三年高考：数学（理）真题分项版解析-06数列

三年高考（2019-2019）数学（理）试题分项版解析

第六章数列

一、选择题

1.[2019高考北京理第5题】设错误!未找到引用源。是公比为错误!未找到引用源。的

等比数列，则“错误!未找到引用源。”是“错误!未找到引用源。为递增数列”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

试题分析：对等比数列错误!未找到引用源。，若错误!未找到引用源。，则当错误!未找到引

用源。时数列错误!未找到引用源。是递减数列；若数列错误!未找到引用源。是递增数列，

则错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。，故当“错误!未

找到引用源「是“数列错误!未找到引用源。为递增数列的既不充分也不必要条件.故选C.

考点：等比数列的性质，充分条件与必要条件的判定，容易题.

【名师点睛】本题考查充要条件，本题属于基础题，充要条件问题主要命题方法有两种，•

种为判断条件是结论的什么条件？第二种是寻求结论成立的某种条件是什么？近几年高考

充要条件命题以选填题为主，表面看很简单。但由于载体素材丰富，几何、代数、三角可以

随意选材，所以涉及知识较多，需要扎实的基本功，本题以数列有关知识为载体，考查了数

列的有关知识和充要条件.

2.【2019高考北京，理6】设错误!未找到引用源。是等差数列.下列结论中正确的是（）

A-若错误!未找到引用源。’则错误!未找到引用源。B.若错误!未找到引

用源」则错误!未找到引用源。

C，若错误!未找到引用源。'则错误!未找到引用源。口.若错误!未找到引

用源。’则错误!未找到引用源。

【答案】C

【解析】先分析四个答案支，A举一反例4=2,4=-1,%=-4,4+02>0而4+弓<0,A错误，B

举同样反例4=2,4=-1,%=-4,4+/<0,而4+弓>0,B错误，下面针对C进行研究，｛4｝

是等差数列，若则可>0,设公差为d,则d>0,数列各项均为正，由于

短—31as=(3t+dY-+2d)=a；4-2qd+，一#-2aQ=，>0,贝U

a；>a网=q>,选C.

考点定位：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重

点是对知识本质的考查.

【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和比较法，本题属于基础题，由于前两个选项无

法使用公式直接做出判断，因此学生可以利用举反例的方法进行排除，这需要学生不能死套

公式，要灵活应对，作差法是比较大小常规方法，对判断第三个选择只很有效.

3.12019高考新课标1卷】已知等差数列错误!未找到引用源。前9项的和为27,错误!未

找到引用源。，则错误!未找到引用源。()

(A)100(B)99(C)98(D)97

【答案】C

【解析】

试题分析：由己知，错误!未找到引用源。所以错误!未找到引用源。故选C.

考点：等差数列及其运算

【名师点睛】我们知道,等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式,而这两组公式可看作

多元方程，利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程(组)，

因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题，所以用方程思想解决数列问题是一

种行之有效的方法.

4.12019高考浙江理数】如图，点列｛4J,｛B.｝分别在某锐角的两边上，且错误!未找到引

用源。，错误!未找到引用源。，

(错误!未找到引用源。).若错误!未找到引用源。()

A.错误!未找到引用源。是等差数列B.错误!未找到引用源。

是等差数列

C.错误!未找到引用源。是等差数列D.错误!未找到引用源。

是等差数列

【答案】A

【解析】

试题分析：s*表示点4到对面直线的距离（设为加）乘以忸四/长度一半，即=；丸氏％由题

目中条件可知|4瓦+J的长度为定值，那么我们需要知道加的关系式，过4作垂直得到初始距离瓦，那么

4.4和两个垂足构成了等腰梯形，那么加其中。为两条线的夹角，即为定值，那

么S'=：S+|44|-tan创男声/，+作差后：

-^=1（|4^^1|■0）|,都为定值，所以S*“—S”为定值•故选A.

考点：等差数列的定义.

【思路点睛】先求出错误!未找到引用源。的高，再求出错误!未找到引用源。和错误!未找到引

用源。的面积错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。，进而根据等差数列的定义可得错

误!未找到引用源。为定值，即可得错误!未找到引用源。是等差数列.

5.（2019年高考四川理数】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2019

年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该

公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）

（参考数据：|gl.l2«=0.05,1g1.3比0.11,Ig2g0.30）

（A）2019年（B）2019年（C）2020年（D）2021年

【答案】B

【解析】

试题分析：设第错误!未找到引用源。年的研发投资资金为错误!未找到引用源。，错误!未

找到引用源。，则错误!未找到引用源。，由题意，需

错误!未找到引用源。，解得错误!未找到引用源。，故从2019年该公司全年的投入的研发资

金超过200万，选B.

