十年高考应用题真题汇编教师版(高考必备)

.•.当f=-------一时，有最小值DE=---

2-74003737

(3)设甲所用时间为降,乙所用时间为电，乙步行速度为V乙

12601261040500500

由题意加=----=丁mint乙=2+------+1+-T7—=]]+-T7—min

150乙130V7V

126□5001250625

—34------□11-I-------E|W3解不等式得F-4V/<—

5匚%口乙14

5

2014年高考18题

5.如图，为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求新桥BC与河岸

A8垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端。和A到该圆上任意一点

的距离均不少于80〃?.经测量，点A位于点O正北方向60机处，点C位于点。正东方向170加处(OC为

河岸)，tanZBCO=-.北I

3.1.

(D求新桥BC的长；1'''-B

②当OM多长时，圆形保护区的面积最大？/.4r/

解：本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等：Qjw

基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.满\O\——170m4-P紊

分16分.\

解法、'、______J

⑴如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy

由条件知A(0,60),C(170,0),

4

直线BC的斜率kBC=-tanci8CO=——.

3

3

又因为ABoBC,所以直线AB的斜率3B=_.

4

b-Q4

设点B的坐标为(a,b),则kBC==—

a-1703

,一一603

K.AR——-.

解得a=80,b=120.所以BC=J(170-80y+(0-12()7=150.

因此新桥8c的长是150m.

⑵设保护区的边界圆M的半径为rm,OM=dm,(0<J<60).

4

由条件知，直线的方程为y=-1(x-170),即4x+3y—680=0

由于圆M与直线BC相切，故点M而，，/)到直线BC的距离是r,

I3d—680I680-3d

即Anr=--------=--------.

55

因为。和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m,

*680-3d_/>go

所以吊尸一1280即'5—v?解得10WdW35

:r-(60—♦遒弊—(60—d)280

*5

故当d=io时，r=680-3”最大,即圆面积最大

5

所以当0W=lOm时，圆形保护区的面积最大.

6

解法二:(1)如图，延长04,CB交于点F.

443

因为tanciBCO=..所以sinaFCO=-,COSDFCO=-.

355

因为Q4=60,OC=170,所以。尸=0CtanciFC0=蹩.

3

八0C受，从而AF=OF-OA=5Q()

CF=

cosZFCO33

4

因为OAoOC,所•以cosc3AFB=sin□尸CO==-,

5

又因为AB口BC,所以BF=AFcosoAFB==,从而BC=CF~BF=15O.

3

因此新桥BC的长是150m.

(2)设保护区的边界圆M与8c的切点为D,连接MD,则MD±BC,且是圆”的半

径，并设MD=rm,OM=dm(0<i/<60).

因为OAoOC,所以sinaCFO=COSDFCO,

MDMDr3680-3d

故由(1)知，sin口CFO=____=________=A。,、=，所以r=________-

MF0F-0M™5-5

----d

3

因为。和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m,

第68。—3d_>go

所以革r—QB80即j5-?解得10WdW35

；r-(60-")2®A——(60-d)280

*5

故当4=10时，r=68°-3"最大,即圆面积最大.

5

所以当OM=10m时，圆形保护区的面积最大.

7

2015年高考17题

6.某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山

区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为/-4,山区边界曲线为c,计划修建的公路为/,如图所

示，M,N为C的两个端点，测得点M至”4的距离分别为5千米和40千米，点N至”4的距离分别

为20千米和2.5千米，以0，4所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系xoy，假设曲线C符

合函数y=(其中名匕为常数)模型.

-x+b

(1)求a,b的值；

(2)设公路/与曲线c相切于P点，P的横坐标为九

□请写出公路/长度的函数解析式/。)，并写出其定义域;

□当，为何值时，公路/的长度最短？求出最短长度.

a

【解析】(1)由题意得M(5,40),N(20,2.5),代入y=—：——

x+b

1000

—2000上.,步］—2000

(2)①由(1)得y'------.•.点p处斜率k=-------

Xt

一/1000、阳田,1000-2000、

.P(t,)得直线1：y-=(zx-f)

T~T

求得直线1与坐标轴交点分别为(3:o)、03000a

7□，2

2□t-

•.・公路长为概谭翠虹小嘏1警；m。］

22

□3tnD3000■,9h9xio6918xl06

②要求/⑺最小值，即求□一口+口^^」最小值.令F=/ig(%)=—+——g,(/?)=-

2

□2D口产n4h4

令g</?)=0，。=200"=1防h<200,g'(/z)<0,g(〃州

h>200,g'(/z)>0,g(〃)f当h=200时,g(〃)有最小值675

8

即f=10后时，有最小值囱

2016年高考17题

7.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P-A4G下部分的形状是正

四棱柱A8CO-A4G2（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高PO1的四倍.

