2022-2023学年苏教版高一数学新教材同步讲义6.1 幂函数 解析

文档来源网络侵权删除6.1幂函数【知识点梳理】知识点一、幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数．知识点诠释：幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数．知识点二、幂函数的图象及性质1、作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．知识点诠释：幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．2、作幂函数图象的步骤如下：（1）先作出第一象限内的图象；（2）若幂函数的定义域为或，作图已完成；若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象；如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象．3、幂函数解析式的确定（1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．（2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．（3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即．4、幂函数值大小的比较（1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．（2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．（3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．【题型归纳目录】题型一：幂函数的概念题型二：求函数解析式题型三：定义域问题题型四：值域问题题型五：幂函数的图象题型六：定点问题题型七：利用幂函数的单调性求解不等式问题题型八：比较大小题型九：幂函数性质的综合运用【典型例题】题型一：幂函数的概念例1．（2022·全国·高一课时练习）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个故选：B【方法技巧与总结】幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例2．（多选题）（2022·湖南·嘉禾县第一中学高一阶段练习）下列函数为幂函数的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】由幂函数的定义知，函数，为幂函数.故选：BD.例3．（2022·全国·高一课时练习）在函数①，②，③，④，，⑥中，是幂函数的是（

）A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥【答案】C【解析】幂函数是形如（，为常数）的函数，①是的情形，②是的情形，⑥是的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中的系数是2，所以不是幂函数；④是常函数，不是幂函数.故选：C.变式1．（2022·全国·高一课时练习）下列函数是幂函数的是（

）A．； B．； C．； D．.【答案】C【解析】A.是一次函数；B.是常函数；C.是幂函数；D.是指数函数.故选：C题型二：求函数解析式例4．（2022·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）已知幂函数y=f（x）的图象经过点（4，2），那么这个幂函数的解析式为___________．【答案】【解析】设幂函数，∵幂函数的图象经过点，∴，∴，∴这个幂函数的解析式为．故答案为：．【方法技巧与总结】幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1．例5．（2022·广东·珠海市田家炳中学高一期中）已知幂函数的图像过点，函数的解析式为_________.【答案】【解析】因为幂函数的图像过点，∴，解得；∴函数的解析式为.故答案为：.例6．（2022·全国·高一专题练习）若幂函数的图象经过点，则________．【答案】【解析】由题意可得，解得.故答案为：.变式2．（2022·全国·高一专题练习）若为幂函数，且在上单调递减，则的解析式可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为幂函数的图象都经过点，显然选项A，B都不满足，即A，B都不是幂函数；而函数是幂函数，但在上单调递增，C不符合要求；是幂函数，且在上单调递减，D满足.故选：D变式3．（2022·江苏省新海高级中学高一期中）已知幂函数的图象过点，则的值是（

）A．-3 B． C． D．3【答案】D【解析】因为幂函数的图象经过点，所以，解得，则，所以故选：D.变式4．（2022·全国·高一课时练习）若幂函数的图象经过点，则函数的解析式是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为幂函数的图象经过点，所以，解得，所以．故选：A变式5．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数在上单调递增，则的解析式是_____.【答案】【解析】是幂函数，，解得或，若，则，在上不单调递减，不满足条件；若，则，在上单调递增，满足条件；即.故答案为：变式6．（2022·湖北黄石·高一期末）幂函数在区间上单调递减，则实数m的值为______．【答案】【解析】因函数是幂函数，则，解得m=1或m=-3，又函数在上单调递减，则，所以实数m的值为-3.故答案为：-3变式7．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，则___________．【答案】4【解析】由于是幂函数，所以，解得或.当时，，图象关于轴对称，符合题意.当时，，图象关于原点对称，不符合题意.所以的值为，∴.，.故答案为：4.变式8．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数在上单调递减，则（

