人教版数学九年上册教案

第二十一章二次根式

教材内容

1.本单元教学的主要内容：

二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式.

2.本单元在教材中的地位和作用：

二次根式是在学完了八年级卜册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其

应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础.

教学目标

1.知识与技能

(1)理解二次根式的概念.

(2)理解6(a20)是一个非负数，(&)2=a(a20),J^=a(a20).

(3)掌握。,4b=\[ab(a>0,b20),y/ab->fa•s/b；

\Jalalay/a

布二七(a>0,b>0),4丁=(a20,b>0).

(4)了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减.

2.过程与方法

(1)先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念.再对概念的内

涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些:重要结论进行二次根式的计算和化简.

(2)用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法规定，并运用

规定进行计算.

(3)利用逆向思维，得出二次根式的乘(除)法规定的逆向等式并运用它进行化筒.

(4)通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，给出最简二次根式的概

念.利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和

化简的目的.

3.情感、态度与价值观

通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二

次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力.

教学重点

1.二次根式G(a20)的内涵.y/a(a20)是一个非负数；(G)2=a(a^O)；

J^=a(a>0)及其运用.

2.二次根式乘除法的规定及其运用.

3.最简二次根式的概念.

4.二次根式的加减运算.

教学难点

1.对&(a^O)是一个非负数的理解；对等式(G)2=a(a^O)及J/=a(a20)

的理解及应用.

2.二次根式的乘法、除法的条件限制.

3.利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式.

单元课时划分

本单元教学时间约需6课时，具体分配如下:

21.1二次根式1课时

21.2二次根式的乘法2课时

21.3二次根式的加减2课时

小结1课时

九年级数学上册教案备课人：杨贤

课题：二次根式

教学内容：21.1二次根式

1.理解二次根式的概念，并利用&(a20)的意义解答具体题目

教学

目标2.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.

重点：形如石(a20)的式子叫做二次根式的概念；

重点

难点

难点：利用(a20)”解决具体问题.

教学教师准备是否需要

准备学生准备课件

教学过程设计留白：

1一、复习引入(供教师个

导语设计：在勾股定理和四边形两章中，已经用到过简单的二次根式运算，在本章中性化设计)

将系统地学习二次根式的运算。本课只学习二次根式的概念及其三个运算性质.

1二、探究新知

(一)定义及非1京性

活动1、填空,完成课本思考1：

465，V?，J7

活动2、观察其形式上的共同点，被开方数的共同点，说明各式所表示的共同意义.

活动3、给出二次根式的定义，介绍二次根式的读法.

活动4、思考下列问题：

①夜的运算结果是3,后是不是二次根式？3是不是？

②定义中为什么要加4'0?若a<0,，■表示什么？有无意义？

③当a=0时，6表示什么？结果是什么？当a>0时，〃"表示什么？可不可能为负

数？右20）是什么样的数呢？

例1、当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？在下列二次根式有意义的情况下，

其运算结果是怎样的实数？

Jx-2,__!__，+3

yJx+\

练习：1、课本思考2：当x是怎样的实数时，后,J7有意义？

1、若Jx-2=-加，则x和m的取值范围是x；m.

2、已知而5+77行=0，求x,y的值各是多少？

（二）两个运算性质

活动5、完成课本探究1

活动6、对（6［中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先开方再平

方，结果不变.

练习：课本例2

活动7、完成课本探究2

活动8、对行中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：•个非负数先平方再开方,

结果不变；一个负数先平方再开方结果为相反数.

练习：课本例3

补充练习：1、化简：J（乃-4）2，J（2-6）2；

2、直角三角形的三边分别为a,b,c,其中c为斜边，则式子（后卜体）2与式子而二万

有什么关系？

三、课堂训练

完成课本中两个练习.

有时间UJ补充：1、yjm-\~m成立的条件是.

2、而5成立的条件是.

四、小结归纳

1、二次根式的概念及“被开方数非负”的条件和“运算结果非负”的性质.

2、二次根式的两个运算性质，平方为“父对象”，开方为“子对象”.

3、简单介绍代数式的概念.

4、重复演示哪件呈现练习题,供学生记录.