考点：等比数列的应用.

【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用.在实际问题中平均增长率问题可以看作是等比

数列的应用，解题时要注意把哪个作为数列的首项,然后根据等比数列的通项公式写出通项,

列出不等式或方程就可解得结论.

6.12019高考浙江，理3］已知错误!未找到引用源。是等差数列，公差错误!未找到引用

源。不为零，前错误!未找到引用源。项和是错误!未找到引用源。，若错误!未找到引用源。，

错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。成等比数列，则()

A.错误!未找到引用源。B.错误!未找到引用源。C.错误!未找到引用源。D.

错误!未找到引用源。

【答案】B.

【解析】；等差数列错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错

误!未找到引用源。成等比数列，•••错误!未找到引用源。，

错误!未找到引用源。，，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，故选B.

【考点定位】1.等差数列的通项公式及其前错误!未找到引用源。项和；2.等比数列的概念

【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列的概念等知识点，同时考查了

学生的运算求解能力，属于容易题，将错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。表示为

只与公差错误!未找到引用源。有关的表达式，即可求解，在解题过程中要注意等等差数列

与等比数列概念以及相关公式的灵活运用.

7.12019高考重庆理第2题】对任意等比数列错误!未找到引用源。，下列说法一定正确的是

()

错误!未找到引用源。成等比数列错误!未找到引用源。成等比数列

错误!未找到引用源。成等比数列错误!未找到引用源。成等比数列

【答案】D

【解析】

试题分析：因为数列错误!未找到引用源。为等比数列，设其公比为错误!未找到引用源。，则

错误!未找到引用源。

所以，错误!未找到引用源。一定成等比数列，故选D.

考点：1、等比数列的概念与通项公式；2、等比中项.

【名师点睛】本题考查了等比数列的概念与通项公式，等比数列的性质，本题属于基础题，

利用下标和相等的两项的积相等更能快速作答.

8.12019高考重庆，理2】在等差数列错误!未找到引用源。中，若错误!未找到引用源。=4,

错误!未找到引用源。=2,则错误!未找到引用源。=（）

A、-1B,0C、1D、6

【答案】8

【解析】由等差数列的性质得错误!未找到引用源。，选8.

【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式与等差数列的性质.

【名师点晴】本题可以直接利用等差数列的通项公式求解，也可应用等差数列的性质求解，

主要考查学生灵活应用基础知识的能力.是基础题.

9.12019福建，理3】等差数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和错误!

未找到引用源。’若错误!未找到引用源。’则错误!未找到引用源。（

错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找

到引用源。

【答案】C

【解析】

试题分析：假设公差为错误!未找到引用源。，依题意可得.所以错误।未

错误!未找到引用源。第吠,木

找到引用源。.故选c

考点：等差数列的性质.

【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及简单的计算问题，等差、等比数列各有五

个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列

中的运算问题转化解关于基本量的方程（组），因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作

方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.

10.12019高考福建，理8】若错误!未找到引用源。是函数错误!未找到引用源。的两个不

同的零点，且错误!未找到引用源。这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成

等比数列，则错误!未找到引用源。的值等于（

A.6B.7C.8D.9

【答案】D

'【解析】由韦达定理得a+b=p,ab=q,则。＞6力＞0,当。力,一2适当排序后成等比数歹JB寸，一2必’

为等比中项，故。力=g=4,b=：.当适当排序后成等差数寸，-2必不是等差中项，当a是等差中

■■

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项时，2。=士一2,解得。=1,b=4；当一是等差中项时，2=。-2,解得。=4,b=l,综上所述，

aaa

a+b=p=5,所以p+q=9,选D.

【考点定位】等差中项和等比中项.

【名师点睛】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项，其中分类讨论和逻辑推理是解题

核心.三个数成等差数列或等比数列，项与项之间是有顺序的，但是等差中项或等比中项是

唯•的，故可以利用中项进行讨论，属于难题.

11.[2019辽宁理8】设等差数列错误!未找到引用源。的公差为d,若数列错误!未找到

引用源。为递减数列，则（）

4.错误!未找到引用源。8.错误!未找到引用源。C.错误!未找到引用源。D.错

误!未找到引用源。

【答案】C

【解析】

试题分析：因为错误!未找到引用源。是等差数列，则错误!未找到引用源。，又由于错误！

未找到引用源。为递减数列，所以错误!未找到引用源。，故选C.

考点：1.等差数列的概念；2.递减数列.

【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式、数列的性质等，解答本题的关键，是写出等差

数列的通项，利用错误!未找到引用源。是递减数列，确定得到错误!未找到引用源。，得到

结论.

本题是一道基础题.在考查等差数列等基础知识的同时，考查考生的计算能力.