）A．2 B．16 C． D．【答案】D【解析】由题意得，解得，所以，故,故选：D变式9．（2022·上海市控江中学高一期中）已知为常数，函数为幂函数，则的值为______;【答案】或1【解析】因为函数为幂函数，则，即，解得或.故答案为：或1.变式10．（2022·全国·高一课时练习）幂函数在上单调递减，则的值为______．【答案】2【解析】因为函数是幂函数，则有，解得或，当时，函数在上单调递增，不符合题意，当时，函数在上单调递减，符合题意.所以的值为故答案为：题型三：定义域问题例7．（2022·全国·高一专题练习）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知解得，所以f(x)的定义域为．故选：B．【方法技巧与总结】使表达式有意义．例8．（2022·上海市杨浦高级中学高一期中）幂函数的定义域为______;【答案】【解析】由根式的性质知：，所以函数定义域为.故答案为：例9．（2022·河南·濮阳一高高一阶段练习）已知幂函数的图象过点，则的定义域为______．【答案】【解析】∵的图象过点，∴，，应该满足：，即，∴的定义域为．故答案为：变式11．（2022·上海·高一单元测试）若有意义，则实数的取值范围是________【答案】【解析】若有意义，则，解得所以实数的取值范围是，故答案为：变式12．（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，则有，解得且，因此的定义域是．故选：B.题型四：值域问题例10．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图象过点(9,3)，则函数在区间［1,9]上的值域为（

）A．［－1,0] B． C．［0,2] D．【答案】B【解析】解法一：因为幂函数的图象过点，所以，可得，所以，．因为，所以，故．因此，函数在区间[1,9]上的值域为．故选：B．解法二：因为幂函数的图象过点，所以，可得，所以．因为，所以．因为，所以，所以，解得，即函数在区间[1,9]上的值域为．故选：B．【方法技巧与总结】利用单调性求解．例11．（2022·上海师大附中高一期末）已知函数为幂函数，且为奇函数.(1)求的值，并确定的解析式；(2)令，求在的值域.【解析】(1)因为函数为幂函数，所以，解得或，当时，函数是奇函数，符合题意，当时，函数是偶函数，不符合题意，综上所述，的值为，函数的解析式为.(2)由（1）知，，所以，令，则，，所以，，根据二次函数的性质知，的对称轴为，开口向上，所以在上单调递增；所以，所以函数在的值域为.例12．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数在区间上是减函数．(1)求函数的解析式；(2)讨论函数的奇偶性和单调性；(3)求函数的值域．【解析】（1）依题意，即，解得，因为，所以或或，所以或或（2）若定义域为，则为奇函数，且在和上单调递减；若定义域为，则为偶函数，且在上单调递增，在上单调递减；若定义域为，则为奇函数，且在和上单调递减；（3）若，则为奇函数，当时，所以时，所以函数的值域为；若，则为偶函数，当时，所以时，所以函数的值域为；若，则为奇函数，当时，所以时，所以函数的值域为；变式13．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）已知函数．(1)求的解析式；(2)若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围．【解析】（1）令，则，则，故．（2）由（1）可得．因为函数和函数均在上单调递增，所以在上单调递增．故．对任意，，不等式恒成立，即对任意，不等式恒成立，则解得或．故的取值范围是．变式14．（2022·全国·高一专题练习）（1）使用五点作图法，在图中画出的图象，并注明定义域．（2）求函数的值域．【解析】（1）由于，则，，，所以过点，故的图象，如图所示，函数的定义域为；（2）由题可知，设，则，当时取等号，故的值域为．变式15．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的．（1）求实数k的值；（2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值．【解析】（1）为幂函数，∴，解得或，又在区间内的函数图象是上升的，，∴k＝2；（2）∵存在实数a，b使得函数在区间上的值域为，且，∴，即，，∴a＝0，b＝1．变式16．（2022·全国·高一专题练习）函数，其中，则其值域为___________.【答案】【解析】设，则.因为，所以.当时，.所以函数的值域为.故答案为：变式17．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】由函数单调递增，①当时，若，有，而，此时函数的值域不是；②当时，若，有，而，若函数的值域为，必有，可得．则实数的取值范围为．故答案为：变式18．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函数在上单调递减，其函数值集合为，当时，的取值集合为，的值域，不符合题意，当时，函数在上单调递减，其函数值集合为，因函数的值域为，则有，解得，所以实数的取值范围为.故选：D题型五：幂函数的图象例13．（2022·全国·高一课时练习）函数的图像可能是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意知，函数，则满足，解得，故函数的定义域为，又，结合幂函数的性质，可得选项C符合题意．故选：C【方法技巧与总结】先根据幂函数在第一象限内的图象特征，确定幂指数的取值区间；再根据图象在轴左侧有无图象确定函数的定义域，进而确定中分母“”的奇偶性；当图象在轴左侧有图象时，再研究其图象关于轴（或原点）的对称性，从而确定函数的奇偶性，进而确定幂指数中分子“”的奇偶性．类似地，可作出幂函数的图象，即先作出第一象限的图象，再研究定义域在轴左侧有无图象，有图象时，再利用奇偶性作出图象即可．例14．（2022·江西省丰城中学高一期中）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】设幂函数为，因为该幂函数得图象经过点，所以，即，解得，即函数为，则函数的定义域为，所以排除CD，因为，所以在上为减函数，所以排除B，故选：A例15．（2022·全国·高一专题练习）函数和的图象如图所示，有下列四个说法：①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果时，那么.其中正确的是（

