求函数值域方法及习题

-.z.求函数值域的方法〔1〕直接法：从自变量*的*围出发，推出y=f(*)的取值*围；一次函数y=a*+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数EMBEDEquation.3的定义域为{*|*EMBEDEquation.30}，值域为{y|yEMBEDEquation.30}；二次函数EMBEDEquation.3的定义域为R，当a>0时，值域为{EMBEDEquation.3}；当a<0时，值域为{EMBEDEquation.3}〔2〕配方法：如果y=f(*)是二次函数或是可以化为二次函数的函数，则可以用配方法求值域.【例1】求以下函数的值域：〔1〕y=*2-4*+5；〔2〕y=*2-4*+5，*∈[1,4]；(3)y=*2+2*+4,*∈[0,+∞EMBEDMs*ml2.SA**MLReader.5.0〔4〕y=-*4+2*2+3；〔5〕y=；(6)y=4*+2*+1〔7〕y=；〔8〕y=sin2*-sin*+〔3〕根本不等式法：利用平均不等式求值域转化成型如：EMBEDEquation.3，用公式来求值域；【例2】求以下函数的值域：〔1〕y=,〔*>0〕；〔2〕y=4,〔*≠0〕；〔3〕y=,〔0＜*≤2；〔4〕y=*(6-*)；〔5〕y=,〔4〕不等式性质法【例3】求以下函数的值域：〔1〕y=；〔2〕y=；〔3〕y=〔4〕y=10-；〔2〕y=；〔3〕y=〔5〕逆求法〔反求法〕：通过反解，用EMBEDEquation.3来表示EMBEDEquation.3，再由EMBEDEquation.3的取值*围，通过解不等式，得出EMBEDEquation.3的取值*围；常用来解，型如：EMBEDEquation.3或将求函数的值域转化为求它的反函数的值域.【例4】求以下函数的值域：〔1〕y=；〔2〕y=；〔3〕y=；〔法一〕反函数法：〔法二〕别离变量法：〔6〕函数单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域.【例5】求以下函数的值域：〔1〕y=*3+arcsin*；〔2〕y=(正常数a≠1,*≥1)；〔3〕y=；〔4〕y=〔7〕换元法〔代数换元法〕：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；【例6】〔1〕；〔2〕【解】〔1〕设，则，∴原函数可化为，∴，∴原函数值域为．说明：总结型值域，变形：或〔2〕三角换元法：∵，∴设，则∵，∴，∴，∴，∴原函数的值域为．〔8〕几何法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域；图像法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域【例7】〔1〕，求函数u=3*+4y的值域；〔2〕〔3〕对于圆*2+(y-1)2=1上任一点P〔*，y〕，不等式*+y+m≥0恒成立，**数m的取值*围；〔4〕求函数的值域.解：〔2〕问题转化为直线y=k*与圆(*-2)2+y2=1有公共点时，斜率的取值*围问题。现在只要求出k的最大和最小值即可。〔3〕，〔4〕数形结合法：，∴，∴函数值域为．〔9〕最值法：【例7】求以下函数的值域：拓展【例1】求函数f(*)=的值域：【例2】求函数f(*)=的值域是[-1，9]，**数a、b值.Ⅲ.小结1．熟练掌握求函数值域的几种方法，并能灵活选用；2．求值域时要务必注意定义域的制约；3．含字母参数或参数区间的一类值域问题要进展合理分类讨论；4．用不等式求值域时要注意"=〞的成立条件。5．对于二次函数EMBEDEquation.3,⑴假设定义域为R时，①当a>0时，则当EMBEDEquation.3时，其最小值EMBEDEquation.3；②当a<0时，则当EMBEDEquation.3时，其最大值EMBEDEquation.3⑵假设定义域为*EMBEDEquation.3[a,b],则应首先判定其顶点横坐标*0是否属于区间[a,b]①假设EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3[a,b],则EMBEDEquation.3是函数的最小值〔a>0〕时或最大值〔a<0〕时，再比拟EMBEDEquation.3的大小决定函数的最大〔小〕值②假设EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3[a,b],则[a,b]是在EMBEDEquation.3的单调区间内，只需比拟EMBEDEquation.3的大小即可决定函数的最大〔小〕值(3)假设给定区间不是闭区间，则可能得不到最大〔小〕值；(4)当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进展讨论Ⅳ.