模型与数学建模

模型与数学建模第一页，共四十七页，编辑于2023年，星期日模型与数学建模一、模型抽象度与科学序关系二、模型与结构三、数学模型与建模方法四、一个建模例子第二页，共四十七页，编辑于2023年，星期日模型抽象度与科学序关系1、科学的依赖序关系数学物理化学生物社会科学抽象度降低这种单调的依赖关系由科学领域的物质组成决定第三页，共四十七页，编辑于2023年，星期日2、科学序与世界的形成科学的依存关系：社会科学——由生命体组成生命科学——生命由细胞、蛋白质组成化学科学——分子、大分子、原子团簇物理科学——基于基本粒子组成的各种物质形态数学——物质的起源霍金：如果广义相对论成立，则任何合理的宇宙模型都起始于一个奇点（数学点！）——目前最好的宇宙论！第四页，共四十七页，编辑于2023年，星期日扩展的科学与技术的抽象递减顺序：数学——物理——化学——生物——工程技术——社会科学3、模型的抽象度依科学序关系递减1）社会科学模型经济与管理科学模型、军事模型、政治模型、社会学模型等等。第五页，共四十七页，编辑于2023年，星期日例管理科学中的甘特图模型反映了在项目管理中各个过程的受控运行状态，是项目各部分关联结构的动态表示。ISO9000系列实质上是管理过程的标准。例选举模型多数选举法、累计选举法等等，是特种社会活动的模型。这些模型共同特点是，其表达易于理解，抽象度低。第六页，共四十七页，编辑于2023年，星期日用专业理论抽象出的结构，并用专业语言表示的模型5）物理模型基本粒子、原子模型、晶体模型、光学的衍射等等。4）化学模型苯环、化学健理论、反应平衡等等；建筑模型，交通模型，电路模型，服装模型等等。表达：建筑设计图、交通网络、电路图、服装模版等。2）工程技术模型3）生命科学模型新陈代谢模型、光合作用模型、血液循环模型、DNA双螺旋模型、蛋白质结构模型等等。第七页，共四十七页，编辑于2023年，星期日1、什么是模型？模型：以特定目的对事物原型抽象出结构并适当表示。抽象出结构：不是一般概念的抽象，而是结构的抽象；适当的表示：使用不同知识与方法，需要不同的语言表示。特定目的：目的不同，关注的结构（事物的内部联系）不同；模型与结构原型抽象模型第八页，共四十七页，编辑于2023年，星期日例子.飞机模型目的：空气动力学研究抽象结构：外型结构，除去内部构造；目的：机舱设计抽象结构：内部空间结构，除去外部结构；不同目的关注的内容不同，抽象的结构不同。表示：专业图形和航空语言表示。第九页，共四十七页，编辑于2023年，星期日例.地图概念抽象（不是模型！）：楼群、居住小区、公共场所与设施、商区、政府机关、河流、湖泊、公交线路、各级公路、快速路、高速路、立交桥等等。目的：城市交通研究抽象出结构：小区、商区、立交桥、道路、交叉路口等概念的关联和区分——忽略细部特征、概念的部分内涵、人口结构等等。模型表示：城市交通地图第十页，共四十七页，编辑于2023年，星期日第十一页，共四十七页，编辑于2023年，星期日2、核心是结构理解原型的结构，抽象并表示结构是核心问题。什么是结构？集合的结构是集合的子集族。例图书馆字符集：中文字、英文字母、数字等等各种字符的全体。书、文章、多媒体文本等形成子集族——集合的文本结构。文本按知识类型分类，形成不同层次的子集族——国际图书分类法——图书馆的藏书结构——专业模型。第十二页，共四十七页，编辑于2023年，星期日结构是核心：同一个集合，不同结构，原型的意义不同。例语言下雨天，留客天，留我不留？下雨天留客，天留我不留！第十三页，共四十七页，编辑于2023年，星期日例.文学体裁的不同结构是不同涵义的原型

