五年高考真题云南卷分类汇编（理科）

五年高考真题云南卷分类汇编(理科)

第一章集合与简易逻辑

2006年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷n)

(1)已知集合屈={xh<3},N={x|log2x>l},则MCN=()

(4)0(B){x|O<x<3}(C){x|l<x<3}(£»{x|2<x<3}

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国卷H)

1.设集合M={mGZ|-3<机<2},N={〃wZ|-lW〃W3},则()

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{0,1,2}D.{-101,2}

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国卷II)

2.设集合人={x(x〉3},8=<x.〈0},则A「B=()

(A)0(B)(3,4)(C)(-2,1)(D)(4+oo)

第二章函数

2005年高考数学全国卷HI试题

正在ln2,In3in5.|、

6.若a=-y,b=-y,C=-y,!4mIJZ()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c

12.计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0〜9和字母A〜F共16个计数

符号这些符号与十进制的数的对应关系如下表：

十六进制0123456789ABCDEF

十进制0123456789101112131415

例如用十六进制表示：E+D=1B,则AXB=()

A.6EB.72C.5FD.B0

2006年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷H)

(6)函数y=lnx—l(x>0)的反函数为()

(A)y=ex+'(x&R)(B)y=ex''(x&R)(C)y=ex+\x>\)(D)y=ex~\x>l)

(8)函数y=/(x)的图像与函数g(x)=log2x(x>0)的图像关于原点

对称，则4丫)的表达式为()

(田/(》)=康a>0)(8")=Iog2(-x)(x<0)

(CW)=-Iog2x(x>0)(。次x)=—log2(-x)(xV0)

(10)若<5]!1¥)=3—(：052%,则/(COSX)=()

(A)3—cos2x(S)3—sin2x(C)3+cos2x(D)3+sin2x

19

(12)函数以)=WK-川的最小值为()

i—1

(A)190(B)171(C)90(D)45

2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国卷H)

4.下列四个数中最大的是()

A.(In2>B.In(ln2)C.InV2D.In2

9.把函数y=e'的图像按向量a=(2,3)平移，得到y=/(x)的图像，则/(x)=()

A.ex-3+2B.er+3-2C.ev-2+3D.e'+2-3

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国卷H)

3.函数/(x)=」—x的图像关于()

X

A.y轴对称B.直线歹=-%对称

C.坐标原点对称D.直线y=x对称

4.若不£(。—11),a=Inx,b=21nx,c=In3x,则()

A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国卷D)

7.设。二1082万,6=1。826,。=1。828，贝1)()

(A)tz>b>c(B)a>c>b(C)6>a>c(D)6>c>a

第三章数列

2005年高考数学全国卷in试题

20.(本小题满分12分)

在等差数列｛a。｝中，公差d#O,且a2是ai和血的等比中项，已知a|,a3,aki,ak；,ak)(-akn,成

等比数列,求数列ki&K,％的通项kn

2006年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷II）

（11）设S”是等差数列｛%｝的前〃项和，若?=；，则会'=（）

*>63312

311]

（力）—QB）-（O-（〃）~

iuooy

（22）（本小题满分12分）

设数列｛0”｝的前〃项和为S”，且方程数一羽一。”=0有一根为S“一1,n—\,2,3,….

（I）求a”色；（II）｛a„）的通项公式

2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷（全国卷H）

21.（本小题满分12分）

3—a

设数列｛%｝的首项6e（O,l）,〃=2,3,4,….

（1）求｛%｝的通项公式；（2）设“=a”邓-2a”，证明bn<bn+i,其中n为正整数.

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（全国卷n）

20.（本小题满分12分）

设数列｛q｝的前〃项和为S”.已知q=a,。m=S“+3”,〃eN*.

（i）设”=s“-3”，求数列也｝的通项公式：

（H）若a.+i2a〃,neN*,求a的取值范围.

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学（全国卷D）

14.设等差数列｛%｝的前"项和为s.,.若%=5%则包=_________.