（1）若48=601,。01=2111,则仓库的容积是多少？

（2）若正四棱锥的侧棱长为6〃?,则当为多少时，仓库的容积最大？

解：（1）由PO|=2知OO|=4PO|=8.

因为A|B|=AB=6,

所以正四棱锥P-A|B|GDI的体积VJ.AB2po=lx&x2=24（加）;

柱3I1I3

正四棱柱ABCD-A|B|C|D|的体积％=6?x8=288(4).

所以仓库的容积V=Vf«+V产24+288=312(m3).

⑵设A|Bi=a(m),PO|=h(m),贝0<h<6,OO|=4h.连结O|B|.

因为在HT⑤P08中，OB'PO'PB?

11111

22

所

以

J人-36unQ=236-

□2口

□口

=/-4h+~a2.//=工“％=-2(36/?-川),(0<〃<6),

于是仓库的容积V=V+V

锥柱

333

从而U=-1（36—3万）=26（12—肥）

令丫'=0,得〃=26或〃=一21（舍）.

当0<〃<26时，V'>0,V是单调增函数;

当2后<〃<6时，V<0,V是单调减函数.

故//=乃时，v取得极大值，也是最大值.

因此，当PO、=2出时，仓库的容积最大

9

2017年高考18题

8.如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器口和正四棱台形玻璃容器口的高均为32cm,容器口的底而对

角线AC的长为10j7cm,容器口的两底面对角线EG,且G1的长分别为14cm和62cm.分别在容器口

和容器口中注入水，水深均为12cm.现有一根玻璃棒/,其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略

不计)

(1)将/放在容器口中，/的一端置于点A处，另一端置于侧棱CG1上，求/没入水中部分的长度；

(2)将/放在容器口中，/的一端置于点E处，另一端置于侧棱CG1上，求/没入水中部分的长度.

【解析】

(1)如图所示，设玻璃棒与水面的交点为与CG交于点E

则有AC=10V7,EC=』AE?-AC?=30,作001垂直与底面交于点。

AOOO

由00//EC,则=\则有AO=16

1~AE~CE1

答：玻璃棒没入水面的长度为16c"?

⑵如图所示，设玻璃棒与水面的交点为。厂与GG|交于点?，GH±EjG,

在等腰梯形EGCE^CH=32,CG=7GH2+HC2=40

GH4

则有sin/GG"=——=-设NPGE=a/EPG=0，由正弦定理得

GC15

EPEGPG43724

-=-~又sin。二一,cosa=一-，则解得sin£=—,cosB=—

sinasinpsin(a+//)552525

则有PG=50sin(a+/?)=50(sinacos/？+cosasin〃)=24

过点P作点PD±EG,KOPD=PGsin(^-a)=24

10

hEQ

则由已知——=—，则E0=20

PDEP

答：玻璃棒没入水面的长度为20c〃?

高考预测

1.某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口A沿AB,4c方向修建两条小路,

休息亭P与入口的距离为3瓦米（其中a为正常数），过尸修建一条笔直的鹅卵石健身步

17

行带，步行带交两条小路于E、尸处，已知N3AP=45°，tanZCAB=.

5

（1）设AE=x米，AF1=y米，求y关于x的函数关系式及定义域；

（2）试确定E,尸的位置，使三条路围成的三角形AEF地皮购价最低.

