级数求和常用方法

级数求和的常用方法摘要级数理论及应用无论对数学学科本身还是在其他科学技术及理论的发展中都有极为重要的影响和作用，而级数求和是级数理论及应用的主要内容之一.由于级数求和的方法比较多，技巧性很强，一般很难掌握其规律，是学习的一个难点，因此掌握一些常用的级数求和方法就显得尤为重要.通过例题，分别针对常用的数项级数和函数项级数求和进行分析和讨论，试图通过对例题的分析和解决，展示级数求和的常用方法和思想，进而探索级数求和的规律，理解级数理论即合理应用，打下良好的基础，为学习者起到抛砖引玉的方法.关键词：数项级数；函数项级数；求和；常用方法SummationofseriesmethodincommonuseAbstractProgressiontheoryandapplicationstillarehavingthemostimportanteffectandfunctiononthedevelopmentofscienceandtechnologyandtheorydisregardinglogarithmicdisciplineperse,butsummationofseriesisoneofprogressiontheoryandapplicativemaincontent.Methodofsummationofseriesiscomparativelymany,thedexterityisverystrong,ingeneralverydifficulttohaveitslawinhand,beadifficultpointstudying,havesomesummationofseriesincommonusemethodinhandthereforeappearingespeciallyimportantrightaway.Carryoutanalysisanddiscussthatbythefactthattheexample,differenceareaimedatseveralprogressionandfunctionitemsummationofseriesincommonuse,trytopasstheanalysischeckinganexampleandsolve,showsummationofseriesmethodandthoughtincommonuse,probeandthenthesummationofserieslaw,understandthatprogressiontheoryisthatreasonablenessapplies,laysdownfinebasis,inorderthelearnergetsthemethodarrivingatamodestspurtoinducesomeonetocomeforwardwithhisvaluablecontributions.Keywords：Countprogression;functionseries;Sueforpeace;Methodincommonuse引言 错误!未定义书签。TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"第一章级数简介 11.1级数理论前史 11.2级数的定义 3\o"CurrentDocument"第二章数项级数的求和方法 42.1根据定义求级数的和 42.2利用已知级数直接求和法 52.3连锁消去法 72.4方程式法 错误!未定义书签。2.5利用子序列法 82.6根据幕级数理论求级数的和（利用Abel第二定理） 92.7利用Fourier级数理论求级数的和 112.8利用复数的Euler公式和DeMoiver公式 132.9利用Euler常数法 13第三章函数项级数求和 143.1微积分法 143.1.1逐项微分，求和后再积分 143.1.2逐项积分，求和后再微分 153.2微分方程式法 163.3复数项幕级数求和法（主要计算三角函数项级数的和） 18结论 错误!未定义书签。\o"CurrentDocument"参考文献 20谢辞 错误!未定义书签。第一章级数简介1.1级数发展简介数学史上级数出现的很早，在两千多年前人们就有了粗糙的级数思想.古希腊时期，亚里士多德（Aristotle，公元前384一公元前322）就知道公比小于l（大于零）的几何级数可以求出和数.芝诺（Zeno,公元前490—约公元前425）的二分法涉及到把1分解成无穷级数—+—+—+—+….阿基米德（Archimedes，公元前287一公2 22 23 24元前212）在《抛物线图形求积法》一书中，使用几何级数去求抛物线弓形面积，并且得出了级数1+—+—+—+…=4的和.中国古代《庄子・天下》中的“一尺之棰，44243 3日取其半，万世不竭”含有极限的思想，用数学形式表达出来也是无穷级数.