，55

19.（本小题满分12分）设数列｛%｝的前〃项和为S“，已知q=1,S.+|=44+2

（I）设"=an+i-2an,证明数列｛4｝是等比数列

（II）求数列｛4｝的通项公式。

第四章三角函数

2005年高考数学全国卷m试题

1.已知a是第三象限的角，则凡是().

2

A.第一或二象限的角B.第二或三象限的角

C.第一或三象限的角D.第二或四象限的角

7.设0Wx<2n，且Vl-sin2x=sinx-cosx,则()

A.OWxW五B.-Wx〈主CgWxW"D.^WXW主

444422

82sin2xcos-x

=()

1+cos2xcos2x

A.tanxB.tan2xC.lD.l

2

19.(本小题满分12分)

3

中，内角Z.8.C的对边分别为a/.c,已知a.b.c成等比数列，且cos8=2

4

—,—-3

(1)求cot4+cotC的值；(2)若BA・BC=—,求Q+C的值

2

2006年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷II)

(2)函数y=sin2xcos2x的最小正周期是

(4)2万(B)4兀(C);(£»

(14)已知△4BC的三个内角4B、C成等差数列，且/8=1,BC=4,则边8C上的中

线AD的长为.

(17)(本小题满分12分)

jrJr

已知向量。=（sin仇1）,5=（1,cos。），一

（I）若aLb,求仇（II）求Ia+bI的最大值.

2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷（全国卷n）

1.sin210°=（）

V3V31

A.---B.----C.-D.

222

2.函数y=binx|的一个单调增区间是（）

17.（本小题满分10分）

在△Z8C中，已知内角/=边8c=26.设内角8=x,周长为y.

（1）求函数y=/（x）的解析式和定义域；

（2）求y的最大值.

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（全国卷n）

8.若动直线x=a与函数/（x）=sinx和g（x）=cosx的图像分别交于“，N两点，则

的最大值为（）

A.1B.V2C.6D.2

17.（本小题满分10分）

54

在/\ABC中，cosB-....，cosC=—.

135

33

（I）求sin4的值；（H）设△ABC的面积S△/品=5,求8c的长.

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国卷D)

12

3.已知ABC中，cotA=--，则cosA=

(A)/、5,、512

lt(B)—(C)——(D)——

131313

TTjr

8.若将函数y=tan(0x+—)(。>0)的图像向右平移々个单位长度后，与函数

46

1T

y=tan(0x+—)的图像重合，则。的最小值为

6

111

(A)-(B)-(C)-(D)-

6432

17.(本小题满分10分)

.........................3o

设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、ccos(4—C)+cosB=展/>~=ac求B

第五章平面向量

2005年高考数学全国卷ni试题

14.已知向量市(1<,12),加=(4,5),丞:=(-1<,10),,且A.B.C三点共线，则k=.

2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国卷H)

5.在中，已知。是28边上一点，若翔=2丽，丽=10+/1而，则4=()

3

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国卷n)

13.设向量a=(1,2),〃=(2,3),若向量九1+8与向量c=(-4,—7)共线，则4=.

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国卷H)

第六章不等式

2005年高考数学全国卷in试题

16.已知在AABC中，ZACB=90°,BC=3,AC=4,P是AB上的点，则P到AC.BC距离

的的乘积的最大值是

2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国卷D)

X—1

6.不等式二一＞0的解集是()

x-4

A.(-2,1)B.(2,+00)C.(-2,1)U(2,+oo)D.(-oo,—2)U(l，+8)

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国卷H)

6已知向量a=(2,l),a»b=i0,a+b=5y[2,^\b\=()

(A)V5(B)V10(C)5(D)25

第七章直线与圆

2005年高考数学全国卷ni试题

2.已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y-l=0平行，则m的值为().

A.OB.-8C.2D.10

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国卷H)

y2x,

5.设变量x,y满足约束条件：(x+2yW2,,则z=x—3夕的最小值()

xN-2.