【答案】Iryc

(1)由12112。8=£得$皿/&48=_,cosZCAB=_

51313

且sinNFAP=sin(ZC4B-NPAE)=sin(NCA8-45°)J12

26

由题可知SVAEF=SVAEP+SVAFPB

所以「AEgAFgsinZC4S,=AEgAPgsinNPAE+APgAFgsin乙FAP

222

徂1即1217212321

得xy-=x-32a-yjy_3平.J即xy=ax+ay

2T32V+7-7~26~13213

第2

所以y=13"由.彳瑟得定义域为(7“,拉)........6分

4x-lay=>0中

飞4x-7。

（2）设三条路围成地皮购价为y元，地皮购价为攵元/平方米，则丁=-5出斯（忆为常数）,

所以要使y最小，只要使Sv人“最小

11126613ax6加

由题可知SVAFF=-AE-AF-sinZCAB=-xy­一=一孙=—x----------

“AEF22/1313/134x-la4x-la

定义域为,+8）

4

令t=4x-7«>0

_2

□f+7a1-□

□

6。口4〃3aQ49a23a2

□=3ar+14c+49tr□2-1

q□=_□/+___+\4a~\>_D2□2

^VAEF8□

8QtD8

当且仅当f=7。即、=二时取等号

2

所以，当户?时，Sy但最小，所以y最

11

2.设/”12,，3是同一平面内的三条平行直线，与间的距离是1根，4与4间的距离

是2机，区A8C的三个顶点分别在4，l2,l3.

①如图1,为等边三角形，求领43C的边长；

0如图2,3ABe为直角三角形，且8为直角顶点，求AB+48c的最小值.

（D如图1,过点B作。的垂线，分别交4，4，于点。，E,

设NDBA=e,则NEBCu22-。.则AB=—,BC—.

3cos。cos（/孕o_-。\）

3

因为AB=8C,所以-1—=_2—，化简得5COS6=3sin/所以tanO=5则收）S。=

3

所以边长AB=1=31

cosO3

0如图2,过点8作勾的垂线，分别交4，4于点。，E.设NO84=e,则NE8C='—e,

则AB=^—,BC=^-.于是AB+4BC=^—+^-.t己/（。）=^―+^-,6»e（0,匹

cos。sin。cos。sin。cos。sinftZ2

求导，得代）sin。8cos8sin3^-8cos3^tan30-8

0—sin2Oco^6-2八ic

cos20sin20sHecos-e

令得tan0=2.记tan4=2,

e3

（0,4）00

八。）—0+

/⑻X极小值/

当。=4时，/（⑨取最小值，此时sin。=2cos6=孝,〃。）=5

12

答：(1)边长A8为44m；(2)AB+48C长度的最小值为

13

高考模拟

1.某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处，已知A8=AC=6h”,现计划在8C边

的高AO上一点P处建造一个变电站.记P到三个村庄的距离之和为y.

(1)设NPBO=a，把y表示成a的函数关系式；

(2)变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？

【解】在Rt®AO8中，A8=6,所以08=04=3*•所=：

由题意知04夕4匹.所以点P到4、8、C的距离之和为

4

y=2PB+PA=2x3/1(减-3拒tana)=30+减*'一即。

+

cosacosa

故所求函数关系式为y=3也+3〃x*肾(04。4露

(2)由(1)得*=3产x2sm"l,令*=o即sina=\又04a4)从而a=，

cos2a246

717171

当04av—时，*<0；当一<a«—时，*>0.

664

所以当a=f时，y=4+第x2-sina取得最小值,

6cosa

此时。尸=30tan1=76(km),即点尸在0A上距。点#km处.

6

【答】变电站建于距O点#km处时，它到三个小区的距离之和最小.

2.某企业有两个生产车间分别在A,8两个位置，A车间有100名员工，B车间有400名员工，现要在

公路AC上找一点。，夕—条公路8。，并在。处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐，已知4,B,

C中任意两点间的距离均有Ikm,设＜BDC=a,所有员工从车间到食堂步行的总路程为5.

(D写出S关于夕的函数表达式，并指出a的取值范围;

0间食堂。建在距离A多远时，可使总路程S最少？

BDBCCD

(1)在口88中，口-----=----=------------

sin60°sinasin(1200-a)

也

□80=^-,Cr>=Sm(120°-a).则A£>=l_sm(120°-a)

sinasincrsina

出

S=400•+100[1-瓯(12°°-a)]=50-50/期4其中TC

_<a<

sinasinasina/Z3

14

2兀

V

⑵s“_50G-sina•sina一(cosa-4)cosa

sin2a

=50#~~~4c°Sa.令Sh=0,得cosa=1.

sin2aC4

11

当cosa>—时，S，V0,S是a的单调减函数；当cosa<-时，SH>0,S是a的单调增函数.

44

□当cosa=」时，S取得最小值.此时，sinaW叵，

44

31.

<cosa+_sina

八八_[sin(120°-a).22「1J3cosa

sinasina22sina

=」一茎4，_=LZ

22V15210

~v

3.一条宽为1版的两平行河岸有村庄A和供电站C,村庄8与A,C的直线距离都是2km,BC与河岸垂

直，垂足为D现要修建电缆，从供电站C向村庄A,区供电.修建地下电缆、水下电缆的费用分别是2万

元/km、4万元/km.

