高二数学北师大版选修23讲义第1部分第一章5第一课时二项式定理

§5二项式定理第一课时二项式定理(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4；(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5.依据上述规律归纳出(a＋b)n(n∈N＋，n≥2)的绽开式，并思索以下问题．问题1：(a＋b)n绽开式中共有多少项？提示：n＋1项．问题2：(a＋b)n绽开式中系数有什么特点？提示：依次为组合数Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，Ceq\o\al(2,n)，…，Ceq\o\al(n,n).问题3：(a＋b)n绽开式中每项的次数有什么特点？项的排列有什么规律？提示：每一项的次数和是一样的，都是n次，并且是按a的降幂排列，b的升幂排列．二项式定理二项式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn叫作二项式定理二项绽开式公式右边的式子叫作(a＋b)n的二项绽开式二项式系数各项的系数Ceq\o\al(r,n)(r＝0,1,2，…，n)叫作二项式系数二项绽开式的通项式中Ceq\o\al(r,n)an－rbr叫作二项绽开式的通项在二项式定理中，假设a＝1，b＝x，那么(1＋x)n＝1＋Ceq\o\al(1,n)x＋Ceq\o\al(2,n)x2＋…＋Ceq\o\al(r,n)xr＋…＋xn.(1)(a＋b)n的绽开式中共有n＋1项，字母a的幂指数按降幂排列，字母b的幂指数按升幂排列，每一项的次数和为n.(2)通项公式Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr是第r＋1项而不是r项．二项式定理的正用、逆用[例1](1)求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))4的绽开式；(2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．[思路点拨](1)直接运用公式将其绽开，也可先变形，后绽开；(2)依据所给式子的形式，考虑逆用二项式定理．[精解详析](1)法一：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))4＝Ceq\o\al(0,4)(3eq\r(x))4＋Ceq\o\al(1,4)(3eq\r(x))3·eq\f(1,\r(x))＋Ceq\o\al(2,4)(3eq\r(x))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))2＋Ceq\o\al(3,4)(3eq\r(x))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))3＋Ceq\o\al(4,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))4＝81x2＋108x＋54＋eq\f(12,x)＋eq\f(1,x2).法二：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))4＝eq\f(3x＋14,x2)＝eq\f(1,x2)(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋eq\f(12,x)＋eq\f(1,x2).(2)原式＝Ceq\o\al(0,5)(x－1)5＋Ceq\o\al(1,5)(x－1)4＋Ceq\o\al(2,5)(x－1)3＋Ceq\o\al(3,5)(x－1)2＋Ceq\o\al(4,5)(x－1)＋Ceq\o\al(5,5)(x－1)0－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.[一点通]求形式简洁的二项绽开式时可直接由二项式定理绽开，绽开时留意二项绽开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的绽开式中会消失正负间隔的状况．1．1－2Ceq\o\al(1,n)＋4Ceq\o\al(2,n)－8Ceq\o\al(3,n)＋16Ceq\o\al(4,n)＋…＋(－2)nCeq\o\al(n,n)的值为()A．1 B．－1C．(－1)n D．3n解析：选C1－2Ceq\o\al(1,n)＋4Ceq\o\al(2,n)－8Ceq\o\al(3,n)＋16Ceq\o\al(4,n)＋…＋(－2)nCeq\o\al(n,n)＝[1＋(－2)]n＝(1－2)n＝(－1)n.2．求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)－2))3的绽开式．解：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)－2))3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))6＝eq\f(1,x6)(x2－1)6＝eq\f(1,x6)[Ceq\o\al(0,6)(x2)6－Ceq\o\al(1,6)(x2)5＋Ceq\o\al(2,6)(x2)4－Ceq\o\al(3,6)(x2)3＋Ceq\o\al(4,6)(x2)2－Ceq\o\al(5,6)x2＋Ceq\o\al(6,6)]＝eq\f(1,x6)(x12－6x10＋15x8－20x6＋15x4－6x2＋1)＝x6－6x4＋15x2－20＋eq\f(15,x2)－eq\f(6,x4)＋eq\f(1,x6).