中考真题解析考点汇编四边形

北京市中考真题汇编四边形

多边形、平行四边形

(2009)4.若一个正多边形的一个外角是40°,则这个正多边形的边数是。

A.10B.9C.8D.6

(2008)5.若一个多边形的内角和等于720°,则这个多边形的边数是()

A.5B.6C.7D.8

(2005)15.如果正多边形的一个外角为72。，那么它的边数是.

易错：多边形内角和、外角和公式

避免错误的方法：熟记公式

(2007)12.下图是对称中心为点0的正六边形。如果用一个含30°角的直角三角板的角，

借助点0(使角的顶点落在点0处)，把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能的

值是_________。\——，

(2005)9.如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连结CE并延长交BA的延长线

于点F,则下列结论中错误的是()

A.ZAEF=ZDECB.FA:CD=AE:BCC.FA:AB=FE:ECD.AB=DC

易错：平行线分三角形两边成比例性质

避免错误的方法：熟记性质及其应用

22.阅读下列材料：

(2009)小明遇到一个问题：5个同样大小的正方

形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接

成一个新的正方形.他的做法是：按图2所示的方

法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点0旋转至

三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接

成一个新的正方形DEFG.

请你参考小明的做法解决下列问题：

(1)现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列

形式如图3所示.请将其分割后拼接成一个平行四

边形.要求：在图3中画出并指明拼接成的平行四边形(画出一个符合条件的平行四边形即

可；

(2)如图4,在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA

的中点，分别连结AF、BG、CILDE得到一个新的平行四边形MNPQ请在图4中探究平行四边

形MNPQ面积的大小(画图并直接写出结果).

IH-1

(2011)24.在平行四边形ABC。中，NBA。的平分线交直线BC于点E,交直线0c于点

F.

(1)在图1中证明CE=CF；

⑵若NA8C=90。，G是EF的中点(如图2),直接写出NBOG的度数；

⑶若NABC=120。，FG//CE,FG=CE,分别连结、DG(如图3),求NBDG的度

数.

特殊四边形

矩形

(2010)22、阅读下列材料:

小贝遇到一个有趣的问题：在矩形4比7?中，4/8cm,%=6cm.现有一动点?按下列方式在矩

形内运动：它从1点出发，沿着与边夹角为45°的方向作直线运动，每次碰到矩形的一

边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45°的方向作直线运动，

并且它一直按照这种方式不停地运动，即当尸点碰到8。边，沿着与BC边彳p-s~2---1

夹角为45。的方向作直线运动，当尸点碰到切边，再沿着与以边夹角'、、'''、

为45。的方向作直线运动，…，如图1所示，问尸点第一次与〃点事合''、、、、、

的与边相碰几次，P点第•次与〃点事合时所经过的路径总长是多少.'、、/卜

示贝的思考是这样开始的：如图2,将矩形ABCD沿直----------」

线切折叠，得到矩形ARC。.由轴对称的知识，发2p百

现后舄=gE,RA=PR\/、'、、/'、•

请你参考小贝的思路解决下列问题：''、、、、、，/

⑴夕点第一次与〃点事令的与边相碰_______次；P、、①

点从A点出发到第一次&D点事合时所经过的路径的__________\/|_________________I

总长是cm；BP'C&

(2)进一步探究：改变矩形四(力中皿、群的长，且满足相＞四，动点户从/点出发，按

照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形4比7?相邻的两

边上，若尸点第一次与5点重合前与边相碰7次，贝IJ/8：的值为.

菱形

(2010)4、若菱形两条对角线长分别为6和8,则这个菱形的周长为()

A.20B.16C.12D.10

(2008)25.请阅读下列材料:

问题：如图1,在菱形A6CO和菱形BEFG中，点A,BE在同一条直线上，P是线段。户的中

PC

点，连结PG,PC.若NA5C==60°,探究PG与PC的位置关系及一的值.

PC

小聪同学的思路是：延长GP交。。于点“，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决.

PC

（2）将图1中的菱形6EFG绕点8顺时针旋转，使菱形6EEG的对角线8R恰好与菱形A6CO的

边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）.你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？

写出你的猜想并加以证明.

