《二次函数与一元二次方程的关系》

xyo二次函数与一元二次方程的关系1一元二次方程-5t2+40t=0的根为：

.2一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△

=.当△﹥0方程根的情况是：

；当△=0时，方程

；当△﹤0时，方程

.b2-4ac有两个不等实数根有两个相等实数根没有实数根t1=0，t2=83二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)图像是一条

，它与x轴的交点有几种可能的情况？抛物线三种可能：①两个交点②一个交点③没有交点.复习提问判别式Δ＝b2-4acy=ax2+bx+c(a≠0)ax2+bx+c=0(a≠0)图像分布a＞0a＜0图象与x轴有两个不同的交点(x1，0)(x2，0)，且x1，2=方程有两个不相等的实数根x1，x2，且x1，2=图象与x轴有唯一交点(x1，0)，且方程有两个相等的实数根x1，x2，且图象与x轴无交点方程无实数根Δ＜0Δ＝0Δ＞0

一般地，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值为0时自变量x的值，也就是函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标.解：如图30-5-2，画出二次函数y=x2-2x-6的图像．观察画出的抛物线，设它与x轴的交点的横坐标为x1和x2，不妨设x1<x2.现在来求x1的近似值．（1）容易看出：当x=-2时，y＞0；当x=-1时，y<0，且在-2<x<-1范围内，y随x的增大而减小，所以-2<x1<-1.例

求方程x2-2x-6=0较小根的近似值.（结果精确到0.1)（2）取-2和-1的中间数-1.5（中间数为

），代入表达式中试值．当x＝-1.5时，y＝（-1.5）2-2×（-1.5）-6=-0.75<0;当x=-2时，y>0．在-2<x<-1.5范围内，y随x的增大而减小，所以-2<x1<-1.5.（3）取-2和-1.5的中间数-1.75，代入表达式中试值．当x=-1.75时，y=（-1.75)2-2×（-1.75）-6=0.5625>0；当x=-1.5时，y<0．在-1.75<x＜-1.5范围内，y随x的增大而减小，所以-1.75<x1<-1.5.（4）取-1.75和-1.5的中间数-1.625，代入表达式中试值．当x=-1.625时，y=（-1.625）2-2×（-1.625）-6=-0.109375<0；当x=-1.75时，y>0．在-1.75<x<-1.625范围内，y随x的增大而减小，所以-1.75<x1＜-1.625.x1≈-1.7即为精确到0.1的近似值．

抛物线y=x2-4x+4与轴有

个交点，坐标是

.

若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是

.

抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是（）A两个交点B一个交点C没有交点D画出图象后才能说明（-2，0）和（3，0）C一（2，0）

不画图象，求抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标.解：∵解方程x2-3x-4=0得：

x1=-1，x2=4∴抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标是：(-1，0)和(4，0)基础过关

1.已知二次函数的图像与x轴有两个不同的交点.（1）求k的取值范围（2）当k为何值时，这两个交点横坐标的平方和等于50.

能力提升已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c（a≠0)与一次函数y2＝kx＋m(k≠0)的图象相交于点A(-2，4)，B(8，2)（如图所示），则能使y1＞y2成立的x的取值范围是＿＿＿＿＿xyOy2y1ABx＜－2或x＞8-28能力提升要点小结

一般地，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值为0时自变量x的值，也就是函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标.

可由一元二次方程的根的判别式来判定二次函数图象与x轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题.

在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函数图象解方程.你能利用二次函数的图象估计一元二次方程

的两根吗？其基本步骤是什么？解：1、画出函数的图象.2、由图象可知方程有两个根，一个根在－5和－4之间，一个在2和3之间.3、探求其解的十分位.x-4.1-4.2-4.3-4.4y-1.39-0.76-0.110.56x2.12.22.32.4y-1.39-0.76-0.110.56∴方程的两个近似根为x1≈－4.3，x2≈2.3.基本步骤：1.画出函数的图象2.由图象找出抛物线与x轴交点分别在哪两个相邻整数之间.3.利用步步进逼法计算器探索其解的十分位数字，从而确定方程的近似根.利用二次函数的图象求一元二次方程－2x2+4x+1=0的近似根.利用函数图象求一元二次方程

的根.下面的解法对吗？构造函数：和画出这两个函数的图象如图所示，并设这两个函数的图象的交点分别为Ａ和Ｂ.点Ａ、Ｂ两点的横坐标和就是方程的根.OyxAB基础练习：四、小结1、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是A（x1，0），B（x2，0）2、若一元二次方程ax2+bx+c=0与二次三项式ax2+bx+c及二次函数y=