激光束传输与变换第二讲

激光束传输与变换第二讲第一页，共六十九页，编辑于2023年，星期日思考题：

当一束在空气中传播的平面光波经焦距为f的透镜聚焦后在相距透镜为L1的距离处通过一个长度为L2、折射率为n2的介质时，试确定光束焦点位置？第二页，共六十九页，编辑于2023年，星期日第二部分高斯光束第一章高斯光束第二章高斯光束的衍射第三章高斯光束的传输与变换第四章光束整形与激光组束第三页，共六十九页，编辑于2023年，星期日第一章高斯光束

本章以光的电磁理论为基础,导出有关高斯光束的几种形式:

基模高斯光束 高阶模高斯光束 椭圆高斯光束 偏心高斯光束 矢量高斯光束并讨论它们的场分布特点以及传输规律。第四页，共六十九页，编辑于2023年，星期日本讲的主要内容

1.1电磁场的运动方程

1.2平面电磁波

1.3球面波和任意简谐波第五页，共六十九页，编辑于2023年，星期日§1.1电磁场的运动方程光的经典电磁理论：

已达到了相当完善的地步

解释了许多重要的光学现象 诸如光的反射和折射、光的干涉、衍射、偏振、光的双折射等现象.

一些光学分支的经典理论基础 如激光、傅里叶光学、集成光学、非线性光学等学科.

不足:不能解释如原子光谱、黑体辐射、光电效应等光学现象。

研究高斯光束的理论基础:

经典电磁理论比较简单、直观。并把高斯光束与平面波及球面波相对照、相比较。第六页，共六十九页，编辑于2023年，星期日本节内容

麦克斯韦方程组

物质方程

边值关系

能量密度和能流密度

波动方程第七页，共六十九页，编辑于2023年，星期日1.麦克斯韦方程组在有介质存在的普遍情况下：式中:E――电场强度矢量D――电位移矢量

H――磁场强度矢量B――磁感应强度矢量

――自由电荷密度j――自由电荷的电流密度该方程组对于物理性质连续的空间各点都成立。(1.1.1)第八页，共六十九页，编辑于2023年，星期日2.物质方程物质方程是介质在电磁场的作用下发生传导、极化和磁化现象的数学描述。最简单的是静止或缓慢运动状态的各向同性介质，在弱场作用的情况下，物质方程取如下形式:第九页，共六十九页，编辑于2023年，星期日2.物质方程式中――电导率――介电常数

――磁导率一般在光频情况下，各种介质的磁导率都近似地等于真空的磁导率0。

(1.1.2)第十页，共六十九页，编辑于2023年，星期日3.边值关系

确定场在两种媒质交界面上的分布微分形式已不在适用麦克斯韦方程组的积分形式在极限的情况下可以得到：第十一页，共六十九页，编辑于2023年，星期日3.边值关系式中:n――界面法线方向上的单位矢量，方向从介质1指向介质2,f――界面上自由电荷密度(1.1.3)第十二页，共六十九页，编辑于2023年，星期日3.边值关系第一式说明：电位移矢量在界面法线方向上有跃变。

第二式说明：磁感应强度在界面法线方向是连续的。第十三页，共六十九页，编辑于2023年，星期日3.边值关系

第三式说明：电场的切线分量在界面两侧是连续的。第四式说明：磁场的切线分量在界面两侧是连续的（只有在没有面电流的条件下才成立，一般均能满足这个条件）以上四式统称为边值条件，它们也适用于真空与介质的交界面。第十四页，共六十九页，编辑于2023年，星期日4.能量密度和能流密度由麦克斯韦方程组(1.1.1)的第二式和第四式可得在满足物质方程(1.1.2)的情况下，有(1.1.6)

(1.1.7)

第十五页，共六十九页，编辑于2023年，星期日4.能量密度和能流密度电磁场的能量密度为电磁场的能流密度（也叫坡印廷矢量）为(1.1.8)

(1.1.9)

第十六页，共六十九页，编辑于2023年，星期日4.能量密度和能流密度由(1.1.6)～(1.1.9)式可获得能量守恒的微分形式在绝缘介质(=0)的情况下反映能量守恒的(1.1.6)式是直接从麦克斯韦方程组导出的，无论物质方程(1.1.2)是否成立，它总是正确的。(1.1.10)

(1.1.11)

第十七页，共六十九页，编辑于2023年，星期日5.波动方程在各向同性的均匀介质中，介电常数和磁导率是与时间和空间位置无关的常数。由麦克斯韦方程组(1.1.1)可得到E和H分别满足微分方程

(1.1.13)