12.【2019课标2理4】已知等比数列错误!未找到引用源。满足外=3,错误!未找到引用源。

=21,则错误!未找到引用源。（）

A.21B.42C.63D.84

【答案】B

【解析】设等比数列公比为错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。，又因为错误!未找

到引用源。，所以错误!未找到引用源。，解得错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，

故选B.

【考点定位】等比数列通项公式和性质.

【名师点睛】本题考查等比数列的通项公式和性质，通过求等比数列的基本量，利用通项公

式求解，若注意到项的序号之间的关系，则可减少运算量，属于基础题.

二'填空题

1.12019高考浙江理数】设数列｛为｝的前n项和为S”.若S2=4,am=25„+l,nGN",则刃=,

§5=•

【答案】错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。

【解析】

试题分析：错误!未找到引用源。，

再由错误!未找到引用源。，又错误!未找到引用源。，

所以错误!未找到引用源。

考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的前错误!未找到引用源。项利.

【易错点睛】由错误!未找到引用源。转化为错误!未找到引用源。的过程中，一定要检验当错

误!未找到引用源。时是否满足错误!未找到引用源。，否则很容易出现错误.

2.12019高考北京理第12题】若等差数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。，

则当错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和

最大.

【答案】错误!未找到引用源。

【解析】

试题分析：由等差数列的性质，勺+a8+/=弘8，又因为与+。10<0,所以。8+%<。

所以?<0,所以S8>S?,ss>s9,故数列gj的前8项最大.

考点：等差数列的性质，前错误!未找到引用源。项和的最值，容易题.

【名师点睛】本题考查等差数列的性质及等差数列的通项公式及前错误!未找到引用源。项

和公式，本题属于基础题，由于题目提供生+a+a9>0,8+&。<0,推出错误!未找到引用

源。，从而说明数列｛a｝的前8项和最大.这个题目命题角度新颖，不需死套公式，重视对知

识的理解和对知识本质的考查.

3.【2019年高考北京理数】己知错误!未找到引用源。为等差数列，错误!未找到引用源。

为其而错误!未找到引用源。项和‘若错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，则错误!

未找到引用源。--------

【答案】6

【解析】

试题分析：：错误!未找到引用源。是等差数列’,错误!未找到引用源。’错误!未找到引用

源。’错误!未找到引用源。’错误!未找到引用源。，

’错误!未找到引用源。’故填：6.

考点：等差数列基本性质.

【名师点睛】在等差数列五个基本量错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未

找到引用源。，错误!未找到引用源。’错误!未找到引用源。中’已知其中三个量，可以根据

已知条件结合等差数列的通项公式、前错误!未找到引用源。项和公式列出关于基本量的方

程（组）来求余下的两个量，计算时须注意整体代换及方程思想的应用.

4.12019高考广东卷.理.13】若等比数列错误!未找到引用源。的各项均为正数，旦错误!

未找到引用源。，则错误!未找到引用源。.

【答案】错误!未找到引用源。.

【解析】由题意知错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，

因此错误!未找到引用源。，

因此错误!未找到引用源。.

【考点定位】本题考查等比数列的基本性质与对数的基本运算，属于中等偏难题.

【名师点晴】本题主要考查的是等比数列的性质和对数的基本运算，属于中等偏难题.解题

时要抓住关键字眼“正数”，否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是等比数列的

性质和对数的基本运算，即等比数列错误!未找到引用源。中，若错误!未找到引用源。（错误!

未找到引用源。、错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。），则错

误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。（错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错

误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。）.

5.12019高考广东，理10】在等差数列错误!未找到引用源。中，若错误!未找到引用源。，

则错误!未找到引用源。=.

错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误！

未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找

到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引

用源。【答案】错误!未找到引用源。.

【解析】因为错误!未找到引用源。是等差数列，所以错误!未找到引用源。，错误!未找到引

用源。即错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，故应填入错误!未找到引用源。.

错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误！

未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。【考点定位】等差数列的性质.

【名师点睛】本题主要考查等差数列性质及其简单运算和运算求解能力，属于容易题，解答

此题关键在于熟记错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。及其熟练运用.

6.12019高考新课标1卷】设等比数列错误!未找到引用源。满足。1+。3=10,。2+。4=5,则

0102...On的最大值为.

【答案】错误!未找到引用源。

【解析】

0,+tk=10伍(1+/)=101弓8

试题分析：设等比数列的公比为4,由丐=得，1:，解得｛1-所以

.02+。4=5[.式1+4。=51?=—

["1)_1,7

…=却T+2+."1)=8"X(1一==2方,于是当肛=3或4时,6%…冬取得最大值26=64.