⑶若图1中AABC=NBEF=2a（0°<a<90°）,将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度,

PG

原问题中的其他条件不变，请你直接写出——的值（用含a的式子表示）.

PC

PG

解（1）线段PG与PC的位黄关系是.

~PC

（2）

正方形

（2009）12.如图，正方形纸片ABCD的边长为1,M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的

一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A',折痕交AD于点E,若M、N分别

是AD、BC边的中点，贝IJA'N=;若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点

（“22,且n为整数），贝IJA'N=（用含有n的式子表示）

（2006）22.（本小题满分4分）

请阅读下列材料：

问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1,请把它们分割后拼接成一个新的

正方形.要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线

画出拼接成的新正方形.

小东同学的做法是：设新正方形的边长为x（x〉0）.依题意，割补前后图形的面积相等,

有f=5,解得x=由此可知新正方形的边长等于两个正方形组

成的矩形对角线的长.于是，画出如图2所示的分割线，拼出如图3所示的新正方形.

图1图2n

图3

请你参考小东同学的做法，解决如下问题：

现有10个边长为1的正方形，排列形式如图4,请把它们分割后拼接成一个新的正方

形.要求：在图4中画出分割线，并在图5的正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为

1)中用实线画出拼接成的新正方形.

说明：直接画出图形，不要求写分析过程.r--,一一_-一一

解：：：：：：!

图5

(2006)25.我们给出如卜定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对

角线四边形.请解答下列问题：

(1)写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；

(2)探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之

和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论.

解：(1)

(2)

梯形

(2011)4.如图，在梯形A8C。中，AD//BC,对角线AC、8。相交于点0,若

AD=\,BC=3,

(2010)19、已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC,

AB=DC=AD=2,aM.求N8的度数及ZC的长.

(2009)19.如图，在梯形ABCD中，AD〃BC,Z

B=90\ZC=45\

AD=1,BC=4,E为AB中点，EF〃DC交BC于点F,求EF

的长.

A

(2008)18.(本小题满分5分)

如图，在梯形ABC。中，AD//BC,AB1AC,ZB=45°,

AD=6,BC=4立,求0c的长.

解：

(2007)18.(本小题满分5分)

如图，在梯形ABCD中，AD//BC,AB=DC=AD,ZC=60°,AE_LBD于点E,AE=1,

求梯形ABCD的高。

(2006)18.(本小题满分5分)

已知：如图，在梯形A8CO中，AD//BC,N45C=90',

NC=45°,8£_1_。。于点£,AD=1,CO=2后.

求：BE的长.

解：

(2005)20.已知:

AB、DC上，且BE=2EA,CF=2FD。求证：ZBEC=ZCFB

证明:

易错：如何添加适当的辅助线解决相应的问题

避免错误的方法：尝试添加不同的辅助线解决相应的问题

(2011)22.阅读下面材料:

小伟遇到这样--个问题：如图1,在梯形ABCD中，AC〃BC,对角线AC、

8。相交于点0.若梯形A8CO的面积为1,试求以4C、BD、AO+8C的长

度为三边长的三角形的面积.

小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的

线段，构造一个三角形，再计算其面积即可，他先后尝试了翻折、旋转、平

移的方法，发现通过平移可以解决这个问题.他的方

法是过点。作AC的平行线交8c的延长线于点E,得

到的即是以4C、B。、4C+8C的长度为三边长

的三角形（如图2）.

请你回答：图2中ABOE的面积等于________./

参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：/

如图3,△4BC的三条中线分别为AO、BECF.B--------p--------

⑴在图3中利用图形变换画出并指明以A。、BE、CF

的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；

⑵若△4BC的面积为1,则以A。、BE、CF的长度为三边长的三角形的面

积等于.

2011全国中考真题解析考点汇编☆四边形综合题

-•、选择题

1.（2011重庆江津区，10,4分）如图，四边形48CD中，AC=a,BD=b,且AC1_

BD,顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A&G。，再顺次连接四边形48GR

各边中点，得到四边形“民。2。2…，如此进行下去，得到四边形下列结论正确

的有（）

①四边形是矩形；

②四边形4B4c404是菱形；

③四边形A5B5C5D5的周长是空2

④四边形4&G4的面积是尹.