第十八页，共六十九页，编辑于2023年，星期日5.波动方程只要给定了电荷密度和电流密度j的空间分布以及它们随时间的变化,就可通过这组方程求出电场E和磁场H的运动行态。第十九页，共六十九页，编辑于2023年，星期日5.波动方程在绝缘介质中，波动方程有最简单的形式这组方程是我们下面讨论各种电磁波，包括平面波、球面波、以及高斯光束的基本出发点。(1.1.15)

第二十页，共六十九页，编辑于2023年，星期日§1.2平面电磁波平面电磁波的一般特性：波的表达式、波矢、相速、以及偏振特性等。第二十一页，共六十九页，编辑于2023年，星期日本节内容 单色平面波 等相面和相速 平面波的偏振态 光强第二十二页，共六十九页，编辑于2023年，星期日1.单色平面波

可以证明方程(1.1.15)的一组特解为：

(1.2.1)式满足波动方程的必要条件是(1.2.1)

(1.2.6)

第二十三页，共六十九页，编辑于2023年，星期日1.单色平面波上式还可以写成k是波矢的大小，p称为相速(p=c/n),可以证明：(1.2.7)

(1.2.8)

第二十四页，共六十九页，编辑于2023年，星期日1.单色平面波根据(1.2.7)式，考虑到电场、磁场、波矢的正交性，（1.2.8）式中的第一式可以写成电磁波的电场和磁场不是孤立存在的.(1.2.9)

第二十五页，共六十九页，编辑于2023年，星期日2.等相面和相速

在时间不变时，相位因子等于某个常数的点在空间构成一个曲面，这个曲面叫等相面(波阵面)。波在传播过程中最前边的等相面叫波前。第二十六页，共六十九页，编辑于2023年，星期日2.等相面和相速

(1.2.1)式所表示的平面波，它的等相面方程为式中是一个常数。这是一个以k为法线,到原点距离等于(t+0-)/|k|的平面方程。(1.2.10)

第二十七页，共六十九页，编辑于2023年，星期日2.等相面和相速把等相面方程(1.2.10)对时间t微商，如果沿着k方向r的增量为drk,则可以得到等相面沿法线方向的传播速度p正是(1.2.7)式中的相速。(1.2.11)

第二十八页，共六十九页，编辑于2023年，星期日3.平面波的偏振态假设平面波沿z轴方向传播，无论电场还是磁场都与传播方向z轴垂直，即E和H在x-y平面中。在一个平面中的矢量总可以用两个独立的分量来表示，则沿z轴方向传播的波可表示为:(1.2.15)

第二十九页，共六十九页，编辑于2023年，星期日3.平面波的偏振态

电场的轨迹方程：式中=2-1。(1.2.16)

第三十页，共六十九页，编辑于2023年，星期日3.平面波的偏振态在x-y平面上(1.2.16)式所表示的电场的轨迹是一个椭圆，称为椭圆偏振光。当Ex0=Ey0,=(m+1/2)（m是整数），(1.2.16)式所表征的曲线变成一个圆，称为圆偏振光；当Ex0=Ey0,=m(m是整数)，(1.2.16)式所表征的曲线退化成一条直线，称为线偏振光。第三十一页，共六十九页，编辑于2023年，星期日4.光强利用平面波电场与磁场的关系(1.2.9)，能量密度表达式(1.1.8)可变成

能流密度表达式(1.1.9)可变成平均能量密度为(1.2.21)

(1.2.18)

(1.2.17)

第三十二页，共六十九页，编辑于2023年，星期日4.光强平均能流密度为式中c是真空中的光速，n是介质的折射率，t是介质中光速。(1.2.24)

第三十三页，共六十九页，编辑于2023年，星期日4.光强在各向同性介质中，光速t与相速p是相同的。在各向异性介质中，一般情况下，无论是方向还是大小，光速都与相速不同。这时，光速定义为平均能流密度与平均能量密度之比。在光学上常把平均能流密度的大小叫做光强。第三十四页，共六十九页，编辑于2023年，星期日4.光强在只考虑光的相对强弱时，光强可以写成因此，电场与其复共轭的乘积就可以表示光强，而不必再去积分求平均值。(1.2.25)

第三十五页，共六十九页，编辑于2023年，星期日§1.3球面波和任意简谐波为了简单，本节只讨论球面标量波和任意简谐标量波。在空间不存在电荷和电流的情况下，电场和磁场的任意一个分量都可以从方程(1.1.15)导出，满足波动方程：

式中E是电场的一个直角坐标分量。(1.3.1)

第三十六页，共六十九页，编辑于2023年，星期日本节内容

球面波

任意简谐波

波包和群速

程函方程与光线方程第三十七页，共六十九页，编辑于2023年，星期日1.球面波首先把波动方程(1.3.1)中的拉普拉斯算符2用球坐标系的变量来表示。假设我们研究的场是点波源发出的，则这样的场在空间的分布对于角及角都是对称的。这时波动方程(1.3.1)可以写成

