根式的运算技巧

根式的运算平方根与立方根一、知识要点1、平方根：⑴、定义：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“”（a称为被开方数）。⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。⑶、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。2、立方根：⑴、定义：如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“”（a称为被开方数）。⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。3、本身为非负数，即≥0；有意义的条件是a≥0。4、公式：⑴()2=a（a≥0）；⑵=（a取任何数）。5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。例1求下列各数的平方根和算术平方根；（2）；（3）；⑷例2求下列各式的值（1）；（2）；（3）；（4）.（5），（6），（7）（8）例3、求下列各数的立方根：⑴343；⑵；⑶0.729二、巧用被开方数的非负性求值.大家知道，当a≥0时，a的平方根是±，即a是非负数.例4、若求yx的立方根.练习：已知求的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a≥0时，a的平方根是±，而例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a，求a的平方的相反数的立方根.练习：若和是数的平方根，求的值.四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36（2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道,即a=0时其值最小,换句话说的最小值是零.例4、已知：y=,当a、b取不同的值时，y也有不同的值.当y最小时,求ba的非算术平方根.若，则x的取值范围是。若是一个正整数，则正整数m的最小值是________．5、设m、n满足，则=。6、若三角形的三边a、b、c满足=0，则第三边c的取值范围是7、若，且时，则（）A、B、 C、 D、二、利用二次根式的性质=|a|=(即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题【例题讲解】例1：已知＝－x，则（）A.x≤0B.x≤－3Ｃ.x≥－3D.－3≤x≤0例2：化简的结果为（）A、；B、；C、D、【基础训练】已知a<b，化简二次根式的正确结果是（）A．B．C．D．若化简|1-x|-的结果为2x-5则（）A、x为任意实数B、1≤x≤4C、x≥1D、x≤43、已知a，b，c为三角形的三边，则=4、化简的结果是（）A．B．C．D．已知：=1，则的取值范围是（）。A、；B、；C、或1；D、二次根式的化简与计算（主要依据是二次根式的性质：（）2=a（a≥0），即以及混合运算法则）【例题讲解】（一）化简与求值例1：把下列各式化成最简二次根式：（2）（3）（4）例二：计算：2【基础训练】1、下列哪些是同类二次根式：（1），，，，，，；（2），，a2、计算下列各题：（1）6（2）；（3）（4）（5）－已知，则x等于（）A．4B．±2C．2D．±44、＋＋＋…＋（二）先化简，后求值：1.直接代入法：已知求(1)(2)2.变形代入法：（1）变条件：①已知：，求的值。②.已知:x=，求3x2－5xy+3y2的值（2）变结论：1、设EQ\R(,3)=a，EQ\R(,30)=b，则EQ\R(,0.9)=。2、已知，求。3、已知，，（1）求的值（2）求的值四、关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题1.估算eq\r(31)－2的值在哪两个数之间（）A．1～2B.2～3C.3～4D.4～52．若的整数部分是a，小数部分是b，则3.已知9+的小数部分分别是a和b，求ab－3a+4b+8的值4.若a，b为有理数，且++=a+b，则b=.五、二次根式的比较大小（1）（2）－5（3）设a=,,,则（）A.B.C.D.六、实数范围内因式分解：9x2－5y24x4－4x2＋1x4+x2－6练习：1、若，则xy的值为（）A．B．C．D．2、若，则．3、计算：（1）（2（3）．（4）．4、先将÷化简，然后自选一个合适的x值，代入化简后的式子求值。5、如图，实数、在数轴上的位置，化简：6、若，则的取值范围是A． B． C． D．7、如图，数轴上两点表示的数分别为1和，点关于点的对称点为点，则点所表示的数是A． B． C． D．