五、作业设计

习题P5：1、2P6：7、8

附：板书设计

一.复习引入三.课堂训练

二.探究新知四.小结归纳

（一）定义及非负性五.作业设计

（二）两个运算性质

教后反思:留白：（供心得体会与反思）

授课时间：_____年_____

月一日

九年级数学上册教案备课人：杨贤

课题：21.2二次根式的乘除

教学内容：21.2二次根式的乘除（第1课时）

知识1.会运用二次根式乘法法则进行二次根式的乘法运算.

教技能2.会利用积的算术平方根性质化简二次根式.

学1.经历观察、比较、概括二次根式乘法公式，通过公式的双向性得到积的算术平方

目根性质.

标过程2.通过例题分析和学生练习，达成目标1,2,认识到乘法法则只是进行乘法运算的

方法第一步，之后如果需要化简，进行化简，并逐步领悟被开方数的最优分解因数或因

式的方法.

情感培养学生观察、猜想的习惯和能力，勇于探索知识之间内在联系.

态度

重点重点：双向运用》o,b2o）进行二次根式乘法运算.

难点难点：被开方数的最优分解因数或因式的方法.

教学教师准备是否需要

准备学生准备课件

多学过程设计留白：

一、复习引入（供教师个

导语设计：上节课学习了二次根式的定义和三个性质，这节课开始学习二次根式的运性化设计）

算，先来学习苏3法运算。

二、探究新知

一）二次根式乘法法则

舌动1、1.填空完成课本探究1

2.用1『日所发现的规律比较大小

辰X、/4_____「36x4；V2X后_______76

活动2、给出二次根式的乘法法则

活动3、思考下列问题：

D公式中为什么要加a20,b20?

2）两个二次根X相乘其实就是________不变，___________相乘

3）-J~a--Jb•J7（a20,b20,c20）=_____________

练习：课本例1,在（1）（2）之后补充（3）忖靠

归纳：运算的:箫一步是应用二次根式乘法法则，最终结果尽量简化.

（二）积的算术斗z方根性质

活动4.将二次利Q式乘法公式逆用得到积的算术平方根性质

完成课本例2,在（1）（2）之间补充同

归纳：化简二次根式实质就是先将被开方数因数分解或因式分解，然后再将能开的尽

方的因数或因式开方后移到根号外.

例3.计算:

(1)V14x(2)3x2J10;(3)-^—xy

分析：(1)第一步被开方数相乘，不必急于得出结果，而是先观察因式或因数的特

点，再确定是否需要利用乘法交换律和结合律以及乘方知识将被开方数的积变形

为最大平方数或式与剩余部分的积，最后将最大平方数或式开方后移到根号外.

(2)运用乘法交换律和结合律将不含根号的数或式与含根号的数或式分别相乘，

再把这两个积相乘之后同(1).

三、课堂训练

完成课本练习.

补充：=二I成立，求x的取值范围.

2.化简：J-x3y(X<0)

四、小结归纳

1.二次根式乘法公式的双向运用；

2.进行二次根式乘法运算的一般步骤，观察式子特点灵活选取最优解法.

五、作业设计

必做习题21.2：P12：1、3(1)(2)、4

补充作业：

1.计算：

(1)V?xV5；(2)xJ27；

(3)75x715；(4)372x478.

2.化简：

(1),27x)3；(2)■,xJiScib.

3.等边三角形的边长是3,求这个等边三角形的面积

附：板书设计

一.复习引入

—.探究新知

(一)二次根式乘法法则

(二)积的算术平方根性质

三.课堂训练

四.小结归纳

五.作业设计

教后反思:留白：（供心得体会与反思）

授课时间：年

月—日

九年级数学上册教案

备课人：杨贤

课题：二次根式的乘除

教学内容：21.2二次根式的乘除（第2课时）

知识1会.运用二次根式除法法则进行二次根式的除法运算.

教技能2.会利用商的算术平方根性质化简二次根式.

学3.理解最简二次根式概念，知道二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二

目次根式

标过程1.经历观察、比较、习，达成目标1,2,认识到除法法则只是进行除法运算的第一

方法步，之后如果需要化简，进行化简.也可运用概括二次根式除法公式，通过公式的双

向性得到商的算术平方根性质.