考点：等比数列及其应用

【名师点睛】高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点，在解答时要注意方程思想及数

列相关性质的应用,尽量避免小题大做.

7.12019高考江苏卷】已知错误!未找到引用源。是等差数列，错误!未找到引用源。是其前

错误!未找到引用源。项和.若错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。的值是▲.

【答案】错误!未找到引用源。

【解析】由错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。，因此错误!未找到引用源。

考点：等差数列性质

【名师点睛】本题考查等差数列基本量，对于特殊数列，•般采取待定系数法，即列出关于

首项及公差的两个独立条件即可.为使问题易于解决，往往要利用等差数列相关性质，如错

误!未找到引用源。及等差数列广义通项公式错误!未找到引用源。

8.12019江苏，理7】在各项均为正数的等比数列错误!未找到引用源。中，若错误!未找到

引用源。，错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。的值是.

【答案】4.

【解析】设公比为错误!未找到引用源。，因为错误!未找到引用源。，则由错误!未找到引用源。

得错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，解得错误!未找到引用源。，所以错误!未找到

引用源。.

【考点定位】等比数列的通项公式.

【名师点晴】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为错误!未找到引用源。和错误!未

找到引用源。等基本量,通过建立方程（组）获得解.即等差数列的通项公式=4+（〃-Dd

及前错误!未找到引用源。项和公式5“="©+%）=叼+”5一为.共涉及五个量错误！

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未找到引用源。，知其中三个就能求另外两个，即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用

方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此

类问题需要抓住基本量错误!未找到引用源八错误!未找到引用源。，掌握好设未知数、列

出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.

9.12019江苏高考，11】数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。，且错误！

未找到引用源。（错误!未找到引用源。），则数列错误!未找到引用源。的前10项和为

【答案】错误!未找到引用源。

【解析】由题意得：错误!未找到引用源。

所以错误!未找到引用源。

【考点定位】数列通项，裂项求和

【名师点晴】由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为。/1=册+/（。）或川口.，

则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的

通项公式，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，转化为特殊数列

求通项.数列求和的常用方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，并项

求和法等，可根据通项特点进行选用.

10.12019高考陕西，理13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2019,则该

数列的首项为.

【答案】错误!未找到引用源。

【解析】设数列的首项为错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引

用源。，故该数列的首项为错误!未找到引用源。，所以答案应填：错误!未找到引用源。.

【考点定位】等差中项.

【名师点晴】本题主要考查的是等差中项，属于容易题.解题时一定要抓住重要字眼”中位

数”和“等差数列”，否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是等差中项的概念，

即若错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。成等差数列，则

错误!未找到引用源。称为错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的等差中项，即错

误!未找到引用源。.

11.12019高考新课标2,理16］设错误!未找到引用源。是数列错误!未找到引用源。的前n

项和，且错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。

【答案】错误!未找到引用源。

【解析】由已知得4+1=5m一乱=5附14“，两边同时除以E+i-K，得一!=一1,故数列是

邑+is粕凡

以一1为首项，―1为公差的等差数列，则二=一1一5一1)=一"，所以公=一」.

SKn

【考点定位】等差数列和递推关系.

【名师点睛】本题考查数列递推式和等差数列通项公式，要搞清楚项错误!未找到引用源。与

错误!未找到引用源。的关系，从而转化为错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的递推

式，并根据等差数列的定义判断错误!未找到引用源。是等差数列，属于中档题.

12.12019,安徽理12】数列错误!未找到引用源。是等差数列，若错误!未找到引用源。

构成公比为错误!未找到引用源。的等比数列，则错误!未找到引用源。.

【答案】错误!未找到引用源。.

【解析】

试题分析：：错误!未找到引用源。成等比，

错误!未找到引用源。，令错误!未找到引用源。，

则错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。，

...错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。，，错误!未找到引用源。.

考点：1.等差，等比数列的性质.

【名师点睛】对于等差数列与等比数列综合考查的问题，要做到：①熟练掌握等差或等比数

列的性质，尤其是错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。（等差数列），错误!未找到

引用源。（等比数列）；②注意在平时提高自己的运算求解能力，尤其是换元法在计算题中的

应用；③要熟练掌握数列中相关的通项公式，前错误!未找到引用源。项和公式等.

13.［2019高考安徽，理14］已知数列错误!未找到引用源。是递增的等比数列，错误!未

找到引用源。，则数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和等于.

【答案】错误!未找到引用源。

【解析】由题意，［马+"＞一9,解得4=1,4=8或者6=8,。4=1，而数列｛%｝是递增的等比数

勺9二G-4=8

列，所以4=1,。4=8,即，=&=8,所以4=2,因而数列｛4｝的前“项和

水1/）==2"T.

l-q1-2

【考点定位】1.等比数列的性质：2.等比数列的前错误!未找到引用源。项和公式.