到了中世纪，由于数学家和哲学家对一些涉及到无穷思想的悖论展开了激烈的争论，使得关于无穷级数的研究开展起来.最具代表的是法国数学家奥雷姆（NicolasOrense，1323一1352）用最初等的方法证明了调和级数Orense，1+—+—+—+—+...+—+...(1111(1111、2J"34J"5678J(11,(1,11,(1,1111—+—+—+—+—+—+—+"2J"44J"8888)+f1+11+一+一+一+一+=1+—+—+—+....222中世纪的级数理论，从本质上看没有突破性进展，它的主要贡献并不在于所得到的具体结果，而是在于促使人们接受一种新的观点，即在数学中可以自由的承认无限过程.这对后来理解无穷过程做了铺垫，为形式化处理级数奠定了思想基础.早期数学家仅凭直觉就认为级数是可以收敛的，并将级数从有限项自然的拓展为无限项使用，这导致了有限法则无限拓展的产生.17世纪，伴随着微积分的产生，许多数学家通过微积分的基本运算与级数运算的形式化结合，得到了一些初等函数的幕级数展开式，并且级数在解析运算中被普遍用来代表函数而成为微积分的有力工具，这就使得无穷级数成为微积分不可缺少的部分.1669年，牛顿(IsaacNewton，1643一1727)在他的((用无限多项方程的分析学》中，用级数反演法给出了sinx，cosx的幕级数，arcsinx，arctanx和球的级数展开.格雷戈里(JamesGregory，1638—1675)得到了tanx，secx等函数的级数，莱布尼茨(GottfriedWilhelmLeibniz，1646一1716)也在1673年独立地得到了sinx，cosx和arctanx等函数的无穷级数展开式，以及圆面积和双曲线面积的具体展开式.在微积分的早期研究中，有些函数如指数函数等超越函数的处理相当困难，然而人们发现，若用它们的级数来处理，则非常有成效.因此，无穷级数从一开始就是莱布尼茨、牛顿等人微积分工作的一个重要部分.有时使用无穷级数是为了计算一些特殊的量，如二和.以及求隐函数的显式解.17世纪后期和18世纪，为了适应航海、天文学和地理学的发展，摆在数学家们面前的问题之一是函数表的插值.由于对函数表的精确度要求较高，数学家们开始寻求较好的插值方法，牛顿和格雷戈里给出了著名的内插公式h_i]f(a+h)=f。+h颂。+ )A2f。+....c 1x21715年泰勒(BrookTaylor，1685一1731)发表了《增量方法及其逆》(MethodsIncrementrumDirectetInverse)，奠定了有限差分法的基础.17世纪，牛顿、莱布尼茨等人曾研究过有限差分问题，泰勒的工作则使有限差分法从局限的方法(如二项式定理、有理函数的长除法、待定系数法等等)过渡到了一般的方法.这本书中他给出了单变量幕级数展开的著名公式，即泰勒级数f(a+h)=f(a)+f'(a)h+f-(a)工+f(a)竺+…2! 3!泰勒是第一个发表此级数的人，但他不是第一个发现此级数的数学家.在他之前格雷戈里、牛顿、莱布尼茨、约翰•伯努利(JohnBernoulli，1667—1748)和棣莫弗(AbrahamdeMoivre，1667.1754)等数学家都研究过此级数.1717年泰勒运用这个级数求解方程，取得了很好的结果，但是他的证明是不严格的而且没有考虑收敛问题，在当时影响并不太大.直到1755年，欧拉在微分学中将泰勒级数推广应用到多元函数，增大了泰勒级数的影响力，随后拉格朗日用带余项的泰勒级数作为函数论的基础，才正式确立了泰勒级数的重要性.后来麦克劳林(Maclanrincolin，1698一1746)重新得到泰勒公式在a=0时的特殊情况，现代微积分教材中一直将这一特殊情形的泰勒级数称为“麦克劳林级数”.詹姆斯•伯努利(JamesBernoulli，1654一1705)与约翰•伯努利在级数方面做了大量的工作.詹姆斯•伯努利在1689一1704年间撰写了5篇关于无穷级数的论文，成为当时这一领域的权威，这些论文的主题是关于函数的级数表示及其求函数的微分与积分，求曲线下面积和曲线长等方面的应用，所有这些级数的应用是对微积分的重大贡献.1.2级数的概念定义1.2.1 给定一个数列k「，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式U+U FU (1)称为数项级数或无穷级数(也常简称级数)，其中un称为数项级数的通项.数项级数(1)也常写作工un或简单写作£un.n=1定义1.2.2设(/n(0｝是定义在数集E上的一个函数列，表达式U1G)+u2G)F +U(x) ,XEE称为定义在E上的函数项级数，简记为£气(x)或£un(x).n=1第二章数项级数的求和方法级数求和的问题，一般来说，是一个困难问题，没有一劳永逸的方法.因为部分和s=分和s=£an=1(s"nk1n/