A、①②B、②③C、②③④D、①②③④

考点：三角形中位线定理；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质。

专题：规律型。

分析：首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABC。中各边长的长度关

系规律，然后对以下选项作出分析与判断：

①根据矩形的判定与性质作出判断；

②根据菱形的判定与性质作出判断：

③由四边形的周长公式：周长=边长之和，来计算四边形A585c5。5的周长；

④根据四边形的面积与四边形ABCD的面积间的数量关系来求其面积.

解答:解:①连接AG，BR.

•.•在四边形ABC。中，顺次连接四边形4BC。各边中点，得到四边形4&GA,

二。。，

41〃8B£i〃BD,C^Dy//AC,4Bi〃AC；

At。1//B\Ci,AiBt//CiDi,

•••四边形ABCD是平行四边形：

.•.&a=AG（平行四边形的两条对角线相等）；

（中位线定理），

AA2D2=C2D2=C2B2^B2A2

...四边形A2&C2D2是菱形；

故本选项错误；

②由①知，四边形4&Q02是菱形；

根据中位线定理知，四边形4B4c4。4是菱形：故本选项正确；

③根据中位线的性质易知，—八3&=-X-AfB-\——X—X—AB,85c5=

222222

-83c3=­X—Big=—X-X—BC,

222222

•••四边形A5B5c5D5的周长是2x』（a+b）="2：故本选项正确；

84

④一四边形中,且一。,

48CDAC=af80=b,CJLB

**•S四边收48co=ab；

由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半,

四边形ABCD的面积是—；

nnnn2"

故本选项错误；

综上所述，②③④正确；

故选c.

点评：本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理（三角

形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）.解答此题时.，需理清菱形、矩形与平行四

边形的关系.

2.（2011重庆市，9,4分）如图，在平行四边形ABCD中（AB#BC）,直线EF

经过其对角线的交点。，且分别交AD、BC于点M、

N,交BA、DC的延长线于点E、F,下列结论：

①A0=B0；②OE=OF；③△EAMs/XEBN；

④△EA0四△CNO,其中正确的是B卜

A.①②B.②③C.②④D.③④

考点：相似三角形的判定与性质:全等三角形的判定与性质;平•行四边形的性质.9题图

分析：①根据平行四边形的对边相等的性质即可求得AOWBO,即可求得①错误；

②易证△AOE04COF,即可求得E0=F0；

③根据相似三角形的判定即可求得△EAMs^EBN；

④易证△EAOgZXFCO,而AFCO和aCNO不全等，根据全等三角形的传递性即可判定该选项

错误.

答案：解：①平行四边形中邻边垂直则该平行四边形为矩形，故本题中ACWBD,即案WB0,

故①错误；

②；AB〃CD,

ZE=ZF,

又A=NFOC,AO=CO

.♦.△AOE丝△COF,

/.OE=OF,故②正确;

③：AD〃BC,

.,.△EAM^AEBN,故③正确；

©,.,△AOE^ACOF,且△FCO和△CNO,

故4EA。和△CNO不相似，故④错误,

即②③正确.

故选B.

点评：本题考查了相似三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了平行四

边形对边平行的性质，本题中求证AAOE咨aCOF是解题的关键.

3.（2010重庆，10,4分）如图，正方形ABCO中，AB=6,点E在边C。上，且。。=

3DE.将△ADE沿AE对折至△4rE,延长E尸交边8c于点G,连结4G、C尸.下列结论:

①②8G=GC；③AG〃CF；④SAFGC=3.其中正确结论的个数是（）

10题图

A.1B.2C.3D.4

考点：翻折变换(折叠问题)；全等三角形的判定与性质；勾股定理

分析：根据翻折变换的性质和正方形的性质可证△A8G名尸G；在直角AECG中，根据

勾股定理可证BG=GC-,通过证明NAGB=NAGF=NGFC=NGCF,由平行线的判定可得

AG//CFi由于SAFGC=SAGCE-S^FEC，求得面积比较即可.

