2022-2023学年苏教版高一数学新教材同步讲义5.3 函数的单调性

文档来源网络侵权删除5.3函数的单调性【知识点梳理】知识点一、函数的单调性1、增函数、减函数的概念一般地，设函数的定义域为，区间如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．知识点诠释：（1）属于定义域内某个区间上；（2）任意两个自变量且；（3）都有；（4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．上升趋势下降趋势2、单调性与单调区间（1）单调区间的定义如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．函数的单调性是函数在某个区间上的性质．知识点诠释：①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；③不能随意合并两个单调区间，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；④有的函数不具有单调性；⑤遵循最简原则，单调区间应尽可能大．3、证明函数单调性的步骤（1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；（2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；（3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系；（4）得出结论．4、函数单调性的判断方法（1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．（2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．（3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（4）记住几条常用的结论①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．5、单调性定义的等价形式（1）函数在区间上是增函数：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．（2）函数在区间上是减函数：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．6、复合函数单调性的判断讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：（1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；（2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下：增增增增减减减增减减减增复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作：（1）将复合函数分解成基本初等函数：，；（2）分别确定各个函数的定义域；（3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间．若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数．知识点诠释：（1）单调区间必须在定义域内；（2）要确定内层函数的值域，否则就无法确定的单调性．（3）若，且在定义域上是增函数，则都是增函数．7、利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：（1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值．（2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值．（3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是．（4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是．8、利用函数单调性求参数的范围若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解．（1）在上恒成立在上的最大值．（2）在上恒成立在上的最小值．实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题．知识点二、基本初等函数的单调性1、正比例函数当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数．2、一次函数当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数．3、反比例函数当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间；当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间．4、二次函数若，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数；若，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数．知识点三、函数的最大（小）值1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作．2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作．3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个．【题型归纳目录】题型一：单调性的概念题型二：函数的单调性的证明题型三：求函数的单调区间题型四：利用函数单调性求参数的取值范围题型五：利用函数单调性的性质解不等式题型六：利用函数单调性的性质比较函数值的大小关系题型七：求函数的最值题型八：抽象函数单调性的证明题型九：二次函数在闭区间上的最值问题题型十：恒成立与能成立问题【典型例题】题型一：单调性的概念例1．（2022·全国·高一课时练习）已知定义在（0，）上的函数满足：对任意正数a､b，都有，且当时，，则下列结论正确的是（

）A．是增函数，且 B．是増函数，且C．是减函数，且 D．是减函数，且【方法技巧与总结】单调性定义的等价形式（1）函数在区间上是增函数：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．（2）函数在区间上是减函数：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．例2．（2022·全国·高一课时练习）若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，则必有（

）A．f(x)在R上是增函数 B．f(x)在R上是减函数C．函数f(x)先增后减 D．函数f(x)先减后增例3．（2022·山东济宁·高一期中）设函数的定义域为，已知为上的减函数，，，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件变式1．（2022·全国·高一课时练习）下列有关函数单调性的说法，不正确的是（

）A．若为增函数，为增函数，则为增函数B．若为减函数，为减函数，则为减函数C．若为增函数，为减函数，则为增函数D．若为减函数，为增函数，则为减函数变式2．（2022·全国·高一专题练习）如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是（

）A．>0B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0C．若x1<x2，则f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)D．>0变式3．（2022·全国·高一课时练习）若函数在上是增函数，对于任意的，（），则下列结论不正确的是（

）A． B．C． D．题型二：函数的单调性的证明例4．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，．(1)证明：函数在上单调递增；(2)设，若的定义域和值域都是，求的最大值．【方法技巧与总结】（1）证明函数单调性要求使用定义；（2）如何比较两个量的大小？（作差）（3）如何判断一个式子的符号？（对差适当变形）例5．（2022·山东·梁山县第一中学高一阶段练习）已知函数.(1)用单调性定义证明函数在上为减函数；(2)求函数在上的最大值.例6．（2022·云南师大附中高一期中）已知函数的定义域为.(1)根据单调性的定义，证明在上是增函数；(2)若函数是上的减函数，且不等式在上恒成立，求实数的取值范围.变式4．（2022·广东·惠州市惠阳区第一中学高中部高一阶段练习）已知函数，.(1)判断并证明在上的单调性；(2)解不等式.变式5．（2022·福建·厦门双十中学高一阶段练习）已知函数满足.(1)求函数的解析式；(2)判断并证明函数在上的单调性.变式6．（2022·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）已知函数满足，且.(1)求和函数的解析式；(2)用定义法证明在其定义域的单调性.变式7．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，判断并证明在区间上的单调性．题型三：求函数的单调区间例7．（2022·云南·昆明一中高一期中）函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】（1）数形结合利用图象判断函数单调区间；（2）关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关．（3）复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决．关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数．例8．（2022·全国·高一课时练习）函数的单调递增区间是（

）A． B．C． D．例9．（2022·全国·高一单元测试）定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（

）A． B． C． D．变式8．（2022·湖南师大附中高一阶段练习）函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．变式9．（2022·广东·惠州市惠阳区第一中学高中部高一阶段练习）已知函数在R上单调递减，则函数的增区间为（

