)是常数列。生7:数列的项往后越来越大，如例2中的第(1)(2)小题，单调性递增。生8:奇、偶函数定义域关于原点对称，数列定义域是正整数集，定义域不关于原点对称，数列没有“奇偶性”。师：如何用数学语言描述数列的单调性？生9:任意连续两项和如果后一项总比前一项大，数列就是递增数列；师:非常好！数列从第2项开始才有前一项，这里的下标n2。即当n2时总有，则数列{}是递增数列。师:大家仿照上述说法描述递减数列和常数数列。生（1-10）：任意相邻两项和当n2时总有，则数列{}是递减数列。任意相邻两项和当n2时总有，则数列{}是常数列。师：请大家将本节课的内容绘制一张思维导图。（任务3）将学生作品进行点评和展示如右图。设计说明：本部分内容主要是任务单，将特殊到一般，数形结合，思维导图等思想方法融入学材形成可操作的任务单。通过类比函数对应，概念迁移项数和项之间对应，得出数列是定义在正整数集上（或其子集上）的特殊函数。根据学生专业特点用EXCEL绘图展示数列的部分图像，数形结合将抽象的概念（数列）在具体的案例（=）准确、直观演绎出来（一系列离散的点）。从项与n（序号）的对应到数列的解析式及图像，再到数列单调性的符号语言描述，理解数列的性质，为后续学习递推公式及等差、等比数列作铺垫，最后通过绘制本节课的思维导图使知识条理化，为建立数学知识网络打好基础。三、教学思考在探究式教学理念的指导下，数学概念课在教学情境、教学模式、教学理念方面进行了变革，解决概念教学时学生对教学内容的关注度低，课堂参与度不高，课堂思维效能低等问题，建构学生深度思考的“渔场”，激发思维活力，注重以下三个方面：1.注重“大情境”和“大概念”数学概念课教学设计要注重“大情境”和“大概念”[4]教学模式，大情境包括数学史情境、数学现象情境和数学模型情境三种情境。概念教学中创设情境要合理，要与探究的问题和内容有逻辑关联，创设能够激起学生探究问题的积极性，引发学生主动思考的情境。大概念是指把各种数学理解联系成一个连贯的整体，将数学看作是一个连贯的大概念集合。将一个数学概念放在更大的数学范畴里，这也是基于学科的基本结构和方法，即“推向大概念”。2.注重课堂生成数学概念课教学要注重课堂预设下生成的内容，学生的实物作品，纸质演算成果，现场的语言、动作都是数学思维的外化，捕捉到学生的思维火花，激发思维活力，将课堂生成资源以实物投影、直接展示、手机拍照，同屏技术等数字信息平台形式展示，尊重课堂生成，也是经营一堂好课。3.注重学材设计教学设计既包括教师用的教学设计方案（教学预设）也包括学生用的学材（任务单、学案）。设计学生角度的学材能帮助学生建立自主学习的时空和路径，起到导思与导做的作用，又能引导学生进行先实践后认知的序列进程。在信息化技术的帮助下，学材既能将学习时间前置又能将学习空间拓展。每一门学科课程教学都有自己独特的、其他学科所无法替代的价值，数学亦然。我们将数学的知识体系、思维方式和符号表达等融入到数学教学活动中，注重数学概念生成过程，启迪学生“用数学的眼光观察、用数学的思维思考和用数学的语言表达”[5]，培育学生数学抽象素养。Reference：[1]普通高中数学课程