A.—2B.—4C.一6D.—8

11.等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y—2=0与x—7y—4=0,原点在等腰三

角形的底边上，则底边所在直线的斜率为()

、〜C11

A.3B.2C.—D.---

32

12.已知球的半径为2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2,

则两圆的圆心距等于()

A.1B.V2C.V3D.2

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国卷H)

16.已知AC、BD为圆。：/+/=4的两条相互垂直的弦，垂足为则四边形

ABCD的面积的最大值为.

第八章圆锥曲线

2005年高考数学全国卷m试题

9.已知双曲线/-]=1的焦点为F1.F2，点M在双曲线上且砺.碗=0,则点M到x轴的

距离为()

A.-B.-C.巫D.A/3

333

10.设椭圆的两个焦点分别为艮下2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若三角形BPF2

为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为()

A.—B.立二C.2-VID.VI-1

22

21.(本小题满分14分)

设/(七,必).B(X2,8)两点在抛物线y=2/上，/是N8的垂直平分线

1)当且仅当为+/取何值时，直线/经过抛物线的焦点E?证明你的结论;

2)当直线/的斜率为2时，求/在y轴上截距的取值范围

2006年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷n)

(5)已知△/8C的顶点8、C在椭圆苧+尸=1上，顶点/是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外

一个焦点在8c边上，则△XBC的周长是

(A)2v5(B)6(C)4小(D)12

Nv24

(9)已知双曲线茄一g=l的•条渐近线方程为y=1x,则双曲线的离心率为

(4)|(城(C)|

(15)过点(1,V2)的直线/将圆(x—2)2+丁=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时,

直线/的斜率k=.

(21)(本小题满分14分)

已知抛物线f=%的焦点为F,A.B是抛物线上的两动点，且卷=2无(2>0).过

/、8两点分别作抛物线的切线，设其交点为

(I)证明为定值；

(II)设的面积为S,写出S=/(力的表达式，并求S的最小值.

2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国卷H)

/V2

11.设K，乙分别是双曲线二一，的左、右焦点，若双曲线上存在点Z,使/月/6=90°

h

且»用=3|/6|,则双曲线的离心率为()

AYB.叵C.叵D.石

222

12.设/为抛物线/=4x的焦点，A,B,C为该抛物线上三点，若成+丽+定=0,

则回+同+|元卜()

A.9B.6C.4D.3

20.(本小题满分12分)

在直角坐标系xOy中，以。为圆心的圆与直线x-&=4相切.

(1)求圆。的方程；

(2)圆。与x轴相交于43两点，圆内的动点尸使忸㈤,归。川产阿成等比数列，求

方•刀的取值范围.

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国卷D)

22

9.设。＞1,则双曲线0——J=1的离心率e的取值范围是()

a2(a+1)2

A.(V2,2)B.(V2，V5)C.(2,5)D.(2,75)

15.已知产是抛物线Gj?=4x的焦点，过户且斜率为1的直线交C于48两点.设

\FA\＞但用，贝加与但目的比值等于.

21.(本小题满分12分)

设椭圆中心在坐标原点，/(2,0),8(0,1)是它的两个顶点，直线y(左＞0)与相交

于点。，与椭圆相交于E、F两点.

(I)若ED=6DF,求左的值；(II)求四边形/面积的最大值.

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学（全国卷n）

9.已知直线丁=4（x+2）（左>0）与抛物线C：V=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若

|E4|=2|FB|jWk=()

2V22272

(A)(B)—©5(D)

33

11.已知双曲线。：［一《=l（a>0,b>0）的右焦点为F且斜率为的直线交C于A、

a'b

B两点，若AF=4FB,则C的离心率为（）

69

(A)(B)i©|(D)

55

x2v21（«>/）>O）的离心率为与,过右焦点F

2一本小题满分12分）已知椭圆十方

的直线L与C相交于A、B两点，当L的斜率为1时，坐标原点O到L的距离为二。

2

（I）求a,b的值；（II）C上是否存在点P,使得当L绕F转到某一位置时，有

正近十砺成立？若存在，求出所有的P的坐标与L的方程；若不存在，说明理由。

第九章立体几何

2005年高考数学全国卷in试题

4.设三棱柱ABC-A|B|G的体积是V,P.Q分别是侧棱AA1.CG上的点，且PA=QC1（则四

棱锥B-APQC的体积为（）

B.-rC.-vD.-r

6432

11.不共面的四个定点到平面a的距离都相等，这样的平面a共有()个

A.3B.4C.6D.7

18.(本小题满分12分)四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三

角形，平面VADL底面ABCD

(1)求证ABL面VAD；

(2)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小.