唐诗清明时节雨纷纷，路上行人欲断魂。借问酒家何处有？牧童遥指杏花村。

宋词清明时节雨，纷纷路上行人，欲断魂。借问酒家何处，有牧童，遥指杏花村。剧本(元曲)[清明时节][雨纷纷][路上]行人（欲断魂）：借问酒家何处有？牧童（遥指）:杏花村。第十四页，共四十七页，编辑于2023年，星期日抽象出结构:

七言唐诗××××××××××××××××××××××××××××比较规整,适于言志宋词××××××××××××××××××××××××××××错落有序,用语活跃,适于抒情元曲时间、地点、情景、人物、动作、言语等。用语白话，易懂。百姓故事专业模型数学模型？乔姆斯基的形式语言？第十五页，共四十七页，编辑于2023年，星期日数学模型与建模方法结构主义学派（Bourbaki

）：数学=集合+结构原型=集合+结构数学模型方法是普适的1、数学模型的普适性数学的普适性一直被数学家与哲学家研究，笛卡儿、开普勒、牛顿、莱布尼茨等：大自然中隐藏着一种固有的和谐，反射到我们的心智中就呈现简单数学定理的形式。第十六页，共四十七页，编辑于2023年，星期日2、数学模型化方法利用数学理论分析、计算、推演，求得问题的解或产生新的结构揭示新的专业结构。数学语言表示的结构数学模型专业语言描述结构专业模型抽象出原型的数学结构，并用数学语言表示的模型。一般方法：有些问题专业模型难，有些问题数学模型难。对原型确定目的解数学模型分析原型的结构建立专业模型建立数学模型第十七页，共四十七页，编辑于2023年，星期日2008年北京奥运会地区临时超市点网设计

（2004年全国大学生建模比赛A题）3、数学模型例子（1）第十八页，共四十七页，编辑于2023年，星期日比赛题目：2008年北京奥运会主馆场周边临时商亭网点设计

为了了解观众的购物需求和人流量的规律，假设我们在已经建设好的某运动场，举办了三次运动会，对观众发放问卷调查，采集相关数据，供解题者使用。

2008年北京奥运会的建设工作已经进入全面设计和实施阶段。奥运会期间，在比赛场馆的周边地区必须建设一个由小型商亭构建的临时商业网点。我们称之为迷你超市（MS）网，主要满足运动员，观众，游客，工作人员在奥运会期间购物需求，经营食品、旅游用品、奥运纪念品、文体用品和小日用品等等。在比赛场馆周边地区设置这种MS，在地点、大小类型和总量方面，必须满足三个基本要求：满足奥运会期间的购物需求、分布基本均衡和商业上赢利。显然，这是一个必须用科学的方法解决的问题。在本题卷中给出了奥运会主要比赛场馆的规划图，是解决上述问题的地理平台。作为真实地图的简化，在本页结构图中仅保留了与上述问题有关的地区，以及相关内容：道路、公交车站、出租车站、自驾车停车场、地铁、餐饮部门等。第十九页，共四十七页，编辑于2023年，星期日并在答卷论文中明确回答以下必答问题：

假定每位观众出行平均两次，一次为进出场馆，一次为餐饮。并且出行均采取最短路径。请你依据附录中给出的问卷调查数据所反映的规律，测算图中20个商区内人流量分布（用百分比）。

2.请你设计MS类型（可以分两种大小不同规模），在20个商区内的分布（每个商区内不同类型MS的个数），以满足“题目描述”中的三个基本要求。3．阐明你的方法的科学性和结果是贴近实际的。