解答：解：①正确.AB=AD=AF,AG=AG,ZB=ZAFG=90°,：.^ABG^/XAFG,

②正确.因为：EF=DE=LcD=2,设BG=FG=x,则CG=6-x.在直角^ECG中，根据勾

3

股定理，得(6-x)^+4^=(x+2)J解得x=3.所以BG=3=6-3=GC；

③正确.因为CG=BG=GF,感aFGC是等腰三角形，ZGFC=ZGCF.又/AGB=/AGF,

ZAGB+ZAGF=^8Q0-ZFGC=ZGFC+ZGCF,

AZAGB=ZAGF=ZGFC=ZGCFf：.AG//CF；

④错误.过下作"LOG

,/BCkDH,

：.FH//GC,

・•・△EFHSAEGC,

.FH_EF

••—,

GCEG

EF=DE=2,GF=3f

EG=5,

・FHEF2

，，~GC=~EG=~5,

।]218

：・S&FGC=SAGCE-SAFEC=-x3x4—x4x(-x3)=—H3.

2255

故选C.

BGC

点评：本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质,

勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度.

4.（2011山东省潍坊，11,3分）己知直角梯形ABCD中，AD〃BC.ZBCD=90°,

BC=CD=2AD,E、F分别是BC、CD边的中点.连接BF、DF交于点P.连接CP并延长

交AB于点Q,连揍AF,则下列结论不正顿的是（）.

A.CP平分NBCD

B.四边形ABED为平行四边形

C,CQ将直角梯形ABCD分为面积相等的两部分

D.Z\ABF为等腰三角形

【考点】直角梯形；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质.

【专题】证明题；几何综合题.

【分析】本题可用排除法证明，即证明A、B、D正确，C不正确：易证△BCF^^DCE（SAS）,

WZFBC=ZEDC,.-.ABPE^AOPF,：.BP=DP：.*.ABPC^ADPC,AZBCP=ZDCP,

；.A正确；：AD=BE且AB〃BE,所以，四边形ABED为平行四边形，B正确；：BF=ED,

【解答】证明：易证4BCF名ADCE(SAS),

.,•ZFBC=ZEDC,BF=ED；

.,.△BPE^ADPF(AAS),

，BP=DP,

.,.△BPC^ADPC(SSS),

；.NBCP=/DCP,即A正确；

又：AD=BE且AB〃BE,

四边形ABED为平行四边形，B正确；

VBF=ED,AB=ED,

.-.AB=BF,即D正确；

综上，选项A、B、D正确：

故选C.

【点评】本题考查了等腰三角形、平行四边形和全等三角形的判定，熟记以上图形的性质，

并能灵活运用其性质，是解答本题的关犍，本题综合性较好.

5.（2011•河池）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为AD上一点，EF

交AC于G,AF=2cm,DF=4cm,AG=3cm,则AC的长为（）

A、9cmB、14cm

C>15cmD、18cm

考点：平行线分线段成比例；平行四边形的性质。

分析:延长FG交CB的延长线于点H.根据平行四边形的性质,得BC=AD=6cm,BC〃AD.根

AGAF

据AAS可以证明4AFE丝△BHE,贝ijBH=AF=2cm,再根据BC〃AD,得缶=而，求得

CG的长，从而求得AC的长.

解答：

解：：四边形ABCD是平行四边形，

；.BC=AD=6cm,BC〃AD.

，/EAF=NEBH,ZAFE=ZBHE,

又AE=BE,

.•.△AFEgABHE,

.♦.BH=AF=2cm.

VBC〃AD,

.AG=AF_

•'CG~CH'

即系=

则CG=12,

则AC=AG+CG=15（cm）.

点评：此题综合考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定及性质、平行线分线段成比例

定理.此题中要能够巧妙构造辅助线

6.（2011年湖南省湘潭市，5,3分）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（）

A、平行四边形B、正方形C、等腰梯形D、矩形

考点：等腰梯形的性质；平行四边形的性质；矩形的性质；正方形的性质.

有逐：常规题型.

分析:利用时角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形作出判断即可.

解答:解：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，

故选B.

点评：本题考查了等腰梯形、平行四边形、正方形及矩形的对角线的性质，牢记特殊的四边

形的判定定理是解决此类问题的关键.