2.通过例题分析和学生练习分母有理化方法进行二次根式除法.

情感类比二次根式的乘法进行知识与方法的迁移，获得新知，体验探索的乐趣.

态度

重

重点：双向运用苧=后G*o,b>0）进行二次根式除法运算.

点

难难点：能使用分母有理化方法进行二次根式的除法运算

点

教学教师准备是否需要

准备学生准备课件

教学过程设计留白：

一、复习引入（供教师个

导语设计：卜节课学习了二次根式的乘法，这节课学习二次根式的除法运算.性化设计）

二、探究新知

（一）二次根式除法法则

活动1、1.填空，完成课本探究1

2.用1中所发现的规律比较大小

迈_______II；迈_______[L

氓vlVTvs

活动2、给出二次根式的除法法则

活动3、思考下列问题：

①公式中为什么要加a>0,b>0?

②两个二次根式相除其实就是不变，相除

练习：课本例4,在（1）（2）之后补充（3）J4a'4--Ja

归纳：运算的第一步是应用二次根式除法法则，最终结果尽量简化.

（二）商的算术平方根性质

活动4.将二次根式除法公式逆用得到商的算术平方根性质

完成课本例5

归纳：化简被开方式含有分数线的二次根式，就是将分子的算术平方根做分子，分母

的算术平方根做分母，再利用积的算术平方根分别化简.

例6.计算：

（1）县（2）3&:（3）提

V5后疝

分析：第一步可以把被开方数相除，然后告诉学生被开方数中不能含有分母，数必须

是整数，利用分数的基本性质将分母变成完全平方数，开方后移到根号外；也可

以直接模仿分数的基本性质和公式（五）2=a,J屋、历=痴仅20/N0）,以

去掉分母中的根号.

（三）最简二次根式概念

活动5、让学生观察所做习题结果，总结归纳结果的特点，得到最简二次根式的概念.

分析概念：1.被开方数不含分母的含义指--因数是整数，因式是整式；2.被开方数中

不能含开得尽方的因数是指--被开方数不能分解出完全平方数；被开方数中不含

开得尽方的因式是指--被开方数的每一个因式的指数都小于根指数2,因此，每

一个因式的指数都是1.

完成课本例7

补充：化简Jx2y4+（y2

注意：被开方数是和式时,结果不等于各加数的算术平方根的和.

三、课堂训练

完成课本练习.

补充：

1.+1=卜+]成立,求X的取值范围.

7X-1-VX-1

2.找出下列根式中的最简二次根式

V8xyjx2+y2

3.判断下列等式是否成立

历？=4+32点=6万

4=点足=2也

|四、小结归纳

1.二次根式除法公式的双向运用；

2.进行二次根式除法运算的一般步骤，观察式子特点灵活选取最优解法.

3.最简二次根X概念

五、作业设计

必做：习题21.2P12：2、3（3）（4）、5、6、7

选做：P13：8、9、10

附：板书设计

--复习引入三.课堂训练

二.探究新知四.小结归纳

（一）二次根式除法法则五.作业设计

（二）商的算术平方根性

（三）最简二次根式概念

教后反思:留白：（供心得体会与反思）

授课时间：年

月日

九年级数学上册教案备课

人：杨贤

课题：21.3二次根式的加减

教学内容：21.3二次根式的加减（第1课时）

知识1.知道在有理数范围内成立的运算律在实数范围内仍然成立.

技能2.能熟练将二次根式化简成最简二次根式.

教学3.会运用二次根式加减法法则进行二次根式的加减运算.

目标过程1.类比整式加减得到二次根式加减的方法，二者都是系数的加减运算.

方法2.在学习过程中体会有理数、整式、二次根式运算之间的联系，感受数的扩充过程

中运算性质和运算律的一致性以及数式通性.

重点重点：二次根式加减法运算方法

难点难点：二次根式的化筒，合并被开方数相同的最简二次根式.

教学教师准备是否需要

准备学生准备课件

教学过程设计留白：

一、复习引入（供教师个

导语设计：上节课学习了二次根式的乘除法,这节课学习二次根式的加减法运算.性化设计）

I二、探究新知

（一）二次根式加减法法则

活动1、类比计算，说明理由

①2a+3a;2VT+3VT.

