2023学年完整公开课版几何变换法

东莞市初中数学慕课

——中考复习备考系列2016年12月东莞市初中数学慕课资源建设与应用课题组奔跑吧！东莞教育

第61节几何变换法东莞市初中数学中考复习备考系列一、内容解析

在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。初中数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。

几何变换就是几何图形在平面上满足某种条件的运动。运用几何变换可以把分散的点、线段、角等已知图形转移到恰当的位置，从而使分散的条件都集中在某个基本图形中，建立起新的联系，从而使问题得以解决。几何变换包括：（1）平移变换；（2）对称变换；（3）旋转变换.二、典型考点考点1：例1：平移变换法如图，已知正方形ABCD，点E是线段AD上的一点，过线段BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H.求证：BE=GH.【分析】GH可沿AB上下平移，当G平移至A时，能与AD边一起组成三角形，可转证三角形全等.P证明:在正方形ABCD中，过点G作GP∥AD交DC于点P,∴∠BED+∠QHD=180°=∠BED+∠BEA则四边形AGPD为矩形.∴GP=AD=AB∵GH是BE的垂线∴∠EOH=90°=∠D∴∠BEA=∠QHD又∵∠A=∠GPH=90°,GP=AB∴△BAE≌△GPH(AAS)∴BE=GHP△BAE≌△GPH(AAS)方法2：过点H作HP∥AD交AB于点P考点2：例2：如图，已知矩形ABCD和矩形AB’C’D’关于点A中心对称.求证：四边形BDB’D’是菱形.中心对称变换法∵矩形ABCD和AB’C’D’关于点A成中心对称图形.【分析】根据题意知点B与B’关于点A对称，点D和点D’关于点A对称，又四边形ABCD和AB’C’D’是矩形，由中心对称的性质及矩形的性质即可证明.证明:∴四边形BDB’D’是平行四边形.∴AD=AD’,AB=AD’（关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分）.又∵四边形ABCD是矩形∴∠DAB=90°∴四边形BDB’D’是菱形.例3：如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短．考点3：轴对称变换【分析】如图，将军走MP→PQ→QN路线，若作点M关于直线OA的对称点M’,作点N关于直线OB的对称点N’,则路线MP→PQ→QN等长于路线M’P→PQ→QN’,解：如图，若作点M关于直线OA的对称点M’,作点N关于直线OB的对称点N’,连结M’N’，交OA、OB于P、Q即可

即仅需使M’P、PQ、QN’在同一直线上即可.考点4：例4：旋转变换法如图，已知点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF=45°,

求证：EF=BE+DF.【分析】△ADF绕点A顺时针旋转90°可刚好与△ABE组合成为新的三角形。GEF=BE+DFEF=BE+BGEF=GE△AEG≌△AEF证明:旋转△ADF，使AD与AB重合，点F落在点G处.则BG=DF，AG=AF，∠BAG=∠DAF，所以点G、B、E在同一条直线上。∵∠EAF=45°∴∠DAF+∠BAE=∠BAG+∠BAE=45°即∠GAE=∠EAF=45°在△AEG和△AEF中,∵AG=AF,∠GAE=∠EAF，AE=AE∴△AEG≌△AEF∴EG=EF∴BE+DF=EF

∠ABG=∠D=∠ABC=90°；运用旋转的几何变换法，构建全等三角形模型三、内容小结主要方法：1.

平移变换法：把图形中的某一条线段或者一个角移动到一个新的位置，使图形中分散的条件集中在一起.2.旋转变换法：把平面图形绕旋转中心,旋转一个定角，使分散的条件集中在一起.3.对称变换法：通过作关于某一直线或一点的对称图，把图形对称