【名师点睛】对于等差数列与等比数列综合考查的问题，要做到：①熟练掌握等差或等比数

列的性质，尤其是错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。（等差数列），错误!未找到

引用源。（等比数列）；②注意题目给定的限制条件，如本题中“递增”，说明错误!未找到引

用源。；③要熟练掌握数列中相关的通项公式，前错误!未找到引用源。项和公式等.

14.【2019天津，理11】设错误!未找到引用源。是首项为错误!未找到引用源。，公差为

错误!未找到引用源。的等差数列，错误!未找到引用源。为其前错误!未找到引用源。项和.若

错误!未找到引用源。成等比数列，则错误!未找到引用源。的值为

【答案】

错误!未找到引用源。

【解析】

试题分析：依题看得错误!未找到引用源。，...错误!未找到引用源.，解得

谢沃！不仅到*71rrj

源。

考点：1.等差数列、等比数列的通项公式；2.等比数列的前错误!未找到引用源。项和公

式.

【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和前错误!未找到引用源。项和公式，本题属于基

础题，利用等差数列的前错误!未找到引用源。项和公式表示出错误!未找到引用源。然后依

据错误!未找到引用源。成等比数列，列出方程求出首项.这类问题考查等差数列和等比数列

的基本知识，大多利用通项公式和前错误!未找到引用源。项和公式通过列方程或方程组就可

以解出.

15.[2019湖南理141设错误!未找到引用源。为等比数列错误!未找到引用源。的前错误!

未找到引用源。项和，若错误!未找到引用源。，且错误!未找到引用源。，错误!未找到引用

源。，错误!未找到引用源。成等差数列，则错误!未找到引用源。.

【答案】错误!未找到引用源。.

【解析】

试题分析：•••错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。成等差数

歹IJ,

•••错误!未找到引用源。，

又♦..等比数列错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。.

【考点定位】等差数列与等比数列的性质.

【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质，属于容易题，在解题过程中，需要建立

关于等比数列

基本量错误!未找到引用源。的方程即可求解，考查学生等价转化的思想与方程思想.

三、解答题

1.[2019高考新课标2理数】错误!未找到引用源。为等差数列错误!未找到引用源。的

前错误!未找到引用源。项和，且错误！未找到引用源。记西涅।土诩而川田源，其中姚海।

错误!未找到引用源。错误!

未找到引用源。表示不超过错误!未找到引用源0的最大整数’如错误!未找到引用源J

（1）求错误!未找到引用源。；

（H）求数列错误!未找到引用源。的前1000项和.

【答案】（I）错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。；（II）

1893.

【解析】

试题分析：（I）先用等差数列的求和公式求公差错误!未找到引用源。，从而求得通项错误!

未找到引用源。，再根据已知条件研、中土加利川m病表示不超过错误!未找到引用源。的

错误!未找到引用源。

最大整数，求错误!未找到引用源。；（II）对错误!未找到引用源。分类讨论，再用分段函

数表示错误！未找到引用源。，再求数列初:、山土护为旧।用相的前1000项和.

错误!未找到引用源。

试题解析：（I）设错误!未找到引用源。的公差为错误!未找到引用源。，据已知有错误!

未找到引用源。，解得错误!未找到引用源。

所以错误!未找到引用源。的通项公式为错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

（II）因为错误!未找到引用源。

所以数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。

考点：等差数列的的性质，前错误!未找到引用源。项和公式，对数的运算.

【名师点睛】解答新颖性的数学题，一是通过转化，化''新"为“旧”；二是通过深入分析,

多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别

关注创新题型的切入点和生长点.

于是，&-A„—<i>2—1=1,氏T=min｛aM,阂，2.

故dr-1A/a-l—•&-I<2—2=0,与dur-11矛盾.

所以对于任意〃21,有a“W2,即非负整数列｛a,,｝的各项只能为1或2.

因为对任意〃》1,a”W2=a”

所以4=2.

故B„—An—d„—2—\—\.

因此对于任意正整数n,存在m满足且即>=1,即数列｛册｝有无穷多项为1.

