必修1第2章基本初等幂函数

1.(文)设 3}，则使函数y＝xa的定义域为R且该数为奇函数的所有a值为 [答案 1 x和y＝x3的定义域是R，且是奇函数，故a＝1或3. (理)设α∈－2，－1，－2，3，2，1，2，3，则使

为奇 数且在(0，＋∞)上单调递减的α值的个数为 [答案 [解析 由f(x)在(0，＋∞)上是减函数—y＝x－2＝1是偶函数

2＝1，在定义域(0，＋∞)上是x奇非偶函数，y＝x－1是奇函数，∴α＝－1，∴选(2．(文)已知点3，3)在幂函数f(x)的图象上，则 (B．是偶函C．是非奇非偶 (2[解析 (2

—1

1＝32因此f(x)＝x－1，所以f(x)是奇函数．故选35(理)y＝x在[－1,1]上是(A．增函数且是奇函数B．增函数且是偶函数C．减函数且是奇函数D．减函数且是偶函数[答案]A 5[解析 ∵3的分子分母都是奇数5－f(x)，∴f(x)为奇函数5又3>0，∴f(x)在第一象限内是增函数5又f(x)为奇函数，∴f(x)在[－1,1]上是增函数．3．(文)(2011·郑州一检)若0<x<y<1，则(

5＝－x5 D．1 1[答案

(4)[解析 ∵0<x<y<1，∴由对数函数的单调性得，log4x<log4y，故(理 理，7)已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝1log30.3， [答案 [解析4．(2011·山东济南调研)下面给出4个幂函数的图象，则图象与 A．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x21B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x21C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x2 D．①y＝x3，②y＝x2[答案 1[解析 1y＝x－1为奇函数，且图象与坐标轴不相交，对应④；y＝x3与y＝x1均为奇函数，但y＝x3y＝x3增长率大，故①对应5．给出以下几个幂函数fi(x)(i＝1,2,3,4)，其中1x2，f(x)＝x2，f(x)＝1.g(x)＝f(x)＋3x(i＝1,2,3,4) gi(x)有两个零点的幂函数有(A．0 B．1 D．3[答案 [解析 函数gi(x)的零点就是方程gi(x)＝0的根，亦即方程＋3x＝0的根，也就是函数fi(x)y＝－3x的图象的交点，作出函数fi(x)(i＝1,2,3,4)的图象，可知只有f2(x)的图象与y＝－3x的图象有两个不同的交点，故能使gi(x)有两个零点的幂函数只有f2(x)，选B.且在(0，＋∞)上是减函数，则实数m的值为( [答案 知m2－2m－3<0，得m＝2.故选A. 7(文)(2011·许昌期末)幂函y＝f(x)的图象过点4，2，那么 的值 4[答案 24[解析 设f(x)＝xα，由条件知 4—4

2，∴f(8)＝

(理)若幂函数f(x)的图象经过点

，2，则它A点处的切方程 [答案 [解析 设f(x)＝xα，∵f(x)图象过点1 ∴4 1 2∴f ，∴f2 故切线方程为 8．已知函数

的定义域是非零实数，且在(－∞，0)是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，则最小的自然数 [答案 [解析 ∵f(x)的定义域是{x|x∈R且 为偶函数，∵a∈N，∴a的最小值为3.2)U＝{y|y＝log2xx>1}P＝{y|y

1则

2 2[答案 x[解析 x2222—32．(文

|的图象为 [答案 —[解析

|为偶函数，故选(理)(2010·山东省实验中学)设函数f(x)＝x2＋c的图象如图b，c满足 [答案 [解析 f(x)的图象关于y轴对称，∴a＝0，∵y＝x2＋c在∞)上单增，又f(x)＝ 在(0，＋∞)上单减，且f(x)定义域为cb>0，c>0，又f(0)＝b>1，∴b>c，故选c系的第一象限分在八个“区域12(如图所示)，那么幂函数 的图象经过的“区域”是 [答案 12[解析 y＝x2是增函数，∵1<1，∴其图象向上凸，过点2(1,1)，故经过区(理)幂函数 (α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]它们的图象是一族美丽的曲线(如图)设点A(1,0)B(0,1)连结AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA.那么，αβ＝() D．无法确[答案 [解析 由条件知，M3，3、 ∴3＝3，3＝3，∴3＝3＝3＝3，∴αβ＝1. 如下图所示曲线是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象12x2＋x2等于 129999[答案