②2a-3a;2VT-3VT.

+ViF

④4gg

思考：（1）在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内能否继续使用？

（2）二次根式的加减运算与整式的加减运算相同之处是什么？

（3）什么样的二次根式能够合并？

（4）模仿整式的加减运算怎样进行二次根式的加减运算？

活动2、给出二次根式的加减法法则

分析法则：二次根式加减时，先将非最简二次根式化为最简二次根式，再逆用乘法分

配律将被开方数相同的二次根式进行合并.被开方数不同的最简二次根式不能合并，

作为最后结果中的部分.

练习：①课本例1,之后补充（3）V2-Vis（4）.IL-

②课本例2,之后补充（后一、3].、3+或】

分析说明：①中补充（3）结果为负，（4）含分数线，作为例1,例2的过渡。（2）

中补充括号前是负号的.

（二）二次根式加减的应用

1.课本引例

分析：这个实际问题的解决方法可能不同，还可以先估算两个正方形的边长，，再把

它们的和与木板的长比较.

2.课本例3

分析：利用勾股定理解决实际问题，运用二次根式的加减进行计算，计算的最后一步

取近似值，使结果更精确.

三、课堂训练

完成课本练习

.补充:

1.下列各组二次根式中，化简后被开方式相同的是（）

A.-Jah与y/ah2B.y/m2+n2y/m2-n2

CB与D-/3b4与楞手

2.二次根式的计算为什么先学乘除,后学加减？还有哪块知识也是如此?

四、小结归纳

1.进行二次根式加减运算的一般步骤.

2.二次根式的熟练化简.

3.二次根式加减的实际应用.

五、作业设计

习题21.3P17：1、2

补充作业：

计算：

(1)—y/2,；(2)2J12+V27；

(3)_^9^；(4)V4x'+2J2x；

(5)J2a:(6)VlT-V3T+V2:

(7)VTT-V5T+V%--VioF；

(8)1(V2+V3)--^-(V2--x/rT)

附：板书设计

复习引入三.课堂训练

二.探究新知四.小结归纳

(-)二次根式加减法法则1.进行二次根式加减运算的一般步骤.

(二)二次根式加减的应用2.二次根式的熟练化简.

3.二次根式加减的实际应用.

五.作业设计

教后反思:留白：(供心得体会与反思)

授课时间：年

月一日

九年级数学上册教案

备课人：杨贤

课题：21.3二次根式的加减

教学内容：21.3二次根式的加减(第2课时)

知识在有理数的混合运算及整式的混合运算的基础上，使学生了解二次根式的混合运算

技能与以前所学知识的关系，在比较中求得方法，并能熟练地进行二次根式的混合运算.

1.对二次根式的混合运算与整式的混合运算及有理数的混合运算作比较，注意运算

教学过程的顺序及运算律在计算过程中的作用.并感受数的扩充过程中运算性质和运算律的

目标方法一致性以及数式通性.

2.在运算中运用多项式的乘法法则和整式的乘法公式，体会二次根式的运算与整

式的运算的联系.

情感培养学生的类比运用意识

态度

重点重点：混合运算的法则，运算律的合理使用.

难点难点：灵活运用运算律、乘法公式等技巧，使计算简便.

教学教师准备是否需要

准备学生准备课件

教学过程设计留白：

1・、复习引入1(供教师个

导语设计：到目前为止，我们已经学习了二次根式的乘除、加减运算，这节课来学习性化设计)

二次根式的混合运算.

1二、探究新知

(一)二次根式混合运算法则

活动1、类比计算，说明理由

①(2a+3b)“；(2五+30)屏

②(2a+3b)(“-b);(VT-V6-VT)

(5)(3ab-4”~)+a;(+dl2)+VT

思考：(1)在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内能否继续使用？

(2)二次根式的混合运算与整式的混合运算相同之处是什么？

(3)左边式子中的字母a、b可以表示二次根式吗？

(4)模仿整式的混合运算怎样进行二次根式的混合运算？

活动2、给出二次根式的混合运算的一般步骤.