2006年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷n)

(4)过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比

为()

⑷方(喘©I(。谓

7TTT

(7)如图，平面a_L平面AGa,8©4，与两平面a、£所成的角分别为彳和不，过/、

8分别作两平面交线的垂线，垂足为H、B',则

(Z)2：1(8)3：1

(C)3：2(£))4：3

(19)(本小题满分12分)如图，在直三棱柱MC—481cl中，AB=BC,D、E分别为881、

/G的中点.

(I)证明：即为异面直线8S与ZG的公垂线；

(II)设44i=4C=p4B,求二面角小一一G的大小.B\

D

C'B

A

2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷（全国卷n）

7.已知正三棱柱Z8C-48cl的侧棱长与底面边长相等，则/瓦与侧面ZCG4所成角的

正弦值等于（）

#VioV2G

A•£>・-------C・D.

4422

15.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1cm,

那么该棱柱的表面积为<

19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥S-Z8C。中，底面N8C。为正方形,

侧棱SO_L底面N8CZ）,E,尸分别为/ASC的中点.

（1）证明E户〃平面S/。；

（2）设SO=2DC,求二面角Z—Eb—。的大小.

AEB

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（全国卷n）

10.已知正四棱锥S-NBC。的侧棱长与底面边长都相等，E是S3的中点，则ZE,所

成的角的余弦值为（）

16.平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地,

写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：

充要条件①_________________________________________________;

充要条件②_________________________________________________.

（写出你认为正确的两个充要条件）

19.（本小题满分12分）如图，正四棱柱—中，44=2/8=4,点E在

CG上且GE=3EC.（I）证明：4c平面8皮＞；（H）求二面角4一。E-8的大

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学（全国卷H）

5.已知正四棱柱Z88—44GA中，A4=2Z8,E为，4中点，则异面直线BE与CR

所成角的余弦值为（）

3V1O

（A）--（E(C)——

1010

12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为

上、下、东、南、北，现在沿该正方体的一些棱将正方

体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标

的面的方位是（）

（A）南（B）北（C）西（D）下

15.设OA是球O的半径,M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到

圆C.若圆C的面积等于亍，则球O的表面积等于:

18.（本小题满分12分）如图，直三棱柱Z8C—中，ABVAC,D.E分别为〃4、

4c的中点，DEJ_平面BCG（D证明：4B=AC

（ID设二面角N—8D—C为60°,求BC与平面88所成

的角的大小。

第十章排歹（J,组合，二项式定理，概率

2005年高考数学全国卷HI试题

3.在（x-l）（x+l）8的展开式中d的系数是（）

A.-14B.14C.-28D.28

17.（本小题满分12分）甲.乙.丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响已知在某一个小

时内，甲.乙都需要照顾的概率是0.05,甲.内都需要照顾的概率是0.05,乙.丙都需要照顾的

概率是0.125

1）求甲.乙・丙三台机器在这一个小时内各自需要照顾的概率？

2）计算在这一个小时内至少有一台需要照顾的概率？

2006年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷n）

（13）在（丁+:尸的展开式中常数项是（用数字作答）

（18）（本小题满分12分）

某批产品成箱包装，每箱5件.一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意

抽取2件产品进行检验•设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余

为一等品.

（I）用f表示抽检的6件产品中二等品的件数，求f的分布列及f的数学期望；

（H）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这

批产品级用户拒绝的概率.