8、已知：，求的值。9、已知：为实数，且，化简：。10、已知11、先阅读下列的解答过程，然后作答：有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数和，使且，则可变为，即变成开方，从而使得化简。例如：==，∴请仿照上例解下列问题：；（2）二次根式运算的技巧二次根式的运算通常是根据其运算法则进行计算的，但在计算过程中若能巧妙地运用一些数学思想方法，可使问题化繁为简，易于计算。下面举例说明二次根式的运算技巧：巧移因式法计算分析：将根号外的因式移到根号内，然后用平方差公式计算比较简便，或先把化简，然后利用平方差公式计算解：原式===18-48=-30巧提公因数法例2、计算分析：∵2=∴中有公因数，提出公因数后，可用平方差公式计算解：原式====（25-6）=19公式法例3、计算分析：巧分组，出奇制胜，整式的乘法公式对二次根式的乘法也适用，本题用平方差公式来计算很简便解：原式====因式分解法例4、计算分析：本题若直接按乘除法则计算，显然很麻烦，若适当分解因式约去公因式，则运算很简便解：原式===拆项法例5、化简分析：本题若直接计算显然很麻烦，若仔细观察将分子拆项，则计算会很简便解：原式====配方法例6、计算分析：此题是双二次根式的加减，必须把复合二次根式化为一般二次根式，可将根号里的式子化成完全平方式，使问题便于计算解：原式===-5七、整体代入，别开生面例5.已知，求下列各式的值。（1）（2）分析：根据x、y值的特点，可以求得，如果能将所求的值的式子变形为关于或xy的式子，再代入求值要比直接代入求值简单得多。解：因为所以（1）（2）（也可以将变为来求）八、巧换元，干净利索例6.计算分析：此算式中的两个公式互为倒数，若设，则原式而原式解：设则所以原式例7.计算分析：有两种方法，一种换元，一种配方。解法1：设两边平方因为所以即解法2：原式所以遇到二次根式运算一定认真审题、仔细琢磨，能否找到运算技巧，达到事半功倍效果二次根式的运算测试题姓名班级学号一．选择题（本题30分，每小题3分）：1．化简eq\r(3)－eq\r(3)(1－eq\r(3))的结果是 ()A．3 B．－3 C.eq\r(3) D．－eq\r(3)2．计算(eq\r(28)－2eq\r(3)＋eq\r(7))×eq\r(7)＋eq\r(84)的结果是 ()A．11eq\r(7) B．15eq\r(3) C．21 D．243．计算(3eq\r(2)＋5eq\r(3))×(3eq\r(2)－5eq\r(3))的结果是 ()A．－57 B．57 C．－53 D．534．计算eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(a)＋\f(1,\r(a))))eq\s\up12(2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(a)－\f(1,\r(a))))eq\s\up12(2)的结果是 ()A．2 B．4 C．2eq\r(a) D．4eq\r(a)eq\r(2)×(eq\r(2)－eq\r(3))＋eq\r(6)的值是________；化简：eq\r(3)×(eq\r(2)－eq\r(3))－eq\r(24)－|eq\r(6)－3|＝________．7．计算eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(50)－\r(8)))÷eq\r(2)的结果是________．8、计算：eq\f(\r(40)＋\r(5),\r(5))＝________．9、有下列计算：①(m2)3＝m6；②eq\r(4a2－4a＋1)＝2a－1；③m6÷m2＝m3；④eq\r(27)×eq\r(50)÷eq\r(6)＝15；⑤2eq\r(12)－2eq\r(3)＋3eq\r(48)＝14eq\r(3).其中正确的运算有________．10、计算：(eq\r(2)＋1)(eq\r(2)－1)＝________．二、计算题（本题30分，每小题5分）：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(8,27))－5\r(3)))×eq\r(6)；(2)(5＋eq\r(6))×(5eq\r(2)－2eq\r(3))；(3)9eq\r(45)÷3eq\r(\f(1,5))×eq\f(3,2)eq\r(2\f(2,3))；(4)eq\f(1,\r(3)＋\r(2))＋eq\f(1,\r(2)＋1)－eq\f(1,\r(3)－1).(5)3eq\r(8)×(eq\r(54)－5eq\r(2)－2eq\r(6))；(6)eq\r(a)(eq\r(a)＋2)－eq\f(\r(a2b),\r(b))；二、解答题（本