求二项绽开式的特定项[例2]在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)－\f(3,\r(3,x))))n的绽开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求绽开式中全部的有理项．[思路点拨]首先利用通项公式可求得幂指数n，进而利用通项公式可求得全部的有理项．[精解详析](1)二项绽开式的通项为Ceq\o\al(r,n)(eq\r(3,x))n－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,\r(3,x))))r＝(－3)rCeq\o\al(r,n)x.∵第6项为常数项，∴当r＝5时，eq\f(n－2r,3)＝0，解得n＝10.(2)依据通项公式，由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－2r,3)∈Z，,0≤r≤10，,r∈Z.))令eq\f(10－2r,3)＝k(k∈Z)，那么10－2r＝3k，即r＝5－eq\f(3,2)k.∵r∈Z，∴k应为偶数，∴k＝2,0，－2，∴r＝2,5,8.∴第3项、第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61236,295245x－2.[一点通](1)(2)3.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－2y))5的绽开式中x2y3的系数是()A．－20 B．－5C．5 D．20解析：选A由二项绽开式的通项可得，第四项T4＝Ceq\o\al(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x))2(－2y)3＝－20x2y3，故x2y3的系数为－20.4.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(2,x3)))5绽开式中的常数项为()A．80 B．－80C．40 D．－40解析：选CTr＋1＝Ceq\o\al(r,5)·(x2)5－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x3)))r＝Ceq\o\al(r,5)·(－2)r·x10－5r，令10－5r＝0，得r＝2，故常数项为Ceq\o\al(2,5)×(－2)2＝40.5．求(eq\r(x)－eq\r(3,x))9绽开式中的有理项．解：∵Tr＋1＝Ceq\o\al(r,9)(xeq\f(1,2))9－r(－xeq\f(1,3))r＝(－1)rCeq\o\al(r,9)x，令eq\f(27－r,6)∈Z，即4＋eq\f(3－r,6)∈Z，且r＝0,1,2，…，9.∴r＝3或r＝9.当r＝3时，eq\f(27－r,6)＝4，T4＝(－1)3Ceq\o\al(3,9)x4＝－84x4；当r＝9时，eq\f(27－r,6)＝3，T10＝(－1)9Ceq\o\al(9,9)x3＝－x3.∴(eq\r(x)－eq\r(3,x))9的绽开式中的有理项是第4项：－84x4，第10项：－x3.二项式系数与项的系数[例3]二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)－\f(2,3x)))10.(1)求绽开式中第4项的二项式系数；(2)求绽开式中第4项的系数．[思路点拨]利用二项式的通项求第4项的二项式系数及系数．[精解详析]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)－\f(2,3x)))10的二项绽开式的通项是Tk＋1＝Ceq\o\al(k,10)(3eq\r(x))10－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3x)))k(k＝0,1，…，10)．(1)第4项的二项式系数为Ceq\o\al(3,10)＝120.(2)第4项的系数为Ceq\o\al(3,10)37eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))3＝－77760.[一点通]要留意区分某项的二项式系数与系数的区分，前者只与二项式的指数及第几项有关，与二项式无关，它是一个组合数Ceq\o\al(r,n)；后者与二项式、二项式的指数及项中字母的系数均有关．6．(1＋ax)(1＋x)5的绽开式中x2的系数为5，那么a＝()A．－4 B.－3C．－2 D．－1解析：选D绽开式中含x2的系数为Ceq\o\al(2,5)＋aCeq\o\al(1,5)＝5，解得a＝－1.7．在(1＋x)6(1＋y)4的绽开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，那么f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝()A．45 B．60C．120 D．