时间序列分析和预测

时间序列分析和预测第一页，共六十八页，编辑于2023年，星期六§10.1时间序列概述一、时间序列的概念和作用概念：同一现象在不同时间上的相继观察值排列而成的数列。两个基本构成要素：1.现象所属的时间；2.现象在不同时间上的观察值，又称为时间序列中的发展水平。第二页，共六十八页，编辑于2023年，星期六时间序列分析所要解决的主要问题利用时间序列数据，可以建立比较精确地反映时间序列中所包含的动态依存关系的数学模型，并借以对系统的未来行为进行预报，第三页，共六十八页，编辑于2023年，星期六二、时间序列的种类按统计数据的表现形式不同分为：绝对数时间序列、相对数时间序列和平均数时间序列。（一）绝对数时间序列：总量指标数列，是指把一系列同类的总量指标按时间先后顺序关系排列起来所形成的时间序列。它反映社会经济现象在各期达到的绝对水平及其变化发展的状况。第四页，共六十八页，编辑于2023年，星期六（二）相对数时间序列：相对指标数列，是指把一系列同类的相对指标按时间先后顺序关系排列起来所形成的时间序列。它反映社会经济现象对比关系的发展变化情况，说明社会经济现象的比例关系、结构、速度的发展变化过程。（三）平均数时间序列：平均指标数列，是指把一系列同类的平均指标按时间先后顺序关系排列起来所形成的时间序列。它反映社会经济现象一般水平的发展趋势。第五页，共六十八页，编辑于2023年，星期六绝对数时间序列相对数时间序列平均数时间序列第六页，共六十八页，编辑于2023年，星期六月份一月二月三月四月五月六月产值（万元）利润额（万元）304304325346365386月初职工人数月初固定资产额124601266012461122641266412870第七页，共六十八页，编辑于2023年，星期六时间19981999200020012002计划完成程度（％）106110104108110.6某企业1998～2002年个年计划产值完成程度某商场2005年各季度平均销售额资料时间一季度二季度三季度四季度平均月销售额（万元）800850860900第八页，共六十八页，编辑于2023年，星期六时间序列的分类——

