概率论第七章参数估计区间估计

概率论第七章参数估计区间估计第一页，共五十页，编辑于2023年，星期六也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值.湖中鱼数的真值[]这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，称为置信概率，置信度或置信水平.习惯上把置信水平记作，这里是一个很小的正数.第二页，共五十页，编辑于2023年，星期六一.置信区间与置信度区间估计要求根据样本给出未知参数的范围，并保证真参数以指定的较大概率属于这个范围。定义：设总体含一待估参数对于样本找出两个统计量使得：称区间为的置信区间，为该区间的置信度是一个随机区间；给出该区间含真值的可靠度。可能性。表示该区间不包含真值的区间第三页，共五十页，编辑于2023年，星期六通常,采用95%的置信度,有时也取99%或90%.即置信度为这时重复抽样100次,则在得到的100个区间中包含真值的有95个左右,不包含真值的有5个左右。例如若具体的计算方法⑴由样本寻找一个样本函数，其中只含有一个未知参数θ⑵对于给定的置信水平，找a,b使得第四页，共五十页，编辑于2023年，星期六⑶由解出等价的不等式是θ的置信度为的置信区间。⑵对于给定的置信水平，找a,b使得第五页，共五十页，编辑于2023年，星期六二、正态总体均值与方差的区间估计设为总体的一个样本设已知方差且是的一个无偏点估计，置信度下，来确定的置信区间⑴已知方差，估计均值μ又第六页，共五十页，编辑于2023年，星期六对于给定的置信度查正态分布表，找出临界值使得：由此可找出无穷多组通常我们取对称使：且区间由上点的定义式,第七页，共五十页，编辑于2023年，星期六推得，随机区间：查正态分布表找出得：第八页，共五十页，编辑于2023年，星期六所以μ的置信水平为1-α的置信区间为简记为例若取查表得值算得样本均值的观察值则得到一个置信度为0.95的μ的置信区间，若由一个样本第九页，共五十页，编辑于2023年，星期六注：

μ的置信水平1－α的置信区间不唯一。

上例中同样给定,可以取标准正态分布上α分位点-Z0.04和Z0.01，则也有则μ的置信度为0.95的置信区间为但对称时的区间长度最短。194页第十页，共五十页，编辑于2023年，星期六例1：已知幼儿身高服从正态分布，现从5~6岁的幼儿中随机地抽查了9人，其高度分别为：115,120131,115,109,115,115,105,110cm;假设标准差置信度为95%;试求总体均值的置信区间解：已知由样本值算得：查正态分布表得由此得置信区间：第十一页，共五十页，编辑于2023年，星期六例2：从一批零件中随机抽取16个,测得长度（单位:厘米)为2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11设零件长度求总体均值的置信水平为0.90的置信区间。解：查表得所以的置信水平为0.90的置信区间为即:第十二页，共五十页，编辑于2023年，星期六例3：设总体问需要抽取容量为多大的样本,才能使的置信水平为0.95的置信区间的长度不大于0.49?解:设需要抽取容量为的样本,其样本均值为查表得于是的置信水平为0.95的置信区间为该区间长度要使只要即取第十三页，共五十页，编辑于2023年，星期六⑵方差未知，估计均值μ所以μ的置信水平为1-α的置信区间为简记为第十四页，共五十页，编辑于2023年，星期六例4：用仪器测量温度,重复测量7次,测得温度分别为:115,120,131,115,109,115,115cm;设温度在置信度为95%时,试求温度的真值所在范围。解：设是温度的真值，是测量值已知由样本值算得：得区间：查表第十五页，共五十页，编辑于2023年，星期六例5：对某种型号飞机的飞行速度进行15次试验,测得最大飞行速度(单位:米/秒)为420.3,425.8,423.1,418.7,438.3,434.0,412.3,431.5最大飞行速度服从正态分布.求飞机最大飞行速度422.2,417.2,425.6413.5,441.3,423.0,428.2,