）A． B． C． D．变式10．（2022·全国·高一专题练习）函数的单调递增区间是（

）A． B．和C．和 D．和题型四：利用函数单调性求参数的取值范围例10．（2022·海南·琼山中学高一阶段练习）已知在上单调，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】（1）解答分类问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及讨论对象的范围；其次要确定分类标准，即标准统一、不重不漏；再对所分类逐步进行讨论，分级进行；最后进行归纳小结，综合得出结论．（2）分离参数法，即把分离出来放到不等式的左边，不等式的右边是关于的函数，然后转化成求函数的最值问题．例11．（2022·江苏省新海高级中学高一期中）若二次函数在区间为增函数，则的取值范围为（

）A． B．C． D．例12．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一阶段练习）已知函数在区间上是减函数，则整数a的取值可以为（

）A． B． C．0 D．1变式11．（2022·江西省乐平中学高一阶段练习）函数，在上，随着的增大而减小，则实数范围为（

）A． B．C． D．变式12．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学高一阶段练习）已知正比例函数，若随增大而增大，则的取值范围是（）A． B． C． D．变式13．（2022·福建省厦门第二中学高一阶段练习）已知函数在区间上是单调函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．变式14．（2022·湖北武汉·高一期中）函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．变式15．（2022·全国·高一课时练习）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．变式16．（2022·山西太原·高一阶段练习）函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（

）A．(－∞，1] B．(1，5) C．[1，5) D．[1，4]变式17．（2022·全国·高一）已知在为单调函数，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．变式18．（2022·广西·南宁市东盟中学高一期中）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．题型五：利用函数单调性的性质解不等式例13．（2022·江苏·高一）已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有，不等式的解集为

（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】求字母取值范围的题目，最终一定要变形成的形式，再依据函数的单调性把符号脱掉得到关于字母的不等式再求解．例14．（2022·全国·高一课时练习）定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．例15．（2022·甘肃庆阳·高一期末）若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．变式19．（2022·全国·高一课时练习）已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（

）A．（0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2）变式20．（2022·全国·高一单元测试）已知定义在上的函数满足：对任意的，，，都有，，则满足不等式的x的解集是（

）A． B． C． D．变式21．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．变式22．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，若则实数的取值范围是____．题型六：利用函数单调性的性质比较函数值的大小关系例16．（2022·全国·高一课时练习）已知对定义域内的任意实数，且，恒成立，设，，，则（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】利用函数的单调性进行比较，数形结合．例17．（2022·福建省厦门第六中学高一阶段练习）若函数在上是增函数，则与的大小关系是（

）A． B． C． D．例18．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一阶段练习）已知，且在上是增函数，则，，的大小顺序是（

）A． B．C． D．变式23．（2022·江苏·高一单元测试）若函数在上是增函数，则与的大小关系是（

）A． B． C． D．变式24．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为R，满足，且当时，恒成立，设，，（其中），则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．变式25．（2022·全国·高一单元测试）函数在上是减函数，且为实数，则有（

）A． B．C． D．变式26．（2022·全国·高一单元测试）定义域为R的函数满足:对任意的，有，则有（

）A． B．C． D．题型七：求函数的最值例19．（2022·全国·高一课时练习）函数在区间上的最大值为（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】（1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值．（2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值．（3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是．（4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是．例20．（2022·湖南·高一课时练习）检验下列函数的增减性，并说明是否有最大最小值．如果有，指出最大最小值和最大最小值点．(1)；(2)；(3)；(4)．例21．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）已知函数满足下列3个条件：①函数的图象关于原点对称；②函数在上单调递减；③函数过定点．(1)请猜测出一个满足题意的函数，并写出其解析式；(2)求（1）中所猜函数在上的最大值．变式27．（2022·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）已知函数，且，，则函数的值域是______.变式28．（2022·浙江·金华市云富高级中学高一阶段练习）函数y=+的最大值为__________.变式29．（2022·全国·高一课时练习）若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为（

）A．2 B．2或 C．3 D．3或变式30．（2022·全国·高一专题练习）设，若函数，当时，的范围为，则的值为（

）A． B． C． D．变式31．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，(1)证明：在上单调递减，并求出其最大值与最小值：(2)若在上的最大值为，且，求的最小值.变式32．（2022·江苏·高一单元测试）若函数的值域是，则函数的值域是（