分析法则：

(1)进行二次根式混合运算时，运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，

最后算加减，有括号的先算括号里面的(或先去掉括号).

(2)对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则仍然适用，整式、

分式的运算法则仍然适用。

(3)有括号的二次根式混合运算，去掉括号是最关键的一步.

练习：①课本例4,之后补充⑶(病_2_而)+后

4

②课本例5,之后补充(5V2+2V5)2

分析说明：①中补充(3)是不能除尽(含分数线)的类型。②中补充完全平方公

式应用.

归纳：二次根式混合运算时:乘法公式仍然适用，仔细观察式子的特征，灵活运用完

全平方公式、平方差公式来简化运算.

（二）二次根式混合运算的应用

1.若x=VI-1,贝|Jx2+x+l=

2.已知广。+&/=白-e，求（1）2.+£；（2）2x+6xy+2y2的值

3.如图，四边形ABCD中，AB_LBC,AD_LAB,AB=1,BC=CD=2,求四边形ABCD的面

积.

三、课堂训练

完成课本练习BC

.补充：、

1.海伦——秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别、是

a,b,C,设p=a+卜+c，则三角形的面积为AD

2

S=dP（p-a）。_bXp-c）

公式运用：在AA8c中，BC=4,AC=5,AB=6,求AABC的面积。

四、小结归纳

1.进行二次根式混合运算的一般步骤.

2.二次根式混合运算时，仔细观察式子的特征，灵活运用运算法则、运算律、公式来

简化运算.

2.二次根式混合运算的应用.

五、作业设计|

必做：P18：4、6、72-------7c

选做：P18：8、9//

1.已知据=2.236,求5石-9J&+闻的近似值.

4Y5

2.如图21.3-3在平行四边形ABCD中，得DEJ_AB,E点在AB上，DE=AE=EB=a,

求平行四边形ABCD的周长.

附：板书设计

二.复习引入三.课堂训练

二.探究新知四.小结归纳

（一）二次根式混合运算法则1.进行二次根式加减运算的一般步骤.

（二）二次根式混合运算的应用

2.二次根式的熟练化简.

3.二次根式加减的实际应用.

五.作业设计

教后反思:留白：（供心得体会与反思）

授课时间：年

月一日

九年级数学上册教案

备课人：杨贤

课题：第21章小结

教学内容：第21章小结

知1识1.学生构建知识体系

技能2.通过解决典型的题目，抓住本章要点；解决易出错的题目，找出错陷阱和错因.

教学3.联系实数，整式，勾股定理等相关知识进行综合运用.

目标过程1.从知识生成的本质和思想方法的本质养成学习数学的能力.

方法2.经历观察、思考、交流，熟练、灵活解题.

重点重点：深化理解二次根式的概念和性质，熟练进行二次根式的化简与运算.

难点难点：进一步理解二次根式的性质和运算法则的合理性

教学教师准备是否需要

准备学生准备课件

教学过程设计留白：

一、复习引入（供教师个

导语设计：我们已经学习了二次根式的概念，性质和运算，这节课来复习并总结本章性化设计）

知识.

二、复习提升

（一）基础巩固

•解答下列各题，注意易让你犯错的陷阱

1.若有意义，则x的取值范围是.

2.下列各式是最简二次根式的是（）

A.18aB.C.y/h+aD.Ja'

3.下列二次根式中，和反是同类二次根式的是（）

A.>/\2~B.V50"C.ViTD.V24-

4.下列运算正确的是（）

A.v'T+4=7i+V4B，2+V3=2\/3C.J（-2）Z=-2□.正=2班

5.计算：①6(2W+3VI);②7F+ViF

③/-3）；④96-56*五+56）

归纳：本组训练题目典型，易错，旨在进一步理解二次根式相关知识，熟练进行二次

根式化简与运算.

•解答下列各题，注意避免犯上组题中的错误，看是否有新的发现.

1.若有意义，则X的取值范围是.