观察值波动的特征不同平稳序列(stationaryseries)基本上不存在趋势的序列，各观察值基本上在某个固定的水平上波动或虽有波动，但并不存在某种规律，而其波动可以看成是随机的非平稳序列(non-stationaryseries)有趋势的序列线性的，非线性的有趋势性序列，季节性序列和周期性序列第九页，共六十八页，编辑于2023年，星期六三、时间序列的编制原则（一）数据所属的时间长短应当一致（二）数据说明的总体范围应当一致（三）数据的经济内容应当一致（四）数据的计算口径和计算方法应当一致第十页，共六十八页，编辑于2023年，星期六1．数据的准备根据分析目的收集数据，并将数据按恰当格式组织在统计分析软件中。2．数据的观察及检验为保证统计数据的准确性，还必须对数据进行审核、调整和推算。对审核、调整后的数据，要进行初步分析，画出统计图形，以观察统计数据的性质和分布，作为选择恰当模型的依据。3．数据的预处理根据分析的需要对数据进行必要的变换等预处理。通过预处理，一方面能够使序列的特征体现得更加明显，利于分析模型的选择；另一方面也使数据满足于模型的要求。时间序列分析的步骤第十一页，共六十八页，编辑于2023年，星期六4．数据分析和建模根据时间序列的特征和分析的要求，选择恰当模型进行数据建模和分析，使分析结果既能达到所需的精度又简洁实用。5．模型的评价模型的评价应与模型分析的目标相结合，与研究目的相结合。预测是时间序列分析的重要目标之一，因此预测精度无疑是评价模型好坏的重要指标。预测误差虽然不可避免，但若超出了允许范围，就要分析误差产生的原因，以决定是否需要对预测模型和预测方法加以修正。6．模型的实施应用应用量化的时间序列模型对统计变量的变化规律进行分析和推断，进而将其付诸实践第十二页，共六十八页，编辑于2023年，星期六§10.2时间序列预测方法趋势外推法当所研究的对象依时间变化呈现出某种上升或下降的倾向，并且无明显的季节波动，又能够找到一条合适的函数曲线反映这种变化趋势，这时可以建立趋势模型：yt=f(t)当有理由相信所建立的趋势模型能够反映变量的变动规律并且能够延伸到未来时，可利用模型分析时间变动的影响，进行趋势预测。第十三页，共六十八页，编辑于2023年，星期六常用的趋势模型线性（Linear）趋势模型非线性趋势模型二次曲线（SecondDegreecurve）指数曲线（Exponentialcurve）第十四页，共六十八页，编辑于2023年，星期六修正曲线（Modifiedexponentialcurve）趋势模型对数曲线(Logarithmiccurve)趋势模型Logistic曲线趋势模型龚珀兹曲线（GompertzCurve）模型第十五页，共六十八页，编辑于2023年，星期六第十六页，共六十八页，编辑于2023年，星期六龚柏兹曲线，(Gompertz,1825)提出作为动物种群生长模型，用于描述种群的消亡规律。这个曲线在开始时是比较平滑，后面有一个快速的增长，后来又开始平滑冈珀茨模型与逻辑斯蒂模型相比，在应用特点上则更适合那些S型曲线不对称、病情发展先快后慢的病害曲线拟合。第十七页，共六十八页，编辑于2023年，星期六趋势模型选择方法图形观察法绘制散点图，观测值随时间变动的趋势，将其变化趋势曲线与各类函数曲线模型进行拟合，从中选择合适的模型类型若有几种函数模型与散点图变化趋势曲线的拟合效果接近，可进行试算，以标准误差最小的模型作为最终预测模型第十八页，共六十八页，编辑于2023年，星期六差分法向后差分线性趋势，一阶向后差分二次抛物线趋势，二阶向后差分d次多项式趋势，d阶向后差分一阶向后差分指时间由t推到t-1时yt的增量第十九页，共六十八页，编辑于2023年，星期六如果时间序列{yt}具有线性变化趋势，则其一阶向后差分数列近似为一个常数列第二十页，共六十八页，编辑于2023年，星期六二阶向后差分法指时间由t推到t-1时一阶差分yt′的增量第二十一页，共六十八页，编辑于2023年，星期六一阶差分环比法时间由t推到t-1时的比值，第二十二页，共六十八页，编辑于2023年，星期六一阶向后差分的一阶差分环比法

时间由t推到t-1时一阶向后差分yt的增量的比值第二十三页，共六十八页，编辑于2023年，星期六趋势分析和预测首先确定趋势模型中的参数，建立趋势方程通过趋势方程，计算出各期的趋势值，而且还可以进行外推预测。注意：趋势方程不涉及变量t与变量y之间的任何因果关系，也没有考虑误差的任何性质，因此它仅仅是一个曲线拟合公式，并不是什么回归模型。作为较长期的一种趋势，利用所拟合的趋势方程进行预测时，必须假定趋势变化的因素到预测年份仍然起作用。实际应用时，为了更好地反映长期趋势，时间序列观测值应尽可能多些。第二十四页，共六十八页，编辑于2023年，星期六最小二乘法确定模型中的参数对于线性趋势模型，可以直接采用最小二乘法OLS进行估计用t来代替x第二十五页，共六十八页，编辑于2023年，星期六最小二乘法确定模型中的参数二次曲线：解方程即可指数趋势模型：两端取对数令化为直线模型后估计参数对数趋势模型第二十六页，共六十八页，编辑于2023年，星期六三段法确定模型中的参数修正指数曲线模型把整个时间序列分成相等项数的3个组解方程得第二十七页，共六十八页，编辑于2023年，星期六三段法确定模型中的参数Logistic曲线模型两端取倒数化成修正曲线模型三段法确定a、b、cGompertz曲线模型两端取对数，化成修正指数模型后三段法确定参数第二十八页，共六十八页，编辑于2023年，星期六指数平滑法指数平滑法在短期预测中较为常见，是简单移动平均法的延伸。基本想法：认为被预测的时间序列中存在着某种基本模式(即包含趋势变动和季节变动)，而该时间序列既体现着这种基本模式，又含有随机成分。指数平滑法的目的就是通过“修匀”序列以分离出基本模式和随机成分。第二十九页，共六十八页，编辑于2023年，星期六移动平均法根据研究现象的时间序列逐项移动平均，以此计算包含一定项数的序时平均数，这些平均数形成的新的时间序列对原时间序列的波动起到一定的修匀作用，削弱了原序列中短期偶然因素的影响，从而呈现出现象发展的变动趋势。因此，利用移动平均法能测定某一现象在短期内发展的基本趋势分为简单移动平均法和加权移动平均法第三十页，共六十八页，编辑于2023年，星期六简单移动平均法采用对新近一组观测值取平均值，作为下一期的预测值的方法称为简单移动平均法时间序列{yt}对其进行分段平均，则得到一个序时平均数数列把t期移动平均值作为t+1期的预测值第三十一页，共六十八页，编辑于2023年，星期六简单移动平均法

