概率论第六章

概率论第六章第一页，共四十七页，编辑于2023年，星期六引言在概率论中，随机变量的概率分布通常被假定为已知的，而一切问题的解决均基于已知的分布进行的但在实际问题中，情况往往并非如此。我们所研究的随机变量，它的分布形式未知的或完全不知道的第二页，共四十七页，编辑于2023年，星期六由于大量随机现象必然呈现出它的规律性，因而从理论上讲，只要对随机现象进行足够多次观察，被研究的随机现象的规律性一定能清楚地呈现出来.但一般只允许我们对随机现象进行次数不多的观察试验，也就是说,我们获得的只是局部观察数据.数理统计的任务就是研究怎样有效地收集、整理、分析所获得的有限的数据；对所研究的对象的性质、特点作出推断和预测（统计推断）。（大数定律）第三页，共四十七页，编辑于2023年，星期六它们构成了统计推断的两种基本形式.这两种推断渗透到了数理统计的每个分支.现实世界中存在着形形色色的数据,分析这些数据需要多种多样的方法.因此,数理统计中的方法和支持这些方法的相应理论是相当丰富的.概括起来可以归纳成两大类:参数估计──根据数据,用一些方法对分布的未知参数进行估计.假设检验──根据数据,用一些方法对分布的未知参数进行检验.第四页，共四十七页，编辑于2023年，星期六一、总体与个体1.

总体研究对象的全体称为总体.（试验的全部可能观察值）研究2000名学生的年龄

这些学生的年龄的全体就构成一个总体

每个学生的年龄就是个体.2.

个体构成总体的每个成员称为个体.（每一个可能的观察值）例§6.1随机样本第五页，共四十七页，编辑于2023年，星期六某工厂10月份生产的灯泡寿命所组成的总体中,个体的总数就是10月份生产的灯泡数,这是一个有限总体;而该工厂生产的所有灯泡寿命所组成的总体是一个无限总体,它包括以往生产和今后生产的灯泡寿命.3.

有限总体和无限总体例如

当有限总体包含的个体的总数很大时,可近似地将它看成是无限总体.容量：总体所包含的个体的个数称为总体的容量第六页，共四十七页，编辑于2023年，星期六4.

总体分布总体中的每一个个体是随机试验的一个观察值因此它是某一个随机变量X的值。总体就对应于一个随机变量X。X

的分布函数和数字特征称为总体的分布函数和数字特征.一般不区分总体和对应的随机变量，统称为总体X第七页，共四十七页，编辑于2023年，星期六例如以0表示生产线的产品为正品，以1表示次品，设出现次品的概率为p（常数），则总体由一些“1”和一些“0”所组成。这一总体对应于一个具有参数为p的（0-1）分布：

的随机变量，称之为（0-1）分布总体，意指总体中的观察值是（0-1）分布随机变量的值。第八页，共四十七页，编辑于2023年，星期六二、样本1.样本的定义在实际中，总体的分布（或其中部分参数）一般是未知的。可以通过从总体中抽取一部分个体，根据获得的个体数据对总体分布作出判断。被抽出的部分个体，称为总体的一个样本

抽取一个个体：对总体X进行一次观察并记录其结果。第九页，共四十七页，编辑于2023年，星期六相同条件下，对总体X进行n次重复、独立的观察，结果依次记为X1,X2,…,Xn，它们都是相互独立、且与X具有相同分布的随机变量。称X1,X2,…,Xn为来自总体X的一个简单随机样本，n为这个样本的容量。通过n次观察，得到一组实数x1,x2,…,xn，它们依次是随机变量X1,X2,…,Xn的观察值，称为样本值。对有限总体，采用放回抽样所得到的样本为简单随机样本。当样本容量n

与总体容量N

相比很小时,可将无放回抽样近似地看作放回抽样.(n/N<1/10)对于无限总体，因抽取一个个体不影响它的分布，所以总是用不放回抽样。第十页，共四十七页，编辑于2023年，星期六

设X是具有分布函数F的随机变量，若X1,X2,…,Xn是具有同一分布函数F的相互独立的随机变量，则称X1,X2,…,Xn为从总体X中得到的容量为n的简单随机样本，简称为样本，其观察值x1,x2,…,xn称为样本值。定义：综上所述，给出以下定义可将样本看成是一个随机向量，写成(X1,X2,…,Xn)第十一页，共四十七页，编辑于2023年，星期六

定理：若为X的一个样本，则的联合分布函数为：nXX,,1L若设X的概率密度为f，则的联合概率密度为：2.样本的分布第十二页，共四十七页，编辑于2023年，星期六解练习第十三页，共四十七页，编辑于2023年，星期六三、小结个体总体有限总体无限总体基本概念:说明1