问题：对结构图上标明的比赛场馆周边地区规定的商区（地图上标有A、B、C及编号的黄色填充的区域）内设计网点。第二十页，共四十七页，编辑于2023年，星期日原型的目的：在奥运馆场优化设计临时小超市（MS）分析结构并抽象出专业模型：1）对于设计环境抽象出与目的有关的馆场结构图。2）抽取影响设计MS的主要因素：人流量，因此在以上馆场结构图中，应该存在一个人流分布结构。3）理解设计的三条原则：满足购物需求、商业上赢利、分布均衡。实质上是在以上两种结构之上加上限制性结构——约束。用自然语言表述了原型及目的涉及的结构以及结构之间的联系，这种专业模型实际上在题目中已经给出，只要理解并再清楚地表述。第二十一页，共四十七页，编辑于2023年，星期日建立数学模型：总体模型和每个部分的具体模型总体结构的数学模型：调查数据人流动的一般规律（数据模型）规律发现+馆场平面结构人流量在馆场结构图中的分布（网络流模型）三条原则的数学模型（约束条件）+有约束的整数规划问题第二十二页，共四十七页，编辑于2023年，星期日各个部分的数学模型1）人流动的一般规律的数据模型：用数据挖掘方法，可以找出全部二维和三维关联规则，得到数据模型。2）将馆场平面结构图和数据模型可以建立由连通道路组成的网络流模型，进而计算出每个商区的人流量分布。3）建立三项原则的数学模型：满足需求和商业赢利都容易用数学表示。均衡性是十分灵活的特别体现“浅无边，深无底”的命题指导思想。4）最后给出整数规划问题。第二十三页，共四十七页，编辑于2023年，星期日本问题的解决过程基本上划分为三个部分：

A．出行规律的数据模型的建立这一部分的目的是通过对三次问卷调查给出的一万条记录的数据进行分析、汇总计算，给出出行与不同类型人流的分布关系，将这些关系数据组成尽可能全面反应相关规律的数据系统。对三次调查的规律一致性给予充分关注，认为一致性规律才是一般性规律，这是很重要的一步分析。在分析不同的出行与不同类型的人流相关联时，最简单的是采用直观选择可能的相关性使用统计相关分析进行计算。主要的关系都能计算出，但往往不够完整，其中性别与年龄段对出行方式的考虑不足，由于性别对与出行方式中存在着相关性（例如女性乘出租与私车比例较高），这一条比较容易忽略的规则对计算结果是有影响的。因为一般的统计方法需要确定相关性的对象，依赖直观的相关属性的选择，是造成不够完善的一个原因。使用系统的数据挖掘方法，挖掘出所有二维属性相关值，计算出支持度与置性度，才给出完整的数据模型。

第二十四页，共四十七页，编辑于2023年，星期日共10600条记录，分三次获得。第一次为3500条；第二次为3200条；第三次为3900条。与人流量相关的规则，其平均比率如下：1、性别男：5549条（52.3％）女：5051条（47.7％）2、年龄：（男女比例基本上为1：1）20以下：1174人（11.1％),20－30：6150人（58%）,30—50：2139人（20.2%）50以上：1137人（10.7％）3、交通数据公交：3602人（34％）,公交（南北）：1774人；公交（东西）：1828人地铁：4030人（38％）,地铁（东）：2006人；地铁（西）：2024人

出租车：2010人（19％）(男：女＝1：2)

私车：958人（9％）(男：女＝1：2)第二十五页，共四十七页，编辑于2023年，星期日

20岁以下（1174）20－30（6150）31－50（2139）50岁以下（1137）中餐123人（10.5％）992（16.2％）807（37.7％）460（40.5％）西餐552人（47％）3809（61.9％）894（41.8％）312（27.4％）超市（购物）499人（42.5％）1349（21.9％）438（20.5％）365（32.1％）就餐数据：第二十六页，共四十七页，编辑于2023年，星期日