）.A．①④ B．① C．①② D．①③④【答案】A【解析】当三个函数的图象依和次序呈上下关系时，可得，所以，若，可得，所以①正确；当三个函数的图象依，和次序呈上下关系时，或，所以，若，可得，所以②错误；由于当三个函数的图象没有出现和次序的上下关系，所以③错误；当三个函数的图象依和次序呈上下关系时，，所以，若时，可得，所以④正确.故选；A．变式19．（2022·全国·高一专题练习）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，排除B、D，根据对应幂函数的性质，第一象限增速逐渐变慢，排除C.故选：A.变式20．（2022·全国·高一专题练习）如图是幂函数的部分图象，已知取，2，，这四个值，则与曲线，，，相应的依次为（

）A．2，，， B．，，，2C．，2，， D．2，，，【答案】A【解析】因为在直线右侧，指数越大，幂函数的图象越靠上，所以曲线，，，相应的依次为2，，，.故选：A.变式21．（2022·全国·高一专题练习）反比例函数f（x）图象，如图，则（

）A．常数k＜﹣1B．函数f（x）在定义域范围内，y随x的增大而减小C．若点A（﹣1，m），B（2，n）在f（x）上，则m＜nD．函数f（x）图象对称轴的直线方程y＝x【答案】C【解析】根据反比例函数的图象在一、三象限知，，A错误；函数在和上是单调减函数，B错误；当点，在上时，，，C正确；函数图象对称轴的直线方程为，D错误.故选：C.变式22．（2022·全国·高一专题练习）函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】幂函数定义域为R，选项C不满足；，有，即是偶函数，选项B不满足；因，则函数在第一象限单调递增，且增长趋势越来越快，选项A不满足，显然选项D满足幂函数的上述特点，即大致图象是D.故选：D变式23．（2022·浙江·温州中学高一期中）对，记，函数的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】和都是偶函数，当时，在上单调递增，在上单调递减，当时，在同一平面直角坐标系中作出和的图象，如图：表示与的较大者，所以图象是两个图象较高的，故选：A.变式24．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数（p，q∈Z且p，q互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（

）A．p，q均为奇数，且B．q为偶数，p为奇数，且C．q为奇数，p为偶数，且D．q为奇数，p为偶数，且【答案】D【解析】因函数的图象关于y轴对称，于是得函数为偶函数，即p为偶数，又函数的定义域为，且在上单调递减，则有0，又因p、q互质，则q为奇数，所以只有选项D正确.故选：D题型六：定点问题例16．（2022·全国·高一课时练习）下列命题正确的是（

）A．幂函数的图象都经过，两点 B．函数的图象经过第二象限C．如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同 D．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点【答案】D【解析】对于A，幂函数的图象都经过点，当时，不过点，故A项错误；对于B，的图象过第一、三象限，故B项错误；对于C，与的图象有三个交点，这两个函数不相同，故C项错误；对于D，因为幂函数的图象都经过点，所以幂函数为偶函数时，图象一定经过点，故D项正确．故选：D．【方法技巧与总结】所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点例17．（2022·全国·高一课时练习）幂函数的图象过点，则函数的图象经过定点__________．【答案】【解析】因为幂函数过点，可解得，所以，故，当时，，故恒过定点.故答案为例18．（2022·全国·高一课时练习）幂函数的图像一定经过第______象限【答案】一、三【解析】因为为自然数，所以为偶数，所以为奇数，所以是奇函数，且函数的图像经过和点并且在单调递增，所以幂函数的图像一定经过第一、三象限．故答案为：一、三变式25．（2022·全国·高一专题练习）函数恒过定点______．【答案】【解析】当，即时，，函数恒过定点.故答案为：.变式26．（2022·全国·高一专题练习）任意两个幂函数图象的交点个数是（

