人教A版必修第二册8622直线与平面垂直的性质学案

其次课时直线与平面垂直的性质[重点理解]1．剖析直线与平面垂直的性质定理(1)该定理考查的是在直线与平面垂直的条件下，可得出什么结论．(2)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线都与同一个平面垂直)．(3)定理揭示了空间中“平行〞与“垂直〞关系的内在联系，供应了“垂直〞与“平行〞关系相互转化的依据．(4)定理的推证过程采纳了反证法．2．直线与平面垂直的性质(1)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,b⊂α))⇒l⊥b；(2)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b；(3)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a⊥α))⇒b⊥α；(4)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥β,a⊥α))⇒α⊥β；(5)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,a⊥β))⇒α∥β.[自我排查]1．从圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，那么这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A．相交 B．平行C．异面 D．相交或平行答案：B解析：由直线与平面垂直的性质定理可知，这条垂线与圆柱的母线所在直线平行，应选B.2．假设直线n⊥平面α，n∥l，直线m⊂α，那么l，m的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．垂直答案：D解析：由题意可知l⊥α，所以l⊥m.应选D.3．直线a，b，平面α，且a⊥α，以下条件中，能推出a∥b的是()A．b∥α B．b⊂αC．b⊥α D．b与α相交答案：C解析：由线面垂直的性质定理可知，当b⊥α，a⊥α时，a∥b.应选C.4．如图，AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，那么EF＝________.答案：6解析：∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，∴AF∥DE.∵AF＝DE，∴四边形ADEF是平行四边形．∴EF＝AD＝6.课堂篇·重点难点研习突破研习1直线与平面垂直的性质应用[典例1](链接教材第155页练习3题)如下图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1.[证明]由于四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D.又由于CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.由于A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.又由于MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.[巧归纳]证明线线平行的方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；(2)利用三线平行根本领实：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．[练习1]如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.证明：由于AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.由于AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD.由于MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.又由于MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.研习2空间中的距离问题[典例2](链接教材第154页例5、例6)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AA1＝12，AB＝5.(1)求点B1到平面A1BCD1的距离；(2)求B1C1到平面A1BCD1的距离．[解](1)如图，过点B1作B1E⊥A1B于点E.由题意知BC⊥平面A1ABB1，且B1E⊂平面A1ABB1，∴BC⊥B1E.∵BC∩A1B＝B，∴B1E⊥平面A1BCD1，∴线段B1E的长即为所求．在Rt△A1B1B中，B1E＝eq\f(A1B1·BB1,A1B)＝eq\f(5×12,\r(52＋122))＝eq\f(60,13)，∴点B1到平面A1BCD1的距离为eq\f(60,13).(2)∵B1C1∥BC，且B1C1⊄平面A1BCD1，BC⊂平面A1BCD1，∴B1C1∥平面A1BCD1.∴点B1到平面A1BCD1的距离即为所求，∴直线B1C1到平面A1BCD1的距离为eq\f(60,13).[巧归纳]空间中距离的转化(1)利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离；(2)利用中点转化：假如条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离．[练习2]P为△ABC所在平面外一点，PA，PB，PC两两垂直，PA＝PB＝PC＝a，求点P到平面ABC的距离．解：过P作PO⊥平面ABC于点O，连接AO，BO，CO，那么PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC.由于PA＝PB＝PC＝a，且PA，PB，PC两两垂直，所以Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，所以OA＝OB＝OC，所以O为△ABC的外心．所以AB＝BC＝CA＝eq\r(2)a，所以△ABC为正三角形，所以OA＝eq\f(\r(3),3)AB＝eq\f(\r(6),3)a，所以PO＝eq\r(PA2－OA2)＝eq\f(\r(3),3)a.故点P到平面ABC的距离为eq\f(\r(3),3)a.研习3直线与平面垂直关系的综合应用[典例3]斜边为AB的直角三角形ABC，PA⊥平面ABC.AE⊥PB，AF⊥PC，E，F分别为垂足，如图．(1)求证：EF⊥PB；(2)假设直线l⊥平面AEF，求证：PB∥l.[证明](1)由于PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.又由于△ABC为直角三角形，所以BC⊥AC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.又由于AF⊂平面PAC，所以BC⊥AF.又AF⊥PC，且PC∩BC＝C，所以AF⊥平面PBC.又PB⊂平面PBC，所以AF⊥BP.又AE⊥PB，且AE∩AF＝A，所以PB⊥平面AEF.又EF⊂平面AEF，所以EF⊥PB.(2)由(1)知，PB⊥平面AEF，而l⊥平面AEF，所以PB∥l.[巧归纳]线线、线面垂直问题的解题策略(1)证明线线垂直，一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面，为此分析题设，观看图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面；(2)证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线，这一点在解题时肯定要表达出来．[练习3]如下图，AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4.(1)求证：AC⊥平面BCE；(2)求证：AD⊥AE.证明：(1)在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4，所以AC＝BC＝2eq\r(2)，所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.由于AF⊥平面ABCD，AF∥BE，所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC.又BE⊂平面BCE，BCC平面BCE，BE∩BC＝B，所以AC⊥平面BCE.(2)由于AF⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以AF⊥AD.又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD.又AF⊂平面ABEF，AB⊂平面ABEF，AF∩AB－A，所以AD⊥平面ABEF.又AE⊂平面ABEF，所以AD⊥AE.课后篇·根底达标延长阅读1．假设直线a⊥直线b，且a⊥平面α，那么()A．b⊥α B．b⊂αC．b∥α D．b∥α或b⊂α答案：D解析：当b⊂α时，a⊥α，那么a⊥b；当b∥α时，a⊥α，那么a⊥b；当b与α相交时，a⊥α，那么a与b不垂直．由于直线a⊥b，且a⊥α，所以b∥α或b⊂α，应选D.2．如图，▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，那么CE＝()A．0 B．3C.eq\r(5) D.eq\r(13)答案：D解析：由于四边形ADEF为平行四边形，所以AF∥DE且AF＝DE.由于AF⊥平面ABCD，所以DE⊥平面ABCD.所以DE⊥DC.由于AF＝2，所以DECD＝3，所以CE＝eq\r(CD2＋DE2)＝eq\