(simplemovingaverage)将最近k期数据平均作为下一期的预测值设移动间隔为k(1<k<t)，则t期的移动平均值为

t+1期的简单移动平均预测值为预测误差用根均方误差(RMSE)

来衡量第三十二页，共六十八页，编辑于2023年，星期六简单移动平均法由简单移动平均法得出的每一个新预测值是对前一移动平均预测值的修正，这一修正包括加上最新观测值而减去最早观测值①时段长p的合理确定。时段长p(1＜p＜n)为移动平均时期数(即每段中的观测值个数)一般取3或5。为消除年周期影响，对月份资料可取12，对季节资料可取4；为消除日周期影响，对小时资料可取24②移动平均趋势值与原时间序列的对应位置的确定。第三十三页，共六十八页，编辑于2023年，星期六加权移动平均法简单移动平均法优点计算量小移动平均序列能较好地反映时间序列的趋势及变化简单移动平均法缺点，在预测时将时间跨度内的所有观测值对未来的预测贡献看成是全部相同的，预测有时可能出现很大的偏差。加权移动平均法就是在预测时，对近期的观测值和远期的观测值赋予不同的权数后再进行预测。一般情况下，当时间序列的波动较大时，最近期的观测值应赋予最大的权数，而比较远期的观测值赋予的权数依次递减。第三十四页，共六十八页，编辑于2023年，星期六加权移动平均法加权移动平均的计算公式为式中第三十五页，共六十八页，编辑于2023年，星期六指数平滑法

(exponentialsmoothing)是加权平均的一种特殊形式对过去的观察值加权平均进行预测的一种方法观察值时间越远，其权数随之呈现指数的下降，因而称为指数平滑有一次指数平滑、二次指数平滑、三次指数平滑等一次指数平滑法也可用于对时间序列进行修匀，以消除随机波动，找出序列的变化趋势第三十六页，共六十八页，编辑于2023年，星期六简单指数平滑简单指数平滑法是以时间序列预测之前所有时期观测值的加权平均数作为预测值。第三十七页，共六十八页，编辑于2023年，星期六简单指数平滑法第三十八页，共六十八页，编辑于2023年，星期六简单指数平滑法通常取为时间序列的观测值数据的平均值，或者为时间序列的最初一个观测值。平滑系数的取值大小关系着预测的精确性。如果原时间序列波动不大，可取较小值(如0.1至0.3)，以加重旧预测值的权数；如果原时间序列波动较大，可取较大值(如0.6至0.8)，以加重新观测值的权数第三十九页，共六十八页，编辑于2023年，星期六一次指数平滑

(singleexponentialsmoothing)只有一个平滑系数观察值离预测时期越久远，权数变得越小以一段时期的预测值与观察值的线性组合作为第t+1期的预测值，其预测模型为Yt为第t期的实际观察值