7.如图，四边形ABCD中，ZBAD=ZADC=90Q,AB=AD=2发，CD=血，点P在四边形ABCD

3

上，若P到BD的距离为二，则点P的个数为（）

2

A、1B、2C、3D、4p

【答案】B

【考点】解直角三角形；点到直线的距离.

【专题】几何综合题.

【分析】首先作出AB、AD边上的点P（点A）到BD的垂线段AE,即点P到BD的最长距离,

作出BC、CD的点P（点C）到BD的垂线段CF,即点P到BD的最长距离，由已知计算出AE、

3

CF的长与二比较得出答案.

2

【解答】解：过点A作AEJ_BD于E,过点C作CFJ_BD于F,

VZBAD=ZADC=90°,AB=AD=2后，CD=AZABD=ZADB=45°,

.•.NCDF=90°-ZADB=45°,AE=AB・tanNABD=272•tan45°=26.显=2>-,

22

-3

所以在AB和AD边上有符合P到BD的距离为-的点2个，

2

.,.CF=CD»tanZCDF=V2•—=1,所以在边BC和CD上没有到BD的距离为』的点，

22

3

所以P到BD的距离为一的点有2个，故选：B.

2

【点评】此题考查的知识点是解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是先求出各边上

点到BD的最大距离比较得出答案.

8.（2011黑龙江牡丹江，20,3分）如图，在正方形A8C。中，点。为对角线AC的中

点，过点。作射线O/W、ON分别交48、BC于点E、F,且NEOf=90。，BO.EF交

于点R则下列结论中：

（1）图形中全等的三角形只有两对；

（2）正方形ABCD的面积等于四边形。EBF面积的4倍；

（3）BE+BF=\[2OA；

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质。

分析：本题考查正方形的性质，四边相等，四个角都是直角，对角线相等，垂直且互相

平分，且平分每一组对角.

解答：解（1）从图中可看出全等的三角形至少有四对.故（1）错误.

（2）△OBE的面积和△。尸C的面积相等，故正方形A8CD的面积等于四边形0E8F面积

的4倍，故（2）正确.

（3）BE+BF是边长,故是正确的.

（4）因为AE=BF,CF=BE,故/=20尸是正确的.

故选C.

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理和相似三角

形的判定和性质等.

9.（2011广东肇庆，9,3分）已知正六边形的边心距为G，则它的周长是（）

A、6B、12C、66D、1273

考点：正多边形和圆。

专题：计算题。

分析：设正六边形的中心是O,一边是AB,过。作。GLAB与G,在直角^OAG中,

根据三角函数即可求得边长AB,从而求出周长.

解答：解：如图，在RQA0G中，OG=G，NAOG=30°,

/-0A=0G-ieos30°=G+2.

这个正六边形的周长=12.

故选B.

AGB

点评：此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题.解题的关键是正确的构造直角

三角形.

二、填空题

1.（2011•贺州）把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕

为EF.若BF=4,FC=2,则/DEF的度数是60。.

D(B)

“FC

考点：翻折变换（折叠问题）。

专题：计算题。

分析：根据折叠的性质得到DF=BF=4,ZBFE-ZDFE,在RSDFC中，根据含30。的直

角三角形三边的关系得至U/FDC=30°,贝lJ/DFC=60°,所以有NBFE=NDFE=（180°-60°）

+2,然后利用两直线平行内错角相等得到/DEF的度数.

解答：解：；矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF,

.♦.DF=BF=4,NBFE=/DFE,

在RtZ\DFC中，FC=2,DF=4,

.•.NFDC=30°,

Z.ZDFC=60°,

，NBFE=/DFE=（180°-60°）+2=60。，

.\ZDEF=ZBFE=60o.

故答案为60.

点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后的两图形全等，即对应角相等，对应线段相等.也

考查了矩形的性质和含30。的直角三角形三边的关系.