）A．最少一个，最多三个 B．最少一个，最多二个C．最少个，最多三个 D．最少个，最多二个【答案】A【解析】因为所有幂函数的图象都过，所以最少有个交点，如图所示：当函数为和时，它们有个交点，故选：．题型七：利用幂函数的单调性求解不等式问题例19．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图像关于y轴对称，且在上是减函数，实数满足，则的取值范围是_____．【答案】【解析】幂函数在上是减函数，，解得，，或．当时，为偶函数满足条件，当时，为奇函数不满足条件，则不等式等价为，即，在R上为增函数，，解得：.故答案为：.【方法技巧与总结】运用函数的单调性，必须对图象的特征有深刻的认识．可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径．例20．（2022·上海交大附中高一期中）若，则满足的x的取值范围是___．【答案】【解析】由得到，且，即，当x＞0时，不等式化为，解得，当x＜0时，不等式化为，解得x＜0，综上：x的取值范围是，故答案为：．例21．（2022·上海·高一单元测试）若，则实数的取值范围为_________.【答案】【解析】函数的定义域为，，函数为奇函数，由幂函数的基本性质可知，函数在上为减函数，在上也为减函数，且当时，，当时，.由可得或或，解得或.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.变式27．（2022·全国·高一课时练习）设，则不等式的解集为___________.【答案】【解析】因为,定义域为R，所以，所以函数是奇函数，又函数为R上减函数，所以由不等式得，即，解得，所以不等式的解集为，故答案为：.变式28．（2022·全国·高一专题练习）若幂函数过点，则满足不等式的实数的取值范围是______【答案】【解析】由题意，不妨设，因为幂函数过点，则，解得，故为定义在上的奇函数，且为增函数，因为，则，故，解得，从而实数的取值范围是.故答案为：.变式29．（2022·全国·高一课时练习）若，则实数a的取值范围是______.【答案】【解析】因为幂函数在定义域上单调递减，所以由，可得，解得，所以实数a的取值范围是，故答案为：.变式30．（2022·广东·广州誉恩教育咨询有限公司高一期中）已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为______．【答案】【解析】由幂函数的图象经过点，得，解得：，即，为偶函数，且在上单调递减，设，即，当时，由单调性可知，又函数为偶函数，所以当时，，所以，或，解得或，即，故答案为：.变式31．（2022·江苏·高一专题练习）已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是________.【答案】【解析】由题设，，∴为奇函数，由解析式易知：在定义域上为增函数，综上，由，可得，∴在上恒成立，当时，恒成立，可得；当时，恒成立，符合题设；当时，恒成立，可得；综上，的取值范围.故答案为：变式32．（2022·全国·高一课时练习）关于的不等式的解集为__________.【答案】【解析】因为函数的定义域为，由，可得为奇函数，因为，所以在和上单调递减，当即时，由可得，解得，所以，当，即或时，由可得，解得，所以，综上所述：原不等式的解集为，故答案为：.变式33．（2022·全国·高一）不等式的解集为______【答案】【解析】因为幂函数在上为增函数，，所以，解得，所以不等式的解集为，故答案为：变式34．（2022·上海·高一专题练习）不等式的解集为____.【答案】【解析】不等式等价于因为在上单调递增，所以，化简得：所以.故答案为：.题型八：比较大小例22．（2022·全国·高一课时练习）比较下列各组数的大小：(1)，；(2)，；(3)，，．【解析】（1）因为幂函数在上单调递减，且，所以．（2）因为幂函数在上为增函数，且，，所以，所以，所以．（3），，，因为幂函数在上单调递增，所以．【方法技巧与总结】（1）两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断．（2）利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题．当然，若直接利用上幂函数的单调性解决问题也是可以的．（3）引进数“1”和“0”，三个数分别与“1”和“0”比较，得出结论．例23．（2022·安徽省定远中学高一阶段练习）设，，，则，，的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，，，因为函数在上单调递增，又，所以，即，故选：B．例24．（2022·广东·深圳市高级中学高一期中）若实数a，b满足，则下列式子正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】对A，，，因为，所以.因为幂函数在上为增函数，所以，A错；对B，因为幂函数在上为增函数，所以成立，B对；对C，因为，，且幂函数在上为增函数，所以，C错；对D，因为幂函数在上为增函数，所以，D错；故选：B.变式35．（2022·全国·高一课时练习）已知，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，因为函数是实数集上的增函数，所以由可得：，即，故选：C变式36．（2022·全国·高一专题练习）已知，则（