210解析：选C由题意知f(3,0)＝Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(0,4)，f(2,1)＝Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,4)，f(1，2)＝Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,4)，f(0,3)＝Ceq\o\al(0,6)Ceq\o\al(3,4)，因此f(3,0)＋f(2,1)＋f(1，2)＋f(0,3)＝120，选C.8．求二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(x)－\f(1,x)))6的绽开式中第6项的二项式系数和第6项的系数．解：二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(x)－\f(1,x)))6的绽开式中第6项为Ceq\o\al(5,6)2eq\r(x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))5＝－12x－eq\f(9,2)，∴第6项的二项式系数为Ceq\o\al(5,6)＝6，第6项的系数为－12.求绽开式的一些特别项，通常都是由题意列方程求出r，再求所需的某项；有时需先求n，计算时要留意n和r的取值范围及它们之间的大小关系．1．(x－2y)7的绽开式中的第4项为()A．－280x4y3 B．280x4y3C．－35x4y3 D．35x4y3解析：选A(x－2y)7的绽开式中的第4项为T4＝Ceq\o\al(3,7)x4(－2y)3＝(－2)3Ceq\o\al(3,7)x4y3＝－280x4y3.2．在(x－eq\r(3))10的绽开式中，x6的系数是()A．－27Ceq\o\al(6,10) B．27Ceq\o\al(4,10)C．－9Ceq\o\al(6,10) D．9Ceq\o\al(4,10)解析：选DTk＋1＝Ceq\o\al(k,10)·x10－k(－eq\r(3))k，令10－k＝6，知k＝4，∴T5＝Ceq\o\al(4,10)x6(－eq\r(3))4，即x6的系数为9Ceq\o\al(4,10).3．(1＋x)8(1＋y)4的绽开式中x2y2的系数是()A．56 B．84C．112 D．168解析：选D在(1＋x)8绽开式中含x2的项为Ceq\o\al(2,8)x2＝28x2，(1＋y)4绽开式中含y2的项为Ceq\o\al(2,4)y2＝6y2，所以x2y2的系数为28×6＝168.4．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x3＋\f(1,x)))n的绽开式中的常数项是第7项，那么正整数n的值为()A．7 B．8C．9 D．10解析：5．假设eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,\r(3,x))))8的绽开式中x4的系数为7，那么实数a＝________.解析：二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,\r(3,x))))8绽开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)arx，令8－eq\f(4,3)r＝4，可得r＝3，故Ceq\o\al(3,8)a3＝7，易得a＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)6．设二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(1,\r(3,x))))5的绽开式中常数项为A，那么A＝________.解析：Tr＋1＝(－1)rCeq\o\al(r,5)x，令15－5r＝0，得r＝3，故常数项A＝(－1)3Ceq\o\al(3,5)＝－10.答案：－107.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(2,\r(3,x))))n绽开式第9项与第10项二项式系数相等，求x的一次项系数．解：由题意知，Ceq\o\al(8,n)＝Ceq\o\al(9,n).∴n＝17.∴Tr＋1＝Ceq\o\al(r,17)x·2r·x－eq\f(r,3)＝Ceq\o\al(r,17)·2r·x.∴eq\f(17－r,2)－eq\f(r,3)＝1.解得r＝9.∴Tr＋1＝Ceq\o\al(9,17)·x4·29·x－3，即T10＝Ceq\o\al(9,17)·29·x.其一次项系数为Ceq\o\al(9,17)·29.8．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,\r(3,x))))8的绽开式中，求：(1)第5项的二项式系数及第5项的系数；(2)倒数第3项．解：法一：利用二项式的绽开式解决．(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,\r(3,x))))8＝(2x2)8－Ceq\o\al(1,8)(2x2)7·eq\f(1,\r(3,x))＋Ceq\o\al(2,8)(2x2)6·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))2－Ceq\o\al(3,8)(2x2)5·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))3＋Ceq\o\al(4,8)(2x2)4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))4－Ceq\o\al(5,8)