考点定位：本题考查新定义信息题，考查学生对新定义的理解能力和使用能力。

【名师点睛】本题考查学生对新定义的理解能力和使用能力，本题属于偏难问题，反映出学

生对于新的信息的的理解和接受能力，题目给出新的定义：｛a,,｝是由非负整数组成的无穷数

列，该数列前〃项的最大值记为4,第〃项之后各项&+i,&+2,…的最小值记为5”d„—

4一区，对于数列｛a,,｝给出错误!未找到引用源。这样一个新的定义，首先要理解定义，题目

的第一步错误!未找到引用源。，前一项的最大值为2,第一项后面的项的最小值为1,即错

误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。，同理求出错误!未找到

引用源。，通过第一步的计算应用新定义，加深对定义的认识进入第二步就容易一些了，第

二步证明充要条件、第三步的证明就是在第一步的基础上的深化研究，毕竟是一个新的信息

题，在一个全新的环境下进行思维，需要在原有的知识储备，还需要严密的逻辑思维和分析

问题与解决问题的能力，有得分的机会，但得满分较难.

2.12019高考广东卷.理.19】（本小题满分14分）设数列错误!未找到引用源。的前错误!未

找到引用源。项和为错误!未找到引用源。，满足错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，

且错误!未找到引用源。.

⑴求错误!未找到引用源。.错误!未找到引用源。.错误!未找到引用源。的值；

⑵求数列错误!未找到引用源。的通项公式.

【答案】⑴错误味找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。；（2）错误!未

找到引用源。.

'【解析】（1）由5M=-31-4”得S：=一£）-35-4",‘

2

整理得2nS^=（2n+1）S*+3/+4〃,因此有4^=5S2+3x2+4x2=5^2+20,

^4x15=5^+20,解得跖=8,,

同理有2s2=3&+7,即2X8=3S]+7,解得耳=3,

.=O]=S]=3»S[=8—3=5,勺=5厂$2=15—8=7：

■■■

（2）由题意得错误!未找到引用源。，

由⑴知错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，猜想错误!未找到

引用源。，

假设当错误!未找到引用源。时，猜想成立，即错误!未找到引用源。，则有错误!未找到引用

源。，

则当错误!未找到引用源。时，有错误!未找到引用源。，

这说明当错误!未找到引用源。时，猜想也成立，

由归纳原理知，对任意错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。.

【考点定位】本题考查利用错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的关系来考查数列

的通项的求解，主要考查数学归纳法的应用，属于中等题.

【名师点晴】本题上耍考查的是数列的通项公式，属于中等题.本题通过计算错误!未找到

引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。的值猜想数列错误!未找到引用源。的

通项公式，利用数学归纳法进行证明，可得数列错误!未找到引用源。通项公式.用数学归纳

法证明时一定要注意当错误!未找到引用源。时猜想也成立的推理，否则很容易出现错误.

3.[2019高考山东理数】（本小题满分12分）

己如数列错误味找到引用源。的刖"坝和％=3〃+8",错误!未找到引用源。是等差数列,

且错误!未找到引用源。

（'）求数列错误!未找到引用源。的通项公式;

3令错误味找到引用源。求数列错误味找到引用源。的前0项和%

【答案】（I）错误!未找到引用源）错误!未找到引用源」

【解析】

试题分析：（I）根据4=邑-名-及等差数列的通项公式求解；（II〉根据（I〉知数列｛cj的通项公式,

再用错位相减法求其前n项和.

试题解析：（I）由题意知当〃之2时，4=S*-Sz=6“+5,

当“=1时，°i=S]=ll,

所以4=6”+5.

设数列｛〃｝的公差为d,

%=4+Z>2ll=2b.+d

由，即《，可解得瓦=4,d=3,

产2=%+417=2^+3d

所以瓦,=3«+1.

（n）由（1）知

错误!未找到引用源。

乂错误!未找到引用源。’

得错误!未找到引用源。’

错误!未找到引用源。'

两式作差，得

错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

所以错误!未找到引用源。

考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列、等比数列的求和；3.“错位相减法”.

【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式、等比数列的求和、数列求和的

“错位相减法”.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较

高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错

位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算

能力等.

4.12019高考广东，理21】数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。，

(1)求错误!未找到引用源。的值；

(2)求数列错误!未找到引用源。前错误!未找到引用源。项和错误!未找到引用源。；

(3)令错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，证明：数列错误!未找到引用源。的前

错误!未找到引用源。项和错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。.

错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!

未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找

到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引

用源。【答案】(1)错误!未找到引用源。：(2)错误!未找到引用源。；(3)见解析.

【解析】(1)依题错误!未找到引用源。，

/.错误!未找到引用源。；

(2)依题当错误!未找到引用源。时，

错误!未找到引用源。，

错误!未找到引用源。，又错误!未找到引用源。也适合此式，

错误!未找到引用源。，

，数列错误!未找到引用源。是首项为错误!未找到引用源。，公比为错误!未找到引用源。

的等比数列，故错误!未找到引用源。；

(3)依题由错误!未找到引用源。知错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找

到引用源。，

错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。，

记错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。，

A错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上是增函数，又错误!未找到引用源。即错

误!未找到引用源。，

又错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。，

错误!未找到引用源。即错误!未找到引用源。，

错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，…，错误!未找到引用源。，

即有错误!未找到引用源。，

错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。.