根据长期经验,可以认为的期望值的置信水平为0.95的置信区间。解:以表示该飞机的最大飞行速度,则第十六页，共五十页，编辑于2023年，星期六查表得由于总体方差未知,因此的置信水平为0.95的置信区间为:即:由第十七页，共五十页，编辑于2023年，星期六3）方差的区间估计设为总体的一个样本是的无偏估计并且样本函数：由于分布无对称性即：第十八页，共五十页，编辑于2023年，星期六由分布表的构造置信区间：即第十九页，共五十页，编辑于2023年，星期六标准差σ的一个置信水平为的置信区间注意：在密度函数不对称时，如习惯上仍取和对称类似的分位点，但其置信区间的长度并不最短。第二十页，共五十页，编辑于2023年，星期六例6：在某班级中,随机抽取25名同学测量其身高,算得平均身高为170cm,标准差为12cm.假设所测身高近似服从正态分布,求该班学生平均身高和身高标准差的0.95置信区间。解：设身高由题设得(1)的0.95置信区间为第二十一页，共五十页，编辑于2023年，星期六(2)即:的0.95置信区间为即:的0.95置信区间为所以第二十二页，共五十页，编辑于2023年，星期六设某机床加工的零件长度16个零件，测得长度（单位：mm）如下：12.15,12.12,12.01,12.08,12.09,12.16,12.03,12.01,12.06,12.13,12.07,12.11,12.08,12.01,12.03,12.06,在置信度为95%时，试求总体方差的置信区间例7：今抽查解:已知查得查得由此得置信区间:第二十三页，共五十页，编辑于2023年，星期六三、两个正态总体均值与方差的区间估计设为总体的一个样本⒈的置信区间为总体的一个样本,X与Y相互独立。⑴均为已知,且是的一个无偏估计，因为X与Y相互独立,所以第二十四页，共五十页，编辑于2023年，星期六所以的置信水平为1-α的置信区间为第二十五页，共五十页，编辑于2023年，星期六⑵未知所以的置信水平为1-α的置信区间为第二十六页，共五十页，编辑于2023年，星期六⒉的置信区间所以的置信水平为1-α的置信区间为第二十七页，共五十页，编辑于2023年，星期六本章知识小结1.重点：矩估计、最大似然估计、无偏性、有效性、单个正态总体参数的区间估计2.难点：最大似然估计第二十八页，共五十页，编辑于2023年，星期六作业210页14、15、1819、20第二十九页，共五十页，编辑于2023年，星期六分布参数的区间估计若总体X的分布律其中为未知参数，则设为总体的一个大样本由中心极限定理（近似）第三十页，共五十页，编辑于2023年，星期六整理从中解得的范围第三十一页，共五十页，编辑于2023年，星期六上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限.例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了.这时，可将置信上限取为+∞，而只着眼于置信下限，这样求得的置信区间叫单侧置信区间.五、单侧置信区间第三十二页，共五十页，编辑于2023年，星期六于是引入单侧置信区间和置信限的定义：满足设是一个待估参数，给定若由样本X1,X2,…Xn确定的统计量则称区间是的置信水平为的单侧置信区间.称为单侧置信下限.第三十三页，共五十页，编辑于2023年，星期六又若统计量满足则称区间是的置信水平为的单侧置信区间.称为单侧置信上限.第三十四页，共五十页，编辑于2023年，星期六设灯泡寿命服从正态分布.求灯泡寿命均值的置信水平为0.95的单侧置信下限.例8从一批灯泡中随机抽取5只作寿命试验，测得寿命X（单位：小时）如下：1050，1100，1120，1250，1280由于方差未知，解：的点估计取为样本均值选取统计量为第三十五页，共五十页，编辑于2023年，星期六对给定的置信水平

，确定分位数使即于是得到的置信水平为的单侧置信区间为

第三十六页，共五十页，编辑于2023年，星期六将样本值代入得的置信水平为0.95的单侧置信下限是1065小时的置信水平为的单侧置信下限为即第三十七页，共五十页，编辑于2023年，星期六例9为估计制造某种产品所需要的单件平均工时（单位：小时），现制造5件，记录每件所需工时如下10.511.011.212.512.8假设制造单位产品所需工时试求平均工时的置信水平为0.95的单侧置信上限.解由于,其中未知,因此第三十八页，共五十页，编辑于2023年，星期六对于给定的,由分布的分位点的定义,存在,使得而,所以第三十九页，共五十页，编辑于2023年，星期六即故的单侧置信区间为单侧置信上限为第四十页，共五十页，编辑于2023年，星期六,经计算得,由得可得单侧置信上限因此,加工这种产品的平均工时不超过12.55小时的可靠程度是95%