2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷（全国卷n）

10.从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求

星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（）

A.40种B.60种C.100种D.120种

13.（l+2x2）^x--l的展开式中常数项为.（用数字作答）

18.（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设

事件“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P（/）=0.96.

（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；

（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，J表示取出的2件产品中二等品的件数,

求J的分布列.

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（全国卷II）

6.从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同

学又有女同学的概率为（)

910C.里20

A.—B.—D.

29292929

7.（1-4）6（1+4）4的展开式中X的系数是（）

A.-4B.-3C.3D.4

18.（本小题满分12分）

购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费"元，若投保人在购买保险的一年度

内出险，则可以获得10000元的赔偿金.假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且

各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为

1-0.999”.

（I）求一投保人在一年度内出险的概率P；

（II）设保险公司开办该项险种'业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不

小于0,求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）.

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学（全国卷n）

10.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法

共有（）

（A）6种（B）12种（C）30种（D）36种

13小人-人6）4的展开式中/丁3的系数为__________；

20.（本小题满分12分）

某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人。先

采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技

术考核。

（I）求从甲、乙两组个抽取的人数；

（II）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；

cm）记g表示抽取的3名工人中男工人数，求g的分布列及数学期望。

第十一章统计初步

2005年高考数学全国卷m试题

15.设/为平面上过点（0,1）的直线，/的斜率等可能地取-2拉,-石,-手,0,东石，272,用

&表示坐标原点到1的距离，则随机变量€的数学期望E€=

2006年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷II）

（16）个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本

的频率分布直方图（如下图）.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,

要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进•步调查，则在［2500,3000）（元）

月收入段应抽出人.

“频率/组距

0.0005

0.0004

0.0003

0.0002

0.0001

月收入（元）

1000150020002500300035004000

2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷（全国卷H）

14.在某项测量中，测量结果J服从正态分布N（l,（T2）（<T>0）.若J在（0,1）内取值的概

率为0.4,则&在（0,2）内取值的概率为.

第十二章极限、导数及应用

2005年高考数学全国卷in试题

12、

5.lim（------------；-------）=（）

xfx-3x+2x-4x+3

2

22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=4"x---7,xe[O,l],

2-x

(1)求函数f(x)的单调区间和值域；

(2)设a2l,函数g(x尸x3-3a2x-2a,xd[0,l],若对于任意xy[O,l],总存在x()e[O,l],使

得g((xo)=位1)成立，求a的取值范围

2006年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷II)

(20)(本小题满分12分)设函数<x)=(x+l)ln(x+l),若对所有的xeO,都有兀0，改成

立，求实数。的取值范围.

2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国卷II)

21

8.已知曲线丁=-%-31nx的一条切线的斜率为一，则切点的横坐标为()

42

1

A.3B.2C.1D.-

2

16.已知数列的通项5〃+2,其前〃项和为S”，则limN=.

22.(本小题满分12分)已知函数/(刈=/-x.

(1)求曲线y=/(x)在点M(/,/(7))处的切线方程；

(2)设a>0,如果过点(a,6)可作曲线y=/(x)的三条切线，证明：—a<6</(a).

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国卷n)

14.设曲线y=e'”在点(0,1)处的切线与直线x+2y+l=0垂直，则。=

sinY

22.(本小题满分12分)设函数/(x)=.

2+cosx

(I)求/(x)的单调区间；

(II)如果对任何x20,都有/(x)W办，求。的取值范围.

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国卷n)

4.曲线产」一在点(1,1)处的切线方程为()

2x-l

(A)x-y-2=0(B)x+y-2a=0(C)x+4y-5=0(D)x-4y-5=0

22.(本小题满分12分)

设函数/'(x)=x2+aln(l+x)有两个极值点项,x2,且。

(I)求a的取值范围，并讨论/(x)的单调性;

(II)证明：/(x)〉l—2-2。

4

第十三章复数

2005年高考数学全国卷III试题

13.已知复数z()=3+2i,复数z满足z・zo=3z+z(),则z=

2006年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷H)

33

(/),(B)-ji(C)i(D)—i

2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国卷n)