【考点定位】前错误!未找到引用源。项和关系求项值及通项公式，等比数列前错误!未找到

引用源。项和，不等式放缩.

【名师点睛】本题主要考查前错误!未找到引用源。项和关系求项值及通项公式，等比数列

前错误!未找到引用源。项和，不等式放缩等，转化与化归思想的应用和运算求解能力，属

于高档题，此题（1）（2）问难度不大，但第（3）问难度较大，首先应能求得错误!未找到

引用源。，并由错误!未找到引用源。得到错误!未找到引用源。，再用构造函数（错误!未找

到引用源。）结合不等（错误!未找到引用源。）放缩方法或用数学归纳法证明错误!未找到引

用源。.

5.[2019湖南20】已知数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。，错误!未找

到引用源。.

（1）若错误!未找到引用源。为递增数列，且错误!未找到引用源。成等差数列，求错误!未找

到引用源。的值；

（2）若错误!未找到引用源。，且错误!未找到引用源。是递增数列,错误!未找到引用源。是

递减数列,求数列错误!未找到引用源。的通项公式.

【答案】（1）错误!未找到引用源。（2）错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。

【解析】

试题分析：⑴利用数列｛%｝的单调也得到4+i-4的符号去掉卜川-a」=P"的绝对值，再分布令

”=L2得到%丹之间的关系,再利用题目已知等差中项的性质列出关于P的等式,即可求出p的值.

(2)根据数列｛4｝在巴为奇数和偶数的单调性可得到%z且％<叫两不等式变为同号相加即

可信到勺“—叼?》+2—%，什1,根据JE§目可《寸|^2»—Gill|=2iu-lJ/w+2—%>H4|=22H+1结口

%—々<4>%j+2—与2斯T>产'可去掉|%-%_11=2斯-1.|%+2—%<41=2斯+1的绝对值，分”为

奇或偶数,利用嶷加法即可求出数列4的通项公式.

试题解析：(1)因为数列错误!未找到引用源。为递增数列，所以错误!未找到引用源。，则错

误!未找到引用源。，分别令错误!未找到引用源。可得错误!未找到引用源。错误!未找到引

用源。，因为错误!未找到引用源。成等差数列，所以错误!未找到引用源。错误!未找到引用

源。错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。，

当错误!未找到引用源。时，数列错误!未找到引用源。为常数数列不符合数列错误!未找到

引用源。是递增数列，所以错误!未找到引用源。.

(2)由题可得错误!未找到引用源。，因为错误!未找到引用源。是递增数列且错误!未找到引

用源。是递减数列，所以错误!未找到引用源。口错误!未找到引用源。，则有错误!未找到引

用源。，因为

(2)由题可得错误!未找到引用源。，因为错误!未找到引用源。是递增数列且错误!未找到引

用源。是递减数列,所以错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。，

两不等式相加可得错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。，

又因为错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，即错误!未

找到引用源。，

同理可得错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，

则当错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。，这错误!未找到

引用源。个等式相加可得错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。.

当错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。，这错误!未找到引用源。个等式相加可

得错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。，当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。符合，故错误!未找

到引用源。

综上错误!未找到引用源。.

【考点定位】叠加法等差数列等比数列数列单调性

【名师点睛】本题考查了等差数列的通项公式，等比数列前n项和公式、数列的单调性，累

加法求数列的通项公式，不等式的性质等，同时考查数列的基础知识和化归、分类整合等数

学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力.本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是

一道不可多得的好题，难度很大.

6.

[2019高考江苏卷】（本小题满分16分）

记错误!未找到引用源。.对数列错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。的子集

T,若错误!未找到引用源。，定义错误!未找到引用源。；若错误!未找到引用源。，定

义错误!未找到引用源。.例如：错误!未找到引用源。时.，错误!未找到引用源。.现

设错误!未找到引用源。是公比为3的等比数列，且当错误!未找到引用源。时，错误!

未找到引用源。.

（1）求数列错误!未找到引用源。的通项公式；

（2）对任意正整数错误!未找到引用源。，若错误!未找到引用源。，求证：错误!未找

到引用源。；

（3）设错误!未找到引用源。，求证：错误!未找到引用源。.