94[解析 由图可知0、－1、2是方程f(x)＝0的根94∴f(x)＝x3－x2－2x，f33又x1、x2是方程f′(x)＝0的根 ∴x2＋x2＝(x＋x)2－2xx

1 9 5．(文)f(x)＝

f(x0)>1x0的取x 范围 x0<－1或x0>12xy＝logxy＝x2y＝x 时

恒成立的函数个数 [答案 2

[解析 当0<x1<x2<1时，使

恒成立22函数图形是向上凸的，而所考查函数图象只有y＝logx，y＝x3两个2—2＋6．(文)已知f(x)＝xα(其中 ，n—2＋ [0，＋∞)上单调递增，解不等式-2 [解析 由条件 -2 3解得－1<n<3.又n是偶数1 当n＝0,2时，f(x)＝ ∴f(x)在R上单调递 ∴f(x2－x)>f(x＋3)转化为x2－x>x＋3，解得x<－1或x>3，∴原不等式的解集为-- -- (理)已知函数 证明f(x)是奇函数，并求其单调区间个涉及函数f(x)，g(x)的对所有非零实数x都成立的等式，并证明． (1)证明：因为f(x)的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．又因为f(x)是奇函数，所以f(x)在(－∞，0)上也是单调递增函数，即f(x)的单调递增区间是∞，0)和得对所有非零实数x都成立的一个等式是f(x2)－5f(x)g(x)＝0.证明如7(文)[解析 如图设左侧射线对应的解析式为：y＝kx＋b(x≤1)，点(1,1)，(0,2)代入得

所以左侧射线的函数解析式是y＝－x＋2(x≤1)；同理，x≥3时，函数解析式为：y＝x－2(x≥3)；再设抛物线段的解析式为y＝a(x－2)2＋2(1≤x≤3，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x－2(1≤x≤3)． y＝－x2＋4x－2 (理)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)且满足f(－1)＝0，任意实数x，恒有f(x)－x≥0，并且当x∈(0,2)时，有 f(1)的值当x∈[－1,1]时，函数g(x)＝f(x)－mx(x∈R)是单调函数，求证：m≤0m≥1.[解析 (1)对x∈R，f(x)－x≥0恒成立x＝1时又∵1∈(0,2)，由已知得 证明 ∵f(x)－x≥0x∈R恒成立2∴ax2－1x＋c≥0x∈R恒成立2

∴Δ≤0 1 ，∴c>0，故 证明：∵a＋c＝1，ac≥1，由a>0，c>0及a＋c≥2ac， 1 1 ≤ ，当且仅当a＝ 1 1 1 ∴g(x)＝f(x)－mx＝4x＋2－mx＋4＝4[x ∵g(x)在[－1,1]上是单调函数∴2m－1≤－12m－1≥1，∴m≤0 [答案 由y＝ x2＋1得，y2－x2＝1(y≥1)，它表示焦点在y轴上的等轴双曲线的上支，它以y＝±x的其渐近线，故选A.2．(2010·湖南理，8)min{a，b}a，b两数中的最小值函数f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的图象关于直线 [答案

＝－2

t的值[解析 如图，要使f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的图象关于直线21对称，则2

，若方程f(x)＝x＋a有且有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围 [答案 [解析]在同一直角坐标系内画出函数y＝f(x)y＝x＋a的图象如图可知a<1.4．(2011·福建质量检查)设a>1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a,2a]，都有y∈[a，a2]，满足方程logax＋logay＝c，这时a [答案

解析 依题意得y＝x当x∈[a,2a]时，y＝x

[a，a]，因此有 2a≤ac－1≤a2，又常数c是唯一的，因此a2＝2a，又a>1，所以a＝2.f(x)＝2xg(x)＝x3的图象的示意图如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)、B(x2，y2)x1<x2.请示意图中曲线C1、C2分别对应哪一个函数若x1[aa1]x2[bb1]，且ab{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，a、b的值，并说明理由结合函数图象示意图，请把f(8)、g(8)、f(2012)、g(2012)四个[解析](1)C1对应函数g(x)＝x3，C2对应函数由于交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，令h(x)＝f(x)－g(x)，显然有由幂函数及指数函数增长率可知一根小于1，则m的取值范围是(