2.1.（2011湖北孝感，16,3分）已知正方形ABCD,以CD为边作等边△CDE,^ZAED

的度数是________

考点：正方形的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质。

专题：计算题。

分析：当E在正方形ABC。内时，根据正方形ABC。，得到AO=CD,ZADC=90°,根据

等边△CDE,得到CD=DE,ZCDE=60°,推出AD=DE,得出NOAE=/AE。，根据三角

形的内角和定理求出即可；

当E在正方形A8CD外时，根据等边三角形CDE,推出/ADE=150。，求出即可.

解答：解:有两种情况:

当E在正方形ABC。内时，

•••正方形4BCD，

：.AD=CD,ZADC=90°,

•:等边丛CDE,

：.CD=DE,ZCDE=60°,

/.Z^De=90o-60°=30°,

AD=DE,

1

：.ZDAE=ZAED=~(180°-ZADE)=75°；

2

当E在正方形ABCD外时，

•.•等边三角形CDE,

：.ZEDC=60°,

.•./ADE=90°+60°=150°,

1

：.ZAED=ZDAE=~(180°-ZADE')=15°.

2

故答案为：15。或75。.

点评：本题主要考查对正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内

角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键.

3.（2010河南，13,3分）如图，在四边形A8CD中，NA=90。，封。=4,连妾BD,BD±CD,

ZADB=ZC.若P是8c边上一动点，则DP长的最小值为4.

考点：角平分线的性质；垂线段最短

分析：根据垂线段最短，当。尸垂直于BC的时候，DP的长度最小，则结合已知条件推出

NC=/ADC,推出△A8C丝△PBD,即可/4D=DR

解答：解：根据垂线段最短，当OP,8c的时候，OP的长度最小，ZADB=ZC,

/A=90。，：.ZC=ZADC,：./\ABC^/\PBD,'：AD=4,：.DP=4.故答案为：4.

点评：本题主要考查了直线外一点到直线的距离垂线段最短、全等三角形的判定和性质、角

平分的性质，解题的关键在于确定好。户处置于8C.

三、解答题

1.如图，在梯形ABCD中，AD〃BC,AB=DC,过点D作DEJ_BC,垂足为E,并延长

DE至F,使EF=DE.连接BF、CD、AC.

(1)求证：四边形ABFC是平行四边形；

(2)如果DE2=BE-CE,求证四边形ABFC是矩形.

考点I等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质;

相似三角形的判定与性质.

专题：证明题.

分析:(1)连接BD,利用等腰梯形的性质得到AC=BD,再根据垂直平分线的性质得到

DB=FB,从而得至UAC=BF,然后证得AC〃BF,利用一组对边平行且相等判定平行四边形;

(2)利用题目提供的等积式和两直角相等可以证得两直角三角形相似，得到对应角相等，

从而得到直角来证明有一个角是直角的平行四边形是矩形.

解答：证明：(1)连接BD,

•梯形ABCD中，AD〃BC,AB=DC,

AC=BD»NACB=NDBC

VDE1BC,EF=DE,

BD=BF>NDBC=NFBC,

・・・AC=BF,ZACB=ZCBF

・・・AC〃BF,

・・・四边形ABFC是平行四边形;

DB_CB

：.筋一段,

VZDEB=ZDEC=90°,

AABDE^ADEC

.\ZBDC=ZBFC=90°,

・・・四边形ABFC是矩形.

点严：本题考查了等腰梯形的性质、全等及相似三角形的判定及性质等，是一道集合了好几

个知识点的综合题，但题目的难度不算大.

2.(2011四川广安，23,8分)如图5所示，在菱形A8C。中，ZABC=60°,DE//AC

交8c的延长线于点£求证：DE=工BE.

2

AD

E

图5

考点：菱形的性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，线段的倍分

关系

专题：四边形

分析：思路一：易知四边形ACED是平行四边形，则从而可知8C=

-BE,要说明只需说明。E=8C即可.

22

思路二：连接8。，先证/8。£=90。，再证/。8£=30。，根据30。的角所对的直角边

等于斜边的一半可直接获得结论（自己完成证明过程）.

解答：♦.SBC。是菱形，

：.AD//BC,AB=BC=CD=DA.

又•../人8。=60°,

BC=AC=AD.

•：DE//AC

...ACE。为平行四边形.

:.CE=AD=BC,DE=AC.

