一元二次方程2

第3节一元二次方程第二章方程与不等式主要公式1.根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，通常用“Δ”来表示，即Δ=b2-4ac.I.当Δ>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；II.当Δ=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；III.当Δ<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式：方法规律公式法和因式分解法的运用技巧（1）在解一元二次方程时，最常用到的方法是公式法和因式分解法.公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法）.在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算根的判别式的值，以便判断方程是否有解.（2）在运用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数.考点1解一元二次方程考点精讲【例1】（2015广东）解方程：x2-3x+2=0.思路点拨：利用公式法来求解即可.解：用公式法，已知a=1，b=-3,c=2,∴Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×2=1.解得x1=1，x2=2.考题再现1.（2016天津）方程x2+x-12=0的两个根为 （）A.x1=-2，x2=6 B.x1=-6，x2=2C.x1=-3，x2=4 D.x1=-4，x2=32.（2014珠海）填空：x2-4x+3=（x-__________）2-1.3.（2016山西）解方程：2（x-3）2=x2-9.D2解：方程变形，得2（x-3）2-（x+3）（x-3）=0.分解因式，得（x-3）（2x-6-x-3）=0.解得x1=3，x2=9.考点演练4.已知关于x的一元二次方程x2+x+c=0有一个解为x=1，则c的值为 （）A.-2 B.0C.1 D.25.方程4x2-kx+6=0的一个根是2，那么k的值和方程的另一个根分别是 （）A.5，34 B.11，34C.11，-34 D.5，-34AB6.解下列方程：（1）x（x-3）=x-3； （2）2x2-3x-4=0.解：（1）原方程变形，得x（x-3）-（x-3）=0.分解因式，得（x-3）（x-1）=0.解得x1=3，x2=1.（2）用公式法，已知a=2，b=-3，c=-4，∴Δ=b2-4ac=(-3)2-4×2×(-4)=41.考点2一元二次方程根的判别式与根的情况考点精讲【例2】（2016北京）关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2-1=0有两个不相等的实数根.（1）求m的取值范围；（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根.思路点拨：（1）由方程有两个不相等的实数根即可得出Δ＞0，代入数据即可得出关于m的不等式，解不等式即可得出结论；（2）结合（1）中结论，令m=1，将m=1代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论.解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2-1=0有两个不相等的实数根，∴Δ=（2m+1）2-4×1×（m2-1）=4m+5＞0.（2）令m=1，此时原方程化为x2+3x=0，即x（x+3）=0.解得x1=0，x2=-3.考题再现1.（2015广东）若关于x的方程x2+x-a+=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 （）A.a≥2 B.a≤2C.a＞2 D.a＜22.（2014广东）关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为 （）CB3.（2015珠海）一元二次方程x2+x+=0的根的情况是 （）A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.无实数根 D.无法确定根的情况4.（2016梅州）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2.求实数k的取值范围.解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ=（2k+1）2-4（k2+1）＞0.解得k＞，即实数k的取值范围是k＞.B考点演练6.已知关于x的一元二次方程mx2+2x-1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 （）A.m＜-1 B.m＞1C.m＜1且m≠0 D.m＞-1且m≠07.若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，则a的取值范围是 （）A.a＜1 B.a＞1C.a≤1 D.a≥1DB8.已知关于x的方程x2-2x+3k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 （）9.若关于x的一元二次方程x2+（2k-1）x+k2-1=0有实数根，则k的取值范围是 （）AD考点点拨：本考点是广东中考的高频考点，题型一般为选择题，难度较低.解答本考点的有关题目，关键在于熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系.注意以下要点：（1）判别式Δ＞0方程有两个不相等的实数根；（2）判别式Δ=0方程有两个相等的实数根；（3）判别式Δ＜0方程没有实数根.考点3一元二次方程的应用考点精讲【例3】（2016永州）某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同.（1）求该种商品每次降价的百分率；（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元，问第一次降价后至少要售出该种商品多少件.思路点拨：（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，根据“两次降价后的售价=原价×（1-降价百分比）2”，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100-m）件，根据“总利润=第一次降价后的单件利润×销售数量+第二次降价后的单件利润×销售数量”，即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论.解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x.依题意，得400×（1-x）2=324.解得x=0.1=10%，或x=1.9（不合题意，舍去）.答：该种商品每次降价的百分率为10%.（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100-m）件.第一次降价后的单件利润为：400×（1-10%）-300=60（元/件）；第二次降价后的单件利润为：324-300=24（元/件）.依题意，得60m+24×（100-m）=36m+2400≥3210.解得m≥22.5.∴m≥23.答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元，第一次降价后至少要售出该种商品23件.3.（2015珠海）白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷.（1）求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率；（2）若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？解：（1）设绿地面积的年平均增长率为x.根据题意，得57.5（1+x）2=82.8.解得x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）.答：该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率为20%.（2）由题意,得82.8×（1+0.2）=99.36（公顷）.∴2015年不能达到100公顷.答：2015年该镇绿地面积不能达到100公顷.4.（2015广州）某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元.（1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元.解：（1）设增长率为x，根据题意，得2500（1+x）2=3025.解得x1=0.1=10%，x2=-2.1（不合题意，舍去）.答：2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%.（2）3025×（1+10%）=3327.5（万元）.答：预计2016年该地区将投入教育经费3327.5万元.5.（2016贵州）为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元.2016年投入教育经费8640万元.假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同.（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预计2017年该县投入教育经费多少万元.解：（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为x.根据题意，得6000（1+x）2=8640.解得x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）.答：该县投入教育经费的年平均增长率为20%.（2）因为2016年该县投入教育经费为8640万元，且增长率为20%，所以2017年该县投入教育经费为：y=8640×（1+0.2）=10368（万元）.答：预计2017年该县投入教育经费10368万元.考点演练6.如图1-2-3-2，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍的面积为80平方米？解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为（25-2x+1）m，由题意，得x（25-2x+1）=80.化简，得x2-13x+40=0.解得x1=5，x2=8.∵当x=5时，26-2x=16＞12（不合题意，舍去），当x=8时，26-2x=10＜12，∴x=8,26-2x=10.答：所围矩形猪舍的长为10m，宽为8m.9.新兴商场经营某种儿童益智玩具.已知成批购进时的单价是20元.调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元.每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰好为2520元？解：设每件玩具上涨x元，则售价为（30+x）元，根据题意，得（30+x-20）（230-10x）=2520.整理方程，得x2-13x+22=0.解得x1=11，x2=2.当x=11时，30+x=41＞40，∴x=11（不合题意，舍去）.∴x=2.∴每件玩具售价应定为：30+2=32（元）.答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰好为2520元.考点点拨：本考点是广东中考的次高频考点，题型一般为解答题，难度中等.解答本考点