）A．m>n B．m<nC．m＝n D．m与n的大小不确定【答案】B【解析】设，已知，则，在上是减函数，则，即，故故选：B变式37．（2022·全国·高一专题练习）设幂函数的图像经过点，若实数，则与的大小关系是（

）A． B． C． D．以上都有可能【答案】A【解析】由题可设，代入点，则，解得，则在单调递减，因为，所以可得，则.故选：A.变式38．（2022·全国·高一专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，因为幂函数在上单调递减，，所以，即.故选：B变式39．（2022·广东·佛山市南海区里水高级中学（待删除学校不要竞拍）高一阶段练习）已知，若，则下列各式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】在上单调递减，，故，故.故选：B.题型九：幂函数性质的综合运用例25．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图象经过点，则（

）A．函数为增函数 B．函数为偶函数C．当时， D．当时，【答案】ACD【解析】设幂函数，则，解得，所以，所以的定义域为，在上单调递增，故A正确，因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误，当时，，故C正确，当时，，又，所以，D正确．故选：ACD.【方法技巧与总结】以内函数或外函数为幂函数构成的复合函数，来考查幂函数的图象和性质以及数形结合的思想方法，是考试命题的热点题型．解答这类问题的关键在于寻求相应的基本幂函数，再利用其图象与性质解决问题．例26．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）（多选）若函数在上满足：对任意的，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列函数能被称为“理想函数”的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】不妨设，则由题意可得，即，由单调性定义可知，函数在上单调递增，即若在上单调递增，则称函数为“理想函数”．A选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义；B选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义；C选项中，该函数在上单调递减，不符合“理想函数”的定义；D选项中．该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义．故选：ABD．例27．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）若函数在定义域内的某区间M是增函数，且在M上是减函数，则称在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的是（

）A．若，则不存在区间M使为“弱增函数”B．若，则存在区间M使为“弱增函数”C．若，则为R上的“弱增函数”D．若在区间上是“弱增函数”，则【答案】ABD【解析】对于A：在上为增函数，在定义域内的任何区间上都是增函数，故不存在区间M使为“弱增函数”，A正确；对于B：由对勾函数的性质可知：在上为增函数，，由幂函数的性质可知，在上为减函数，故存在区间使为“弱增函数”，B正确；对于C：为奇函数，且时，为增函数，由奇函数的对称性可知为R上的增函数，为偶函数，其在时为增函数，在时为减函数，故不是R上的“弱增函数”，C错误；对于D：若在区间上是“弱增函数”，则在上为增函数，所以，解得，又在上为减函数，由对勾函数的单调性可知，，则，综上.故D正确．故选：ABD．变式40．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则其单调增区间为_____.【答案】【解析】，函数的定义域为，令，则当单调递减，在单调递增，，在定义域内单调递增，在在单调递增，故答案为：变式41．（2022·全国·高一专题练习）函数的单调递减区间为__．【答案】【解析】由，得或，令，该函数在上单调递减，而y＝是定义域内的增函数，∴函数的单调递减区间为．故答案为：．变式42．（2022·全国·高一专题练习）写出一个具有性质①②③的函数______．①定义域为；②在单调递增；③．【答案】（答案不唯一）【解析】的定义域为，在区间递增，且，所以符合题意.故答案为：（答案不唯一）变式43．（2022·全国·高一课前预习）已知函数．(1)若为偶函数，且在是增函数，求的解析式：(2)若在上减函数，求的取值范围．【解析】(1)在上增函数，，解得又,，由为偶函数知，；(2)若在上减函数，则，解得或，即的取值范围是{或且}．【同步练习】一、单选题1．（2022·云南师大附中高一期中）下列函数在定义域内单调递减的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由幂函数单调性可知，函数在定义域内单调递增，不满足题意；函数在定义域内单调递减，满足题意；函数在，上均是减函数，但在整个定义域上不是减函数，不满足题意；函数为偶函数，在上单调递增，在上单调递减，不满足题意.故选：B2．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）图中表示一次函数与正比例函数（是常数，且）图象的是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以或，当时，一次函数的图象经过一､二､四象限，正比例函数经过二､四象限，选项C满足；当时，一次函数的图象经过一､三､四象限，正比例函数经过二､四象限，没有选项满足；故选：C3．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数为偶函数，若函数在［2，4]上单调，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】依题意有，解得或．又函数为偶函数，故为偶数，则，所以，，若单调递增，则，若单调递减，则，故或，解得或．故选：B．4．（2022·全国·高一期中）已知幂函数上单调递增，则（