：.DE=CE=BC,

：.DE=-BE.

2

点评：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，而平行四边形的对边相等，由此可以得出

相等的线段，可实现线段的等量代换（转移），这就为证明线段相等或倍、分关系创造了条

件.

3.（2010重庆,24,10分）如图，梯形ABC。中，AO〃BC,ZDCB=45°,CD=2,BD±CD.ji

点C作于E,交对角线BDFF,点G为BC中点，连接EG、AF.

（1）求EG的长；

（2）求证：CF=AB+AF.

C

24题图

考点：梯形；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理

分析：（1）根据BOLC。，Z008=45°,得至求出BD=CD=2,根据勾股

定理求出BC=2J5,根据CELBE,点G为BC的中点即可求出EG；

（2）在线段CF上截取CH=BA,也DH,OBD1.CD,BE1.CD,蒯ZEBF=ZDCF,

证出△48。丝△HC。，得到AD=BD,NADB=/HDC,根据AD//BC,得到

ZADB=ZDBC=45°,推出证出尸，即可得到答案.

解答：（1）解：VBD±CD,ZDCB=45°,

：.ZDBC=45°=ZDCB,：.BD=CD=2,在RtABDC中BC=[BD?+CD。=2近,

•.•CE_L8E,点G为8c的中点，：.EG=-BC=42.

2

答：EG的长是行.

（2）证明：在线段CF上截取CH=BA,连接0H,

24题答图

BDLCD,BE_LCE,

：.ZEBF+ZEFB=90°,ZDFC+ZDCF=90°,

,:NEFB=NDFC,

ZEBF=ZDCF,

•:DB=CD,BA=CH,

••.△ABgAHCD,

:.AD=DH,/ADB=/HDC,

,:AD〃BC,

：.ZADB=ZDBC=45°,

.・・ZHDC=45°,I.ZHDB=ZBDC-ZHDC=45°,

:./ADB=/HDB,

•：AD=HD,DF=DF,

:・4ADF冬AHDF,

：.AF=HF,

：.CF=CH+HF=AB^AF,

：.CF=AB^AF.

点评：本题主要考查对梯形，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，直角三角形斜边上

的中线，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键.

4.（2011•泰州，24,10分）如图，四边形ABCD是矩形，直线I垂直平分线段AC,垂足

为O,直线I分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F.

（1）AABC与aFOA相似吗？为什么？

考点：相似三角形的判定；线段垂直平分线的性质；菱形的判定；矩形的性质。

专题：证明题；综合题。

分析：（1）根据角平分线的定义，同角的余角相等可知NAF0=NCAB,根据垂直的定义,

矩形的性质可知/ABC=NFOA,由相似三角形的判定可证4ABC与aFOA相

似；

(2)先证明四边形AFCE是平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形

作出判断.

解答：解(1)直线I垂直平分线段AC,

AZAFO=ZCFO,

：ZCFO+ZFCO=ZCAB+ZFCO=90°,

ZAFO=ZCAB,

VZA0F=ZCBA=90°,

.,.△ABC^AFOA.

(2)•.•直线I垂直平分线段AC,

；.AF=CF,

nTiiEAAOF^ZXAOE,

.\AE=CF,FO=EO.

Y四边形ABCD是矩形，

•••四边形AFCE是平行四边形，

二四边形AFCE是菱形.

点评：考查了线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定，矩形的性质，菱形的判定，综合

性较强，有一定的难度.

5.(2010重庆，26,12分)如图，矩形ABC。中，AB=6,8c=2G,点。是AB的中

点，点?在A8的延长线上，且8尸=3.一动点E从。点出发，以每秒1个单位长度的速

度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿八O返回；另一动点尸从P点发发，以

每秒1个单位长度的速度沿射线以匀速运动，点E、户同时出发，当两点相遇时停止运动，

在点E、尸的运动过程中，以EF为边作等边△EFG,使△£尸G和矩形ABC。在射线期的

同侧.设运动的时间为t秒(之0).

(1)当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；

(2)在整个运动过程中，设等边4EPG和矩形A8CD重叠部分的面积为S,请直接写出S

与t之间的函数关系式和相应的自变量f的取值范围；

(3)设EG与矩形ABC。的对角线AC的交点为H,是否存在这样的f,使△AOH是等腰

三角形？若存大，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由.