[答案

2 2m＋4<0⇒m>5，故选B.2数f′(x)的图象可能是( [答案 [解析 由题意知对称轴x＝－b>0，则∴a>0，b<0或a<0，b>0，又f′(x)＝2ax＋b，故选(理)函数f(x)＝ax2＋bx＋c与其导函数f′(x)在同一坐标系内的 [答案 若二次函数f(x)的图象开口向上，则导函数f′(x)为增函数，排除A；同理由f(x)图象开口向下，导函数f′(x)为减函数，排除D；又f(x)单调增时，f′(x)在相应区间有f′(x)≥0，排除B，故选C. [答案 [解析]a<0，则只能是AB选项，A中－b<0，∴b<0，从c>0A图不符；B中－b>0，∴b>0，∴c<0，与B图不符．若(理)若方2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围为() [解析 令f(x)＝2ax2－x－1，当a＝0时显然不适合题意 ∴由f(1)>0a>1，又当f(1)＝0，即a＝1时，2x2－x－1＝02根x1＝1，x2＝－1不合题意，故选2函数f(x)对任x∈Rf(x)＝f(4－x)．如果方程恰有2011个实根，则所有这些实根之和为 [答案 ∵x∈R时，f(x)＝f(4－x)，∴f(x)图象关于直线x＝2对称，实根之和为2×2011＝4022.已知方程|x|－ax－1＝0a [答案 [解析 数形结合判断已知函

，则不等式f(x)≥x2的解集 [答案 [解析 依题意

或 ⇒－1≤x≤0或－1≤x≤1，故选[点评 可取特值检验，如x＝－2,2可排除B、C、已知函数

f[f(x)]＝2，则x的值范围 [答案 {x|－1≤x≤1或[解析 若x∈[－1,1]，则有∴f(2)＝2，∴－1≤x≤1时，x是方程f[f(x)]＝2的解．若1,1]，则∴f[f(x)]＝x，此时若f[f(x)]＝2，则有∴x＝2是方程f[f(x)]＝2的解8．(2011·佛山二检)若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的一个零点是1，函数g(x)＝bx2－ax的零点是 [答案 0或[解析 由题意知ax＋b＝0(a≠0)的解为＝－ax2－ax＝－ax(x＋1)，令g(x)＝0，则x＝0或1.(2011·福建文，8)已知函数

＝0，则实数a的值等于 [答案 [解析 ∵f(1)＝21＝2，∴由f(a)＋f(1)＝0 当a>0时 2a＝－2不成立．当a<0时已知f(x)＝2x2＋(4－m)x＋4－m，g(x)＝mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是() [解析 f(x)＝2x24x＋4＝2x＋1)2＋2>0立，故m＝0满足条件，排除D；当m＝4时，f(x)＝2x2，g(x)＝4x.x＝0时，f(x)＝g(x)＝0，故m≠4，排除A；当m＝－4f(x)>0g(x)>0，故排除若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，称这些函数为“孪生函数”．那么函数的解析式为y＝2x2＋1，值域 A．4 B．6C．8 D．9[答案 由2x2＋1＝1得x＝0；由2x2＋1＝5得x＝±2，2x2＋1＝19{5,19,1}因此x＝0必须有，x＝±2可以有一个，也可以有2个，共有三种情，，，，－-2，－3}，{0，－2，3，－3}，{0，2，－2，3}，{0，2，－3}，{0，2，－2，3，－3}9种，故选4．(文)设函＝－2，则方程f(x)＝x的解的个数为 A．4 B．3

C．2 D．1[答案 [解析 依题意得又∴函数解析式为则方程f(x)＝x转化为解得(理)已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2(a<b)，并且α、β是方程的两个根(α<β)，则实数a、b、α、β的大小关系可能是( [解析 设g(x)＝(x－a)(x－b)，则f(x)＝g(x)－2，分别作出这个函数的图象，如图所示，可得α<a<b<β，故选5．(文)已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，b等 [答案 [解析 ∵f(x)＝(x－1)2＋1，∴f(x)在[1，b]上是增函数∴b2－2b＋2＝b，∴b2－3b＋2＝0，∴b＝2或1(舍(理)(201·江南十校联考)已知函数f(x的自变量的取值区间为，若其值域也为，则称区间A为f(x的保值区间．函数f(x)＝2的形如[n，＋∞)(n∈(，＋∞))的保值区间是 ．[答案 [解析]因为f(x)＝x2在[n，＋∞)(n∈(0，＋∞))上单调递增，所区间，则f(n)＝n2＝n，解得n＝1.函数f(x)＝(a＋1)x＋2a在[－1,1]上的值有正有负，则实数的取值范围 [答案

[解析 由条件知337．(2011·辽宁