）A．0 B． C． D．【答案】A【解析】因为幂函数上单调递增，所以且，解得，故选：A5．（2022·陕西·铜川市第一中学高一期中）已知幂函数的图象过点，则的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【解析】由题意，设幂函数的解析式为，又由幂函数过点，代入得，解得，即，所以，故选：B．6．（2022·福建·高一期末）用函数表示函数和中的较大者，记为：，若，，则的大致图像为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依题意，，排除CD选项.，排除B选项.所以A选项正确.故选：A7．（2022·全国·高一专题练习）给出幂函数：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝；⑤f(x)＝.其中满足条件(x1>x2>0)的函数的个数是（

）A．1个 B．2个C．3个 D．4个【答案】A【解析】①函数f(x)＝x的图象是一条直线，故当x1>x2>0时，＝；②函数f(x)＝x2的图象是凹形曲线，故当x1>x2>0时，；③在第一象限，函数f(x)＝x3的图象是凹形曲线，故当x1>x2>0时，；④函数f(x)＝的图象是凸形曲线，故当x1>x2>0时，；⑤在第一象限，函数f(x)＝的图象是一条凹形曲线，故当x1>x2>0时，.故仅有函数f(x)＝满足当x1>x2>0时，，故选：A.8．（2022·福建·厦门市海沧中学高一期中）已知函数的图象经过点，则下列答案错误的是（

）A．函数在定义域内为增函数B．函数为偶函数C．当时，D．当时，【答案】B【解析】∵函数的图象经过点，∴，∴，解之得:.∴，.对于A.因为，所以函数在上为增函数.故A正确；对于B.因为函数的定义域为，并不关于原点对称，所以函数不是偶函数.故B错误；对于C.因为函数在上为增函数，所以当时,.故C正确；对于D.当若时，==.即成立，所以D正确.故选：B.9．（2022·重庆实验外国语学校高一期中）已知幂函数在区间上是单调增函数，且的图象关于y轴对称，则m的值为（

）．A． B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】幂函数在区间上是单调增函数，故，解得，，当时，不满足条件；当时，满足条件；当时，不满足条件；故选：C.二、多选题10．（2022·广东·广州市真光中学高一期中）下列结论中正确的是（

）A．幂函数的图像都经过点，B．幂函数的图像不经过第四象限C．当指数取1，3，时，幂函数是增函数D．当时，幂函数在其整个定义域上是减函数【答案】BC【解析】A选项，当指数时，幂函数的图像不经过原点，故A错误；B选项，所有的幂函数在区间上都有定义且，所以幂函数的图像不可能经过第四象限，故B正确；C选项，当α为1，3，时，是增函数，显然C正确；D选项，当时，在区间和上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D错误.故选：BC11．（2022·全国·高一专题练习）若函数的定义域为且为奇函数，则可能的值为（

）A． B． C． D．3【答案】BD【解析】对于A，当时，定义域为，不符合题意，故选项A不正确；对于B，当时，的定义域为且为奇函数，故选项B正确；对于C，当时，的定义域为且为偶函数，故选项C不正确；对于D，当时，的定义域为且为奇函数，故选项D正确；故选：BD.12．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，（且）在区间上的最大值比最小值大，则a的值可以为（

）A． B．2 C． D．【答案】AC【解析】当时