【答案】（1）错误!未找到引用源。（2）详见解析（3）详见解析

【解析】

试题分析：（1）根据及时定义，列出等量关系错误!未找到引用源。，解出首项错误!未找到

引用源。，根据等比数列通项公式写出通项公式（2）数列不等式证明，一般是以算代征，而

非特殊数列一般需转化到特殊数列，便于求和，本题根据子集关系，先进行放缩为一个等比

数列错误!未找到引用源。，再利用等比数列求和公式得错误!未找到引用源。（3）利用等比

数列和与项的大小关系，确定所定义和的大小关系：设错误!未找到引用源。则错误!未找到引

用源。因此由错误!未找到引用源。，因此错误!未找到引用源。中最大项必在A中，由（2）

得错误!未找到引用源。，（2）为（3）搭好台阶，只不过比较隐晦，需明晰其含义.

试题解析：（1）由已知得%=

于是当下—{2,4}时>=%+4=%+27%=30al.

又用=30,故3%=30,即勺=1.

所以数列M的通项公式为%=CM.

（2）因为Tu{l,Z…㈤，a）t=3^>Q,neN\

所以S,W巧+勺•!---4.=1+3d--1-3*-1=—（3*—1）<3*.

2

因此，Sy.<^+].-

（3）下面分三种情况证明.

①若错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。的子集，则错误!未找到引用源。.

②若错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。的子集，则错误!未找到引用源。.

③若错误!未找到引用源。不是错误!未找到引用源。的子集，且错误!未找到引用源。不是

错误!未找到引用源。的子集.

令错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。则错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，

错误!未找到引用源。.

于是错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，进而由错误!未找到引用源。，得错误!未找

到引用源。.

设错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。中的最大数，错误!未找到引用源。为错误!

未找到引用源。中的最大数，则错误!未找到引用源。.

由（2）知，错误!未找到引用源。，于是错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，

即错误!未找到引用源。.

又错误!未找到引用源。，故错误!未找到引用源。，

从而错误!未找到引用源。，

故错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，

即错误!未找到引用源。.

综合①②③得，错误!未找到引用源。.

考点：等比数列的通项公式、求和

【名师点睛】本题三个难点，一是数列新定义，利用新定义确定等比数列首项，再代入等比

数列通项公式求解，二是利用放缩法求证不等式，放缩目的，是将非特殊数列转化为特殊数

列，从而可利用特殊数列性质，以算代征，三是结论含义的应用，实质又是一个新定义，只

不过是新定义的性质应用.

7.12019江苏，理20】设数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!

未找到引用源。.若对任意的正整数错误!未找到引用源。，总存在正整数错误!未找到引用源。，

使得错误!未找到引用源。，则称错误!未找到引用源。是“错误!未找到引用源。数列”.

（1）若数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。，证

明：错误!未找到引用源。是“错误!未找到引用源。数列”.

（2）设错误!未找到引用源。是等差数列，其首项错误!未找到引用源。，公差错误!未找到引

用源。，若错误!未找到引用源。是“错误!未找到引用源。数列"，求错误!未找到引用源。的

值；

（3）证明：对任意的等差数列错误!未找到引用源。，总存在两个“错误!未找到引用源。数

列”错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。，使得错误!未找到引用源。错误!未找到引

用源。成立.

【答案】（1）详见解析；（2）错误!未找到引用源。；（3）详见解析.

【解析】（1）首先错误!未找到引用源。，当错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。，

所以错误!未找到引用源。，所以时任意的错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。是数列

错误!未找到引用源。中的错误!未找到引用源。项，因此数列错误!未找到引用源。是“错误!

未找到引用源。数列”.

（2）由题意错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，数列错误!未找到引用源。是“错

误!未找到引用源。数列”，则存在错误!未找到引用源。，使错误!未找到引用源。，错误!未找

到引用源。，由于错误!未找到引用源。，又错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。对

一切正整数错误!未找到引用源。都成立，所以错误!未找到引用源。.

（3）首先，若错误!未找到引用源。（错误!未找到引用源。是常数），则数列错误!未找到引用

源。前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。是数列错误!未找到引用源。中的第错

误!未找到引用源。项，因此错误!未找到引用源。是“错误!未找到引用源。数列”，对任意的

等差数列错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。（错误!未找到引用源。是公差），设错

误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。，而数列错误!未找到引用

源。，错误!未找到引用源。都是“错误!未找到引用源。数列”，证毕.

【考点定位】（1）新定义与数列的项，（2）数列的项与整数的整除；（3）构造法.

【名师点晴】在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有

时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解；解综

合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问

题的内在联系和隐含条件，明确解题方向、形成解题策略.

8.12019江苏高考，20］（本小题满分16分）

设错误!未找到引用源。是各项为正数且公差为d错误!未找到引用源。的等差数列

（1）证明：错误!未找到引用源。依次成等比数列；

（2）是否存在错误!未找到引用源。，使得错误!未找到引用源。依次成等比数列，并说明理

由；

（3）是否存在错误!未找