线段的垂直平分线的性质

汕头市翠英中学王炜煜

13.1.2线段的垂直平分线性质

1.如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，求证：∠3＝∠1＋∠2.2.AC、BD相交于点O，且AB＝DC，AC＝DB，试判断∠B与∠C的大小关系．3.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.DE=AD-BE轴对称图形两个图形成轴对称区别＿个图形＿个图形联系１．沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够＿＿＿＿．２．都有＿＿＿＿．３．如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条直线＿＿＿；如果把两个成轴对称的图形看成一个图形，那么这个图形就是＿＿＿＿．一两互相重合对称轴对称轴对称图形一、复习旧课

轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．

ABlA′B′成轴对称的两个图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．即对称点所连线段被对称轴垂直平分；对称轴垂直平分对称点所连线段．ABCMNPA′B′C′

线段的垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．

ABP3P2P1L如图，木条L与木条AB钉在一起，L垂直平分AB，P1、P2、P3……是l的点，分别量一量点P1、P2、P3……到Ａ与B的距离，你有什么发现？猜想：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.二、讲授新课ACBPMN已知:如图,AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点.求证:PA=PB.证明：∵MN⊥AB，

∴∠PCA=∠PCB=90°

在△APC与△BPC中

PC=PC（公共边），∠PCA=∠PCB（已证），

AC=BC（已知），∴△PCA≌△PCB(SAS).∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.ACBPMN性质应用格式：∵AC=BC,MN⊥AB,∴PA=PB(线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点距离相等).反过来，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？通过探究可以得到：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。C∵PA=PB∴点P在线段AB的垂直平分线上已知：PA=PB求证：点P在线段AB的垂直平分线上C证明：作PC⊥AB，垂足为C∴∠ACP=∠BCP=90°.在Rt△ACP和Rt△BCP中∴Rt△ACP≌Rt△BCP（HL）.∴AC=BC.∴点P在线段AB的垂直平分线上.在线段AB垂直平分线L上的点与A、B距离都相等；反过来，与两点A、B的距离相等的点都在L上，所以直线L可以看成与两点A、B的距离相等的所有点的集合CD∵PA=PB，DA=DB.∴PD⊥AB，AC=CB.性质：在线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离都相等。判定：与线段两个端点距离相等的点都在线段的垂直平分线上。线段垂直平分线的集合定义：线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合。辨析：1.已知：如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线相交于点P.证明：∵△ABC中，边AB、BC的垂直平分线相交于点P∴PA=PB，PB=PC.∴PA=PB=PC.求证：PA=PB=PC三、讲授例题2.如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？AB三、讲授例题分析：我们只要连接点A和点B，画出线段AB的垂直平分线，就可以得到点A和B的对称轴。而由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质，只要作出到点A，B距离相等的两点即可。作法2.分别以点A、B为圆心，大于1/2AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点3.作直线CD.CD就是所求的直线.1.连接AB，CD3.如图，已知直线AB和AB外一点C.求作：AB的垂线，使它经过点C.三、讲授例题作法（1）任取一点K,使K和C在AB的两旁.（2）以点C为圆心，CK的长为半径作弧，交AB于点D和E.（3）分别以点D和E为圆心，大于1/2DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.已知直线AB和AB外一点C.（4）作直线CF.∴直线CF就是所求作的垂线.AB.C四、课堂练习P62P641.如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，如果EC=7cm，那么ED=

cm；如果∠ECD=600，那么∠EDC=

.EDABC760°四、课堂练习2.如图所示，在△ABC中，AB=AC＝32，MN是AB的垂直平分线，且有BC=21，求△BCN的周长。解：∵MN是AB的垂直平分线，∴AN=BN.∵AB=AC＝32，∴BN+CN=AN+CN=AC=32.∵BC=21,∴△BCN的周长为BN+CN+BC=32+21=53.答：△BCN的周长为53.3.如下图△ABC中，AC=16cm，DE为AB的垂直平分线，△BCE的周长为26cm，求BC的长.AEDBC解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE.∵AC＝16cm，∴BE+CE=AE+CE=AC=16cm.∵△BCN的周长为B26cm.∴BC=10cm,答：BC的长为10cm.AEDBC4.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，DE垂直平分AB，连接AE,若CE﹕AE=2﹕6，求EB的长.解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE.∵BC＝16cm，∴BE+CE=AE+CE=16cm.∵CE﹕AE=2﹕6.∴AE=12cm,∴BE=12cm,答：BE的长为12cm.5.如图，△ABC中，AB、AC的垂直平分线DM、EN分别交BC于D、E两点，已知△ADE的周长为12cm，求BC的长。ABCDEMN解：∵DM、EN分别是AB、AC的垂直平分线，∴AD=BD,AE=CE.∵△ADE的周长为12cm，∴AD+DE+AE=12cm.∴BC=BD+DE+CE=AD+DE+AE=12cm.答：BC的长为12cm.1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是