一个总体对应一个随机变量X,我们将不区分总体和相应的随机变量,统称为总体X.说明2

在实际中遇到的总体往往是有限总体,它对应一个离散型随机变量;当总体中包含的个体的个数很大时,在理论上可认为它是一个无限总体.样本样本值总体的分布样本的分布第十四页，共四十七页，编辑于2023年，星期六§6.2抽样分布样本是进行统计推断的依据在应用时，往往不是使用样本本身而是针对不同的问题构造样本的适当函数利用这些样本的函数进行统计推断第十五页，共四十七页，编辑于2023年，星期六一、基本概念1.统计量的定义是一统计量。设X1,X2,…,Xn为来自总体X的一个样本,g(X1,X2,…,Xn)是X1,X2,…,Xn的函数，不含任何未知参数，则称g(X1,X2,…,Xn)若g中注：统计量是样本的函数，它是一个随机变量，统计量的分布称为抽样分布。若x1,x2,…,xn是相应于样本X1,X2,…,Xn的样本值,则称g(x1,x2,…,xn)是g(X1,X2,…,Xn)的观察值。第十六页，共四十七页，编辑于2023年，星期六设为来自总体的一个样本，问下列随机变量中那些是统计量思考？第十七页，共四十七页，编辑于2023年，星期六2.常用统计量样本均值样本方差反映总体均值的信息反映总体方差的信息样本k阶(原点)矩样本k阶中心矩

k=1,2,…反映总体k阶矩的信息反映总体k阶中心矩的信息样本标准差第十八页，共四十七页，编辑于2023年，星期六它们的观察值分别为：样本均值样本方差样本k阶矩样本k阶中心矩样本标准差第十九页，共四十七页，编辑于2023年，星期六依概率收敛的序列性质知道证由辛钦定理说明1说明2（下一章“矩估计”的理论根据）第二十页，共四十七页，编辑于2023年，星期六例从一批机器零件毛坯中随机地抽取10件,测得其重量为(单位:公斤):210,243,185,240,215,228,196,235,200,199,求这组样本值的均值、方差、二阶原点矩与二阶中心矩.解令则第二十一页，共四十七页，编辑于2023年，星期六3.经验分布函数(与总体分布函数F(x)相对应的统计量)对于经验分布函数格里汶科证明了如下定理于第二十二页，共四十七页，编辑于2023年，星期六的观察值的观察值例：第二十三页，共四十七页，编辑于2023年，星期六其经验分布函数观察值为例如：样本值为351

344351355347第二十四页，共四十七页，编辑于2023年，星期六若X1,X2,…Xn

是来自总体N(0,1)的样本,则称统计量二.正态总体的抽样分布（三大抽样分布）服从自由度为n的2分布.1.2分布记为2

～2(n).分布是由正态分布派生出来的一种分布.统计量的分布称为抽样分布.

总体的分布函数已知时，抽样分布是确定的.

第二十五页，共四十七页，编辑于2023年，星期六分布的密度函数：其中伽玛函数通过如下积分来定义：本页内容不做要求，了解即可第二十六页，共四十七页，编辑于2023年，星期六性质1(此性质可以推广到多个随机变量的情形.)第二十七页，共四十七页，编辑于2023年，星期六性质2第二十八页，共四十七页，编辑于2023年，星期六,,分位点的值得可以通过查表求对于不同的aan分布的分位点

2c(n>40)(P386)第二十九页，共四十七页，编辑于2023年，星期六几个常用的zα值标准正态分布的α分位点第三十页，共四十七页，编辑于2023年，星期六例：第三十一页，共四十七页，编辑于2023年，星期六t分布又称学生氏(Student)分布.以下t分布和F分布掌握其定义就够了，其他一般了解即可２.ｔ分布第三十二页，共四十七页，编辑于2023年，星期六图形关于ｔ＝０对称;当n充分大（大于30）时,其图形类似于标准正态变量概率密度的图形.t分布的一些重要事实:(1)n>1时,t分布的数学期望存在且为0;(2)n>2时,t分布的方差存在且为n/(n-2)(3)当自由度较大(如n30)时,t分布可以用N(0,1)分布近似.第三十三页，共四十七页，编辑于2023年，星期六由分布的对称性知(P385)第三十四页，共四十七页，编辑于2023年，星期六3.F分布设U～2(n1),V～2(n2),

且U,V相互独立,服从自由度为(n1,n2)的F分布.记为F～F(n1,n2).~1.定义称统计量第三十五页，共四十七页，编辑于2023年，星期六第三十六页，共四十七页，编辑于2023年，星期六分布的分位数F第三十七页，共四十七页，编辑于2023年，星期六特别地,若X

～N(,2),有4.正态总体的样本均值与样本方差的分布设总体X的均值为,方差为2,X1,X2,…Xn是X的一个样本.定理一设X1,X2,…Xn是总体N(,2)

的一个样本，则样本均值：第三十八页，共四十七页，编辑于2023年，星期六n取不同值时正太总体的样本均值的分布第三十九页，共四十七页，编辑于2023年，星期六

对于正态总体的样本方差S2,有以下定理:定理二X1,X2,…Xn是总体N(,2)

的一个样本.(1)(2)n取不同值时的分布第四十页，共四十七页，编辑于2023年，星期六

设X1,X2,…,Xn是取自正态总体的样本,分别为样本均值和样本方差,则有定理三第四十一页，共四十七页，编辑于2023年，星期六定理四(1)(两总体样本方差比的分布)分别是这两个样本的且X与Y独立,X1,X2,…,是取自X的样本,取自Y的样本,分别是这两个样本的样本方差,均值，则有Y1,Y2,…,是样本第四十二页，共四十七页，编辑于2023年，星期六定理四(2)(两总体样本均值差的分布)分别是这两个样本的样本均值,且X与Y独立,X1,X2,…,是取自X的样本,取自Y的样本,分别是这两个样本