2.下列各式中不是最简二次根式的是（）

A.yplB.Vo.5C.VTD.^/is-

3.下列二次根式中，和灰•不是同类二次根式的是（）

A.VFB.^/ig-C.V28-D.^/98-

4.下列计算正确的是（）

A.VT-VT=VTB.VI+VI=Vs

C.J（-3）2=-3D.VT-VT=1

-

5.计算：©（2V24-3AAT）4-V6;②^-+

③（VT+VT）x（VT-VT）；@（VI+i）2+（VI-V6）（V2+V6）

归纳：此组题与上组题考察内容相同，但问法不同，更具技巧性.

（二）综合运用

1.当m时，S_3,“有意义.

5—m

2.能使_q仁成立的X的取值范围是.

V.V-3-x-3

3.若正=_一贝九的取值范围是.

a

4.若"+3+-2|+（m-21y=0,,则（a+b）m的值是---------

5.当0<-3时，化简J（2a.1）2+J（a+3）2的结果是.

6.整数X满足下列两个条件：①式子J7卞和圆二7都有意义②V7的值是整数,

则X的值是.

7.以下结论正确的是.（填序号即可）

①（、/7）=。对一切实数a都成立②G=㈤对一切实数a都成立

③式子，7叫做二次根式（4）一个数的平方根和它的绝对值都是非负数

8.在实数范围内分解因式：9x，-25的结果是.

2

9.（VT+VT）x（VT-6）的计算结果是.

10.已知_],亓求/1+孙2的值.

*=2+事''=2+"3'

11.如图，有一艘船在点O处测得•小岛上的电视塔A在北偏西60°的方向上，前进

20海里到达B处，测得A在船的西北方向，问再向西航行

多少海里，船离电视塔最近？

归纳：

这组题是本章知识的深化运用，有一定的难度，与实数，有

理式，勾股定理等知识综合运用.

（三）构建知巧体系

I丽令II*上吊II-w）

赤胫招的I[加1噌烷侑II

诅冬沅留

三、小结归纳

1.复习巩固二次根式知识，及于其他相关知识的联系.

2.进•步理解本章知识，熟练解决相关问题.

3.补充课本未明确给出的概念及相关题目，拓展知识与能力.

4.构建知识体系，纳入知识系统.

四、作业设计

必做：复习题21P22：1-8

选做：P22：9-11

附：板书设计

教后反思：留白：(供心得体会与反思)

授课时间：年

月—日

第二十二章一元二次方程

单元要点分析

教材内容

1.本单元教学的主要内容.

一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题.

2.本单元在教材中的地位与作用.

一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学

习的，它也是一种数学建模的方法.学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好

高中数学的奠基工程.应该说，一元二次方程是本书的重点内容.

教学目标

1.知识与技能

了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次——解一元

二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识

解决问题.

2.过程与方法

(1)通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型.根据数学模

型恰如其分地给出一元二次方程的概念.

(2)结合八册上整式中的有关概念介绍•元二次方程的派生概念，如二次项等.

(3)通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法一直接开方法，导入用配方法解一元

二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程.

(4)通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0(aWO)导出解一元二次方程的求根公式，接

着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0,b2-4ac=0,b2-4ac<0.

(5)通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解

法解一元二次方程，并用练习巩固它.

(6)提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，并用该模型解决实际问题.

3.情感、态度与价值观

经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程,使同学们体会到通过一元二

次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解

因式法解•元•次方程的过程,使同学们体会到转化等数学思想;经历设置丰富的问题情景,

使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发

学生的学习兴趣.

教学重点

1.一党二次方程及其它有关的概念.

2.用配方法、公式法、因式分解法降次——解一元二次方程.

3.利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题.

教学难点

1.一元二次方程配方法解题.

2.用公式法解一元二次方程时的讨论.

3.建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别.

教学关键

1.分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型.

2.用配方法解一元二次方程的步骤.

3.解一元二次方程公式法的推导.

课时划分

本单元教学时间约需16课时，具体分配如下：

课时

22.1一元二次方程

课时

22.2降次——解一元二次方程

诲时

实际问题与一元二次方程,

22.3课时

教学活动、习题课、小结3

九年级数学上册教案备

课人：吴振坤

课题：一元二次方程

教学内容：•元二次方程概念及一元二次方程•般式及有关概念.

1.通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义

教学2.•元二次方程的•般形式及其有关概念，解决一些概念性的题目.

目标3.通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.