购物欲：消费额20岁以下（1174）20－30（6150）31－50（2139）50岁以上（1137）0-50040（3.4%）69（1.1%）44（2.1%）53（4.7%）500-1000101（8.6%）222（3.6%）118（5.5%）551（48.5%）1000-1500478（40.6%）445（7.2%）119（5.6%）332（29.2%）1500-2000394（33.6%）372（6.1%）199（9.3%）139（12.2%）2000-2500131（11.2%）2316（37.7%）1344（62.8%）42（3.7%）2500-300030（2.6%）2726（44.3%）315（14.7%）20（1.8%）性别与消费额：消费额男（5549）女（5051）

0-500105（1.9%）101（2%）500-1000734（13.2%）258（5.1%）1000-1500823（14.8%）551（10.9%）1500-2000726（13.1%）378（7.5%）2000-25003034（54.7%）799（15.8%）2500-3000127（2.3%）2964（58.7%）第二十七页，共四十七页，编辑于2023年，星期日B、建立数学模型来确定人流量分布—数据模型数学建模中概念的清楚的定义是很重要的，是否注意到人流量是与购物量是不同的概念，可以通过购物欲的数据，把人流量转变为购物量。但是“人流”本身也应该有明确的定义，因为性别不同和年龄段不同造成出行方式的差别和购物欲的差别。因此，将男女性别的人不加区分地统称为“人”的理解造成计算上的误差。在计算人流分布（或购物量分布）的方法上，可以构造许多创造性的数学模型。例如画出路径的网络图，确定最短路径是最普遍使用的方法；对路口节点的分析是很贴近人们出行与购物习惯的；利用了矩阵表示商区节点与出行目标之间关系数据，从而使计算变得简便等等。特别是构造电路模型或水流模型，用于计算人流分布，这种方法实际上就是网络流模型的一些变形和形象化，也可以取得很好的效果。还可以特色地引入购物心理学，适当地修正仅用商圈概念的简单模型，得到一些求人流量的公式，对于更广泛的应用是有意义的。人流分布概率的方法也是普遍有用的，应当说是取得好效果的重要方法。使用直观的图形与表格进行分析也是很重要的方法等等。第二十八页，共四十七页，编辑于2023年，星期日项目\地区12345678910合计A区（男）6%3.33.74.35.5135.54.33.73.352.6A区（女）6.33.33.53.94.610.54.63.93.53.347.4B区（男）7.35.68.66.37.317.3

52.4B区（女）6.45.4966.414.4

47.6C区（男）9.199.325.1

52.5C区（女）8.49.68.620.9

47.5假设不考虑年龄段的因素，简化地只考虑性别、饮食习惯、出行方式三维关联规则，从而确定各商区的人流分布百分比如下：

第二十九页，共四十七页，编辑于2023年，星期日这一部分的目标很明确，根据人流量分布，建立适当的数学规划模型，解出商店的最优分布。但是，建模的方法很多，思想也各不相同。可以用商业盈利的要求设计目标函数使其达到最大。也可以先计算出每个商区的最大消费额，然后在达到最大消费额条件下求成本最小作为优化目标。在目标函数选择上，这两类方法各有千秋。在建立数学规划模型中，最困难的是如何为满足“均衡”性要求而表达约束条件，这是本题在设计时留下的难点，反映“深无底”的命题特色。在众多参赛论文中主要使用的是限制性约束条件，例如限制在每个商区的MS最多个数与最少个数之差达到极小的约束，这样的规划问题比较简单，也能得到比较符合实际的分布，但是对于商圈数量较大或情况比较复杂的问题，这类约束的想法显得过于简单。

C、建立数学规划模型

第三十页，共四十七页，编辑于2023年，星期日原始分布改变后分布沙堆模型的平衡效果第三十一页，共四十七页，编辑于2023年，星期日改变后分布原始分布沙堆模型的平衡效果第三十二页，共四十七页，编辑于2023年，星期日改变后分布原始分布沙堆模型的平衡效果第三十三页，共四十七页，编辑于2023年，星期日沙堆模型的规划模型目标函数：约束条件：设大