(1)如图□，已知村庄A与B原来铺设有电缆AB,现先从C处修建最短水下电缆到达对岸后，再修建地

下电缆接入原电缆供电，试求该方案总施工费用的最小值；

(2)如图□，点£在线段4。上，且铺设电缆的线路为CE,E4,EB.若

(0<6)<-),试用。表示出总施工费用y(万元)的解析式，并求y的最小值.

3

(1)由己知可得△ABC为等边三角形.

因为CD±AD,所以水下电缆的最短线路为CO.

过。作。MlA3于M,可知地下电缆的最短线路为DM.

15

又CD=1,DM=^

2

故该方案的总费用为1x4+苧2=4（万元）

（2）因为/。。七=。0<0<-,

□,□

□3口

所以CE=EB=-ED=tan0,AE^y5-tan0.MiJ

cos0

y=-x4+—x2+（》Tan6）x2=2x3-sjn。+26

cos。cos6cos。

人rn\3—sin。,

令g（6）=―7—，则ni

cos”

-cos2e-（3-sin6）（-sin。）3sin6M

因为所以OAsinOA史，

32

记sin（%=4e（0,）,

3：3

当04sin0<§,即时，g[e）<o

当l<sin"且，即6<见：时,g,⑻>0,

cC00

3-J

所以g（。）.=g（4）=U户2V从而yN4我+24

5-mm2后

5

此时ED=tan~

因此施工总费用的最小值为（4忘+2#）万元，其中ED=走

4

4.如图，ABCO是正方形空地，边长为30/n,电源在点P处，点P到F

边AO,48距离分别为9机，3m.某广告公司计划在此空地上竖后

D____________C

一块长方形液晶广告屏幕A/NEE,MN:NE=16:9.线段必须M

16

ANB

过点P,端点M,N分别在边A。，AB上，设AN=x(〃?)，液晶广告屏幕MNEF的面积为S(〃).

(1)用x的代数式表示AM；

(2)求S关于x的函数关系式及该函数的定义域；

(3)当x取何值时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小？

3x

解：(1)AM=-—(10WxW30).

x-9

22229x~

(2)MN=AN'+AM~=x'+,——v-

(x-9)-

9

□MN:NE=16:9>□NE=__MN

16

99Qr-

22

nS=MN-NE=_MN_r+i

16=WXU-9)2

定义域为[10,30].

918X(X-9)2-9<(2X-18)9x[(x-9)3-81]

(3)S*=——[2x+------------7-------]=-x---------：，

16L(X-9)48(x-9)3

令加=0,得x=0(舍)，x=9+3班.

当I0Wx<9+33时，SxO,S关于尤为减函数；

当9+3W<xW3O时，S#>0,S关于x为增函数；

□当x=9+d3时，S取得最小值.

答：当AN长为9+3/m时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小.

5.某市近郊有一块400mx400加正方形的荒地，准备在此荒地上建一个综合性休闲广场，需先建造一个总

面积为3000加2的矩形场地(如图所示).图中，阴影部分是宽度为2加的通道，三个矩形区域将铺设塑

胶地面作为运动场地(其中两个小矩形场地形状、大小相同)，塑胶运动场地总面积为Sirr.

(1)求S关于x的函数关系式，并给出定义域;

(2)当x为何值时S取得最大值，并求最大值.

解(1)设矩形场地的另一条边的长为y,则xy=3000即)，=9矍，

且7.5VxV400.

f广…？c1500

S=(X—4)a+(x—6)a=(2x—10)cz.+6=y,所以a=2—3—%

17

-3,

所以S=(2x—10).(詈詈+6x),其定义域是(7.5,400).

(2)S=3030-(15000+6,rj<3030-26A150O0=3030-2x300=2430.

xx

均口付、匕15000

三且1乂三=6x,即》=50口(7.5,400)时，上述不等式等号成立，

2

此时x=50,5max—2430(m).

答：当x=50m时，S取得最大值，其最大值为2430m2

6.如图，半圆。的直径为2,A为直径延长线上一点,。4=2,8为半圆上一点，以AB为一边向③0A3的外

侧作等边③ABC.C

0)问点5在什么位置时，四边形。4cB的面积最大？

②当OC平分NA08时.

(口)求证：Z.OAC