稳固练习夯实根底【题组一】1．函数y=的值域是；3．函数y=的值域是；4．函数y=+1的值域是；5．函数y=的值域是；6．函数y=的值域是7．：点P〔*，y〕是圆*2+y2=9上的动点。求*+y的最大值。8．函数的值域是9．函数的值域为．10假设函数在上的最大值与最小值之差为2，则．11．求函数y=|*+1|+|*-2|的值域〔11.解法1：将函数化为分段函数形式：EMBEDEquation.3，画出它的图象，由图象可知，函数的值域是{y|yEMBEDEquation.33}解法2：〔几何法或图象法〕∵函数y=|*+1|+|*-2|表示数轴上的动点*到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+EMBEDEquation.3]如图〕12．求函数EMBEDEquation.3的值域解：(换元法)设EMBEDEquation.3则tEMBEDEquation.30*=1EMBEDEquation.3代入得EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3∵tEMBEDEquation.30∴yEMBEDEquation.3413．*宾馆有一样标准的床位100*根据经历，当该宾馆每*床的床价不超过10元时，床位可以全部租出；当床价高于10元时，每提高一元，将有3*床位空闲为了获得较好的效益，该宾馆要给床位定一个适宜的价格，条件是①为方便结算，床位应为1元的整数倍；②该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租收入必须高于支出，而且高出得越多越好，假设用*表示床价，用y表示该宾馆一天出租床位的净收入〔即除去每日的支出费用后的收入〕，(1)把y表示为*的函数，并求出定义域；(2)试确定该宾馆床价定为多少时，既符合上述条件，又能使净收入最多？2．(1)=(2)当*10时，y425;当*>10,则当*=22时，y有最大值约833元【题组二】1．假设函数y=*23*4的定义域为[0,m],值域为[25/4,4],则m的取值*围是[3/2,3]3．求以下函数的值域(1)y=(1*2)/(1+*2);(2)y=(12sin*)/(1+sin*)(1)(0,1);(2)[1/2,+]4．1/2t1,则2/t–t的最大值是7/2(单调性求最值)5．函数y=–*2–2a*(0*1)的最大值是a2,则实数a的取值*围是–1a0(配方法求二次函数的最值)6．在区间[1/2,2]上函数f(*)=*2+p*+q与g(*)=2*+1/*2在同一点取得一样的最小值，则f(*)在区间[1/2,2]上的最大值是4，平均值不等式求最值7．函数在上的最大值与最小值的和为，则28．函数，，构造函数，定义如下：当时，，当时，，则〔B〕有最小值，无最大值有最小值，无最大值有最大值，无最小值无最小值，也无最大值9.函数EMBEDEquation.3(D)(A)(-EMBEDEquation.3(B)((C)(-1,+EMBEDEquation.3(D)(-10.函数EMBEDEquation.3的值域是〔D〕A．EMBEDEquation.3(B)EMBEDEquation.3(C)EMBEDEquation.3(D)EMBEDEquation.311.函数的值域为。12.EMBEDEquation.3的值域是______________.13．函数EMBEDEquation.3的最大值是〔D〕 A．EMBEDEquation.3 B．EMBEDEquation.3 C．EMBEDEquation.3 D．EMBEDEquation.314．函数EMBEDEquation.3的值域为〔B〕A．〔B．C．EMBEDEquation.3D．EMBEDEquation.315．函数EMBEDEquation.3在EMBEDEquation.3上的值域是_______________[0,16.以下函数中，值域是〔0，+∞〕的函数是〔D〕A．EMBEDEquation.3B．EMBEDEquation.3C．EMBEDEquation.3D．EMBEDEquation.317.函数EMBEDEquation.3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值*围是〔D〕A、[1，+∞]