重点一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题

难点通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元•次方程的概念迁移到一元二次方

程的概念.

教学教师准备是否需要

准备学生准备课件

教学过程设计留白：

一、复习引入（供教师个

学生活动：列方程.性化设计）

问题（1）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅

相去适一丈，问户高、广各几何？”

大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高

和宽各是多少？

如果假设门的高为X尺，那么，这个门的宽为_______尺，根据题意，得

整理、化简，得：__________.

问题（2）要设计一座2m高的人体雕像，使雕像上部（腰以上）与下部（腰以下）

的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？

雕像上部的高度AC与下部高度BC应有如下关系：

——AC=——BC即nnBC2=2AC

BC2

设雕像下部高xm,于是得方程x2=2（2-x）整理得X2+2X-4=0

问题（3）有一面积为54m2的长方形，将它的•边剪短5m,另一边剪短2m,恰

好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？

如果假设剪后的正方形边长为X,那么原来长方形长是________,宽是______，根

据题意，得：_______.

整理，得：________

问题4要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛场。根据场地和

时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀情多少个队参

赛？

全部比赛的场数为4X7=28。

设应邀请X个队参赛，每个队要与其他（X—1）个队各赛一场，由于甲队对乙队

的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共（x—1）场。

2

列方程一x（x—1）=28

2

化简，得x2—x=56.

二、探索新知

学生活动：请口答下面问题.

（1）上面四个方程整理后含有几个未知数？

（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？

老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）

都有等号，是方程.

因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的

最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.

注意：一元二次方程必须满足三个条件：a只含有一个未知数；b未知数的最高次

数是2；c是整式方程。

一般地，任何一个关于X的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式

ax2+bx+c=0（a关0）.这种形式叫做一元二次方程的一般形式.

一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（aWO）后，其中ax?是二次项，a是

二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.

注意：①在判断一个方程是否是••元二次方程时，要注意二次项系数的非零性的限制。

②一般形式的左边是一个二次三项式右边为零。

③特殊形式：ax2+bx=0（a0）;ax2+c=0（a*0）;ax2-0（a*0）

如：判断下列关于X的方程是否是一元二次方程：

2

①3x?=2x-l②X2+—=0③X2=5@ax2+bx+c=0⑤(x-2)

X

(x+l)=(x+3)(x-l)

@x?+6xy+l=0⑦(m2+l)x2+2m(x—1)+3=0

又如：当a为何值时，关于x的方程(a-3)xbH+(a+3)x+4=0是一元二次方程？(a=-3)

例L将方程(8-2x)(5-2x)=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的

二次项系数、一次项系数及常数项.

分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(aW0).因此，方程(8-2x)(5-2x)

=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等.

解：去括号，得：

40-16X-10X+4X2=18

移项，得：4X2-26X+22=0

其中二次项系数为4,一次项系数为-26,常数项为22.

例2.(学生活动：请二至三位同学上台演练)将方程(x+1)2+(x-2)(x+2)

=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数：一次项、一

次项系数；常数项.

分析：通过完全平方公式和平方差公式把(x+l)2+(x-2)(x+2)=l化成ax2+bx+c=0

(aWO)的形式.

解：去括号，得：

X2+2X+1+X2-4=1

移项，合并得：2X2+2X-4=0

其中：二次项2x2,二次项系数2；一次项2x,一次项系数2；常数项-4.

三、巩固练习

教材P32练习1、2

四、应用拓展

例3.求证：关于x的方程(n?-8m+17)x2+2mx+l=0,不论m取何值，该方程都

是一元二次方程.

分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明n/-8m+17丰

0即可.

证明：m2-8m+17=(m-4)2+1

(m-4)2>0

(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1^0

二不论m取何值，该方程都是一元二次方程.

五、归纳小结(学生总结，老师点评)

本节课要掌握：

(1)一元二次方程的概念；(2)一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a^O)

和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用.

六、布置作业

1.教材P28习题22.11、2.

2.选用作业设计.

作业设计

填空题

1.方程3x2-3=2x+l的二次项系数为________,一次项系数为_________,常数项

为_________-

2.一元二次方程的一般形式是__________.

3.关于x的方程(a-1)x2+3x=0是一元二次方程，则