26题图

考点：相似三角形的判定与性质；根据实际问题列二次函数关系式；等腰三角形的性质；等

边三角形的性质；矩形的性质；解直角三角形

分析：(1)当边尸G恰好经过点C时，NC尸8=60。，BF=3-t,在成aCB尸中，解直角三

角形可求t的值；

(2)按照等边△EFG和矩形ABC。重叠部分的图形特点，分为0》V1,19<3,3勺<4,

43<6四种情况，分别写出函数关系式；

(3)存在.当△1OH是等腰三角形时，分为AH=AO=3,HA=HO,OH=OA三种情况，分

别画出图形，根据特殊三角形的性质，列方程求t的值.

解答：解（1）当力FG恰好经过点C时，/CFB=60°,BF=3-t,在Rt/\CBF中，BC=26,

BC即fan60=逮，解得BF=2,即3-t=2,t=1，二当边FG恰好经过点C

tanZCFB=-----

BFBF

时，5

26题答图①

（2）当0金<1时，S=2V3MV3；

当1sf<3时，S=-——F+3yfitd—;

22

当34f<4时，S=-4也t+20也;

当44t<6时，S=JJ『-12百人36百；

（3）存在.

理由如下：在&△ABC中，tanZCAB=——=—,

AB3

：.ZCAB=30°,又,:ZHEO=60°,：.NHAE=NAHE=30°,

：.AE=HE=3-t^,t-3,

13

1）当AH=A0=3时，（如图②），过点E作于则41色—47=—，

22

3

AMo

在成△4/WE中，cosAMAE==——，即cos30°=上，

AEAE

AE=V3,即3-£=>/3或£-3=V3,

26题答图②

2）当HA=HO时,（如图③）则NHO4=NH4O=30。,

XVZHEO=60°,・・・NEHO=90。,EO=2HE=2AE,

又・・・4E+EO=3,AAE+2AE=3,AE=1,

即3・t=1或-3=1,・1=2或1或

AEo

26题答图③

3）当。H=O4时，（如图④），则ZOHA=ZOAH=30°,

：.ZHOB=60。=ZHEB,：.点E和点。重合，

/.AE=3>即3-f=3或t-3=3,t=6（舍去）或f=0；

人0（E）BP

26题答图④

综上所述，存在5个这样的t值，使△八。H是等腰三角形，即t=3-G或t=3+6或f=2

或t=2或t=0.

点评：本题考查了特殊三角形、矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的有

关知识.关键是根据特殊三角形的性质，分类讨论.

6.（2011湖北咸宁，22,10分）（1）如图①，在正方形A8CD中，△AEF的顶点E,F

分别在BC,CD边上,高A3与正方形的边长相等，求/日尸的度数.

（2）如图②，在国中，ZBAD=90°,AB=AD,点、M,N是8。边上的任意两点，

且//VW/V=45。，将△ABM绕点人逆时针旋转90。至△ADH位置，连接NH,试判断MN,

ND,DH之间的数量关系，并说明理由.

（3）在图①中，连接8。分别交AE,AF于点M,N,若EG=4,GF=6,BM=3极,求

AG,MN的长.

CBMKD

（图①）（图②）

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理。

分析：（1）根据高AG与正方形的边长相等，证明三角形相等，进而证明角相等，从而

求出解.

（2）用三角形全等和正方形的对角线平分每一组对角的知识可证明结论.

（3）设出线段的长，结合方程思想，用数形结合得到结果.

解答：（1）在RtZ\A8E和RtZ\AGE中，AB=AG,AE=AE,

：./\ABE丝/XAGE..I/BAE=NGAE.

同理，ZGAF=ZDAF.

ZEAF=-ZBAD=45°.

2

(2)MN2=ND2+DH2.

:NBAM=ZDAH,ZBAM+4DAN=45°,

AHAN=ADAH+ADAN=45°.ZHAN=/MAN.

XVAM=AH,AN=AN,

AAMN乌/XAHN.：.MN=HN.