Ft

为第t期的预测值为平滑系数(0<<1)第四十页，共六十八页，编辑于2023年，星期六一次指数平滑在开始计算时，没有第1期的预测值F1，通常可以设F1等于第1期的实际观察值，即F1=Y1第2期的预测值为第3期的预测值为第四十一页，共六十八页，编辑于2023年，星期六一次指数平滑

(预测误差)预测精度，用误差均方来衡量

Ft+1是第t期的预测值Ft加上用调整的第t期的预测误差(Yt-Ft)第四十二页，共六十八页，编辑于2023年，星期六一次指数平滑

(的确定)不同的会对预测结果产生不同的影响当时间序列有较大的随机波动时，宜选较大的，以便能很快跟上近期的变化当时间序列比较平稳时，宜选较小的

选择时，还应考虑预测误差用误差均方来衡量预测误差的大小确定时，可选择几个进行预测，然后找出预测误差最小的作为最后的值第四十三页，共六十八页，编辑于2023年，星期六时间序列分解法时间序列的变化受多种因素的影响。一般可将这些因素分为长期趋势因素(T)、季节变动因素(S)、周期变动因素(C)以及不规则变动因素(I)。时间序列分解法就是将时间序列的各个因素依次分解出来、构造时间序列分解模型并用之进行预测的统计方法。第四十四页，共六十八页，编辑于2023年，星期六时间序列分解模型认为时间序列{Yt}是长期趋势、季节变动、周期变动以及不规则变动这4个因素的函数1)加法模型加法模型认为时间序列是由四个因素迭加形成的。适用于那些随着时间的推移，变动幅度随之增大或减小的序列。2)乘法模型乘法模型认为时间序列是由四个因素相乘形成的。适用于那些随着时间的推移，变动幅度没有明显变化的序列。第四十五页，共六十八页，编辑于2023年，星期六时间序列的分解方法先计算季节指数(St)，再计算长期趋势(Tt)，最后计算周期变动(Ct)和不规则变动(It)1)季节指数(St)的计算：移动平均趋势剔除法第一步：计算中心化移动平均值第二步：计算季节比率。将各实际观测值除以相应的移动趋势值。第三步：计算季节指数。将季节比率按月(或季)重新排列，求得同月(或季)平均数，再将其除以总平均数，即得季节指数St第四十六页，共六十八页，编辑于2023年，星期六时间序列的分解方法2)长期趋势(Tt)的计算长期趋势的计算主要是根据分离季节变动后的序列进行曲线拟合，并计算各个季度(或月份)的长期趋势值。根据建立的趋势方程所做出的预测是不含季节变动的，如果考虑季节变动，则需将上面的预测值乘以季节指数即可。第四十七页，共六十八页，编辑于2023年，星期六时间序列的分解方法3)周期变动(Ct)的计算周期变动的计算主要采取剩余法，即从时间序列中依次消去趋势变动、季节变动和不规则变动，所剩结果即为周期变动。第一步：从原时间序列{Yt}中消去季节变动St。第二步：从序列{Yt/St}中消去长期趋势Tt。第三步：将序列{Ct×It}进行移动平均，消除不规则变动It，即得周期变动Ct第四十八页，共六十八页，编辑于2023年，星期六时间序列的分解方法4)不规则变动(It)的计算不规则变动的计算很简单，将原时间序列中的季节变动、长期趋势变动和周期变动分离后，剩下的就是不规则变动。Yt/(StTtCt)=It

由于不规则变动是不可预测的，因此，分解出不规则变动对于时间序列的预测没有多少价值。第四十九页，共六十八页，编辑于2023年，星期六

第五十页，共六十八页，编辑于2023年，星期六

第五十一页，共六十八页，编辑于2023年，星期六

第五十二页，共六十八页，编辑于2023年，星期六

第五十三页，共六十八页，编辑于2023年，星期六

第五十四页，共六十八页，编辑于2023年，星期六

第五十五页，共六十八页，编辑于2023年，星期六

第五十六页，共六十八页，编辑于2023年，星期六计算误差平均误差ME(meanerror)平均绝对误差MAD(meanabsolutedeviation)