(1.3.3)

第三十八页，共六十九页，编辑于2023年，星期日1.球面波设U(r,t)=rE(r,t),代入(1.3.3)式，结果有该方程的一个特解为(1.3.4)

(1.3.5)

第三十九页，共六十九页，编辑于2023年，星期日1.球面波满足该特解的必要条件是从(1.3.5)式可得到电场为该式表示波源位于坐标原点，向外发散的球面波。(1.3.6)

(1.3.7)第四十页，共六十九页，编辑于2023年，星期日1.球面波

等相面方程为

是一个常数，当t不变时，上式表示一个半径为r=(t+0-)/k的球面。(1.3.8)

第四十一页，共六十九页，编辑于2023年，星期日1.球面波方程(1.3.3)的另一个特解为它表示一个向原点收敛的球面波。(1.3.9)

第四十二页，共六十九页，编辑于2023年，星期日1.球面波球面波的相速可从等相面方程(1.3.8)对时间的微商获得该式表明，在各向同性的介质中，球面波的相速与平面波的相速大小相等。(1.3.10)

第四十三页，共六十九页，编辑于2023年，星期日2.任意简谐波对于一个圆频率为的标量时间简谐波可认为是波动方程的一个特解。其形式为式中A(r)是振幅，g(r)是r的标量函数。(1.3.11)

(1.3.12)

第四十四页，共六十九页，编辑于2023年，星期日2.任意简谐波一般来说，(1.3.12)式所表征的波其等相面和等振幅面是不一致的，这将导致在同一个等相面上各点的振幅不同。因此，称这种波为非均匀波。非均匀波的等相面方程为式中为常数。(1.3.13)

第四十五页，共六十九页，编辑于2023年，星期日2.任意简谐波等相面沿其法线的传播速度为任意简谐波的空间部分和时间部分可以分开写成式中U是空间变量的标量函数。(1.3.15)(1.3.16)

第四十六页，共六十九页，编辑于2023年，星期日2.任意简谐波将上式代入波动方程(1.3.11)，可得到U所满足的赫姆霍兹方程(1.3.17)

第四十七页，共六十九页，编辑于2023年，星期日2.任意简谐波这个方程与波动方程是等价的。

对于空间变量和时间变量可分离的函数，其空间部分应满足这个方程。这个方程是我们后面讨论各种形式高斯光束的出发点。第四十八页，共六十九页，编辑于2023年，星期日3.波包和群速任何一个波E(r,t)都可以看成是不同频率的单色波的叠加式中a是相应于频率为的单色波的振幅。（1.3.18)

第四十九页，共六十九页，编辑于2023年，星期日3.波包和群速考虑两个平面单色波的叠加，假设它们都沿z轴方向传播，振幅相同，频率和波数略有不同，则它们的叠加为式中（1.3.20）

(1.3.21)

第五十页，共六十九页，编辑于2023年，星期日3.波包和群速

(1.3.20)式可以看成是频率为、波数为k、沿z轴方向传播的平面波。然而这个波的振幅不是常量，而是随时间t和位置z在0到2a之间变化，产生拍现象。振幅函数好象是一个调制波。第五十一页，共六十九页，编辑于2023年，星期日3.波包和群速第五十二页，共六十九页，编辑于2023年，星期日3.波包和群速各等振幅面的传播速度－群速度为

在更普遍的情况下，考虑一个由许多沿z方向传播的单色波叠加组成的一维波群(1.3.22)

(1.3.23)

第五十三页，共六十九页，编辑于2023年，星期日3.波包和群速如果这些单色波的振幅在

-(/2)+(/2)内显著不为零，则(1.3.23)式可写成其中(1.3.24)

(1.3.25)

第五十四页，共六十九页，编辑于2023年，星期日3.波包和群速为了计算方便，假设傅里叶振幅为一个常数a=a，则(1.3.25)式的积分结果为

(1.3.27)

第五十五页，共六十九页，编辑于2023年，星期日3.波包和群速振幅最大的条件为:

群速度可选定为振幅最大值的等值面的传播速度。从(1.3.28)式求得(1.3.28)

(1.3.29)

第五十六页，共六十九页，编辑于2023年，星期日3.波包和群速群速和相速的关系为式中是波长。所有各量都是对平均频率（或平均波数k）来说的。(1.3.30)

第五十七页，共六十九页，编辑于2023年，星期日4.程函方程与光线方程

在各向同性介质中，简谐电磁波的表达式为式中：

E0(r)－－电场的振幅,H0(r)--磁场的振幅。

k0－－

真空中的波数。

(r)－－空间标量函数，称为程函数。它对应几