）A． B． C． D．题型八：抽象函数单调性的证明例22．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，对任意正实数、都有，且当时，．求证：函数是上的增函数．【方法技巧与总结】研究抽象函数的单调性是依据定义和题设来进行论证的．一般地，在高中数学中，主要有两种类型的抽象函数，一是“”型[即给出所具有的性质，如本例，二是“”型．对于型的函数，只需构造，再利用题设条件将它用与表示出来，然后利用题设条件确定的范围，从而确定与的大小关系；对型的函数，则只需构造即可．例23．（2022·全国·高一期中）已知函数的定义域为，且，，当且时恒成立．(1)判断在上的单调性；(2)解不等式；(3)若对于所有，恒成立，求的取值范围．例24．（2022·湖北黄冈·高一期中）定义在上的函数满足下面三个条件：①对任意正数a，b，都有；②当x>1时，<0；③＝－1(1)求和的值；(2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数；(3)求满足的t的取值范围.变式33．（2022·安徽宿州·高一期中）已知函数对任意，总有，且对，都有.(1)判断并用定义证明函数的单调性；(2)解关于的不等式.变式34．（2022·四川巴中·高一期中）设函数对于任意，都有，且时，.(1)判断的单调性，并用定义法证明；(2)解不等式.变式35．（2022·安徽·池州市第一中学高一阶段练习）定义在上的函数对任意、都有，且对任意，恒有.(1)判断单调性，并证明；(2)已知，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.变式36．（2022·黑龙江·鸡西市第一中学校高一期中）定义在R上的函数，满足对任意的实数，总有，若时，且.(1)求的值；(2)求证在定义域R上单调递减；(3)若时，求实数的取值范围.变式37．（2022·天津·静海一中高一阶段练习）已知函数的定义域为，对任意的实数均有，而且当时，有(1)用定义证明的单调性；(2)解不等式(3)若对任意，使得成立，求实数的取值范围．变式38．（2022·全国·高一专题练习）定义在R上的函数满足：对任意实数m，n总有，且当时，.(1)试求的值；(2)判断的单调性并证明你的结论．题型九：二次函数在闭区间上的最值问题例25．（2022·全国·高一课时练习）已知二次函数满足，且(1)求的解析式.(2)求在，的最小值，并写出的函数的表达式.【方法技巧与总结】二次函数在闭区间上的最值问题由它的单调性来确定，而它的单调性又由二次函数的开口方向和对称轴的位置（在区间上，还是在区间左边，还是在区间右边）来确定，当开口方向和对称轴的位置不确定时，则需要进行分类讨论．例26．（2022·内蒙古·乌兰浩特一中高一期中）1.已知二次函数满足，且的最大值为．(1)求函数的解析式；(2)设，求在区间上的最大值．例27．（2022·吉林油田高级中学高一期中）已知是二次函数，且满足，，．(1)求函数的解析式，并证明在上单调递增；(2)设函数，，，求函数的最小值．变式39．（2022·福建·厦门一中高一阶段练习）已知二次函数对一切实数，都有成立，且，，.（1）求的解析式；（2）记函数在上的最大值为，最小值为，若，当时，求的最大值.题型十：恒成立与能成立问题例28．（2022·河北·沧州市一中高一阶段练习）已知函数(1)解关于x的不等式；(2)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数m的取值范围.【方法技巧与总结】1、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.2、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，，，.（1）若，，有成立，则；（2）若，，有成立，则；（3）若，，有成立，则；（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.例29．（2022·福建省福州教育学院附属中学高一阶段练习）已知一次函数满足，，(1)求解析式：(2)若函数，若恒成立，求实数的取值范围.例30．（2022·辽宁·铁岭市清河高级中学高一阶段练习）已知，其中为常数．(1)若的解集为或，求的值；(2)使，求实数的取值范围．变式40．（2022·河南·高一阶段练习）已知二次函数的图象与轴交于，两点，顶点为，在中，边上的高为，且．(1)求的值；(2)若对任意，总存在，使不等式成立，求的取值范围．变式41．（2022·山西·晋城市第一中学校高一阶段练习）已知函数，(1)判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明；(2)若对任意的时，恒成立，求实数的取值范围.变式42．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一阶段练习）已知定义域为R的函数满足.(1)求函数的解析式；(2)若对任意的，都有恒成立，求实数x的取值范围；(3)若使得，求实数a的取值范围.变式43．（2022·北京·高一阶段练习）设函数，已知不等式的解集为或.(1)求和的值；(2)若对任意恒成立，求的取值范围.变式44．（2022·四川·树德中学高一阶段练习）已知函数.(1)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围；(2)若对任意的，恒成立，求x的取值范围.变式45．（2022·江苏·南京师大附中高一阶段练习）设k为实数，已知关于x的函数(1)若对于∀x∈R，都有y≤0恒成立，求k的取值范围；(2)若对于∀m≥1，∃x∈[1，4]，满足y≤m成立，求k的取值范围．【同步练习】一、单选题1．（2022·云南·昆明一中高一期中）已知函数是R上的减函数，则实数a的取值范围可以是（

）A． B． C． D．2．（2022·安徽淮南·高一阶段练习）已知是定义在上的减函数，且对，，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．3．（2022·河南·通许县启智高中高一阶段练习）函数在区间上的最大值、最小值分别是（

）A．， B．，1 C．， D．1，4．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）下列函数的最小值为2的是（

）A． B．C． D．5．（2022·山西太原·高一阶段练习）给出下列命题，其中错误的命题有（

）个①若函数的定义域为，则函数的定义域为；②函数，则③已知函数是定义域上减函数，若，则；④函数在定义域内是减函数A．1 B．2 C．3 D．46．（2022·宁夏·吴忠中学高一阶段练习）已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（2022·四川·重庆第二外国语学校高一期中）给定函数，，．用表示，中的较小者，记为，则的最大