3.设复数z满足匕2=i,则2=()

Z

A.—2+iB.—2—iC.2—iD.2+i

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国卷n)

2.设⑦6昼11且6。0,若复数(。+4)3是实数，则()

A.b2=3a2B.a2=3b2C.b~=9a2D.a2=9b2

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国卷n)

(A)・2+4i(B)-2-4i(C)2+4i(D)2-4

2005年高考理科数学全国卷ni试题及答案

题号123456789101112

答案DBBCACCBCDDA

13.1----z14.-----15.—16.3

237

17.(本小题满分12分)甲.乙.丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响已知在某••

个小时内，甲.乙都需要照顾的概率是0.05,甲.丙都需要照顾的概率是0.05,乙.丙都需要

照顾的概率是0.125

1)求甲.乙.丙三台机器在这一个小时内各自需要照顾的概率？

2)计算在这一个小时内至少有一台需要照顾的概率？

解：记“甲机器需要照顾”为事件A,“乙机器需要照顾”为事件B,“丙机器需要照顾”

为事件C,由题意三个事件互不影响，因而A,B,C互相独立

(1)由已知有：P(A.B)=P(A)*P(B)=O.05,

P(A«C)=P(A)・P(C)=0.1

P(C.B)=P(B).P(C)=0,125

解得P(A)=0.2,P(B)=0.25,P(0=0.5,

所以甲.乙.丙三台机器在这一个小时内各自需要照顾的概率分别为0.2:0.25;0.5.

(2)记事件A的对立事件为X,事件B的对立事件为口，事件C的对立事件为

则P(X)=0.8,P(B)=0.75,P(C)=0.5,

于是P(A+B+C)=1-P(X•B•C)=1-P(A)»P(B)•P(C)=0.7.

故在这一个小时内至少有一台需要照顾的概率为0.7.

18.(本小题满分12分)四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,

平面VAD_L底面ABCD

1)求证AB_L面VAD；

2)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小.

证法一：(1)由于面VAD是正三角形，设AD的中点为E,则VE

1AD,而面VAD_L底面ABCD,则VE_LAB

又面ABCD是正方形，则ABLCD,故ABL面VAD

(2)由ABL面VAD,则点B在平面VAD内的射影是A,设VD的

中点为F,连AF,BF由4VAD是正△,则AFJ_VD,由三垂线定理知BF

1VD,故/AFB是面VAD与面VDB所成的二面角的平面角

设正方形ABCD的边长为a,

贝I」在RtZWF中，,AB=a,AF=^a,tanZAFBABa273

2

故面VAD与面VDB所成的二面角的大小为arctan^^-

证明二：(I)作AD的中点0,则V0,底面ABCD.……1分

建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1,♦,02分

则A,0,0),B(-,1,0),C(--,1,0),D(--,0,0),V(0,0,

22223

—•——1V3

二N8=(0』,0),AD=(l,0,0),A7=(--,0,-y)……3分

由方•标=(0』,0)-(1,0,0)=0=万_1茄.......4分

——1、

^r=（o,i,o）-（-1,o,yh-）=o=>—^i>—ir……5分

又ABCAV=A；.AB_L平面VAD6分

(H)由(I)得/8=(0,1,0)是面VAD的法向量7分

设7=(l,y,z)是面VDB的法向量,则

（Ly,z）.（一-g）=0x=-l厂

n-VB=0百=3=（1,-1，W）……9分

______=><22n<

n-BD-0z=-------5

（-1,-1,0）=03

_________（（M,0）.d事）

V21

cos<AB.n>=--------；=~--11分

।Vn

lx-----

3

又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，所以其大小为arccos'—……12分

7

(II)证法三：由(I)得45=(0,1,0)是面VAD的法向量7分

设平面VDB的方程为mx+ny+pZ+q=0,将V.B,D三点的坐标代入可得

—m+n+q=0

2m-2qr-

m+q=0解之可得＜n=-lq令4=工,则平面VDB的方程为x-y+也Z+'=0

2232

2

p+夕=0P=F