k=1=Eu（X）］随n增大时，数项越来越多，除非能化为已知级数，人们只能设法把Sn写成紧缩式，才便于求极限.级数求和的常用方法一般直接用定义法、拆项法、公式及四则运算法、利用幕级数法、傅里叶级数理论和阿贝尔求和法等方法.下面对级数求和的方法举例进行说明.2.1根据定义求级数的和利用定义求级数的和就是求级数部分和数列的极限.由于当n—8时，部分和s=u+u+…+u的项数无限增多，因此为了求s的极限，必须设法把s加以简n1 2 n n n化直至解出极限.但是如何加以简化s并没有一般的方法，下面我们通过例题加以n介绍.例2.1.1T设na-—d(n-—8)工n(a—a)=s，求级数工a例2.1.1n=1 n=1分析要寻求工an之和n=1分析要寻求工an之和n=1n=1已知数列^na｝表示出来.解因解因s=£k(—an k=1)=—(a+a+•…+a)+na，则。T=勿a=na-S—d-s(n—8)，k=0于是工a=2Ea—a=d—s—a.|<1).k|<1).例2.1.2计算qcosa+q2cos2ad Fqncosnad—解记s=qcosa+q2cos2a+ +qncosna

=咒qkcoska.k=1两边同时乘以2qcosa，得2q2qcosa•S£2qk+1cosacoskank=1=£qk+ilcos(k+\)a+cos(k-1)a］，k=i即2qcosa•S=(qk+icos(n+1)a+S-qcosa)+<2+q2S—qn+2cosna，n n n借此方程便得s_qn+2cosna-qn+1cos(n+1)a+qcosa-q2n 1+q2-2qcosaqcosqcosa-q21+q2-2qcosa(当n—+8时).2.2利用公式的四则运算求级数的和利用一些常见数列的求和公式，如等差数列、等比数列等求和公式，结合其四则运算性质求出级数的和.例2.2.11而一s例2.2.11而一s=

2n352n-1+——+——+—+ +-22232n1352n-1二一+一+—+—•+ 222232n52n-1-—+—+—242n+1计算2由于Sn1 3——+—2223（1）（2）（1）-（2）式得1 1 2 2 2 2 2矿n—2*云*23*24+•,'京一疝12n-21-_11+21+2故原级数的和S=lims=1+-L-=3.nT8n1——2例2.2.2求尤一^的和.n2版+1T2n=1解：首先注意，因为=刃_1k解：首先注意，因为=刃_1k=1/_J—v-I=1-_J—v-—1(n—8)，k=1"k2 **仓> (n+1^2所以£砒=1，n=1同理可得芝 ―\=1.同理可得芝 ―\=1.n(n+17n=1又£—n2n=1兀2~6于是，根据收敛级数可以逐项加减等性质，可知£n=12£n=12n+1 1+n2侦+1/2 n2侦+1/2=£彳=2切

n2(n+17n=1n=11+ 1n2n(n+1)==2切上—2切4n2 n(n+Un=1 n=1=2x^l—2x1=M—26 32n2n+1 1[n^^+nxn+1^J2n+1

n2(n+1*所以"=£n2(n+1力n=1 n=12.3拆项消去法连锁消去法在级数求和法中是一种很重要的方法，它的关键使将级数的一般项分解成部分分式的形式.例2.3.1计算—-—+—-—+—-—H F\H.1X22X33X4 nx（n+1）TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 1 1 1解由于s= + + + H—n1X22X33X4 nx（n+1）,1 1_1n（n+1）nn+1所以S=1-1+1-1+1-1+-+1-n2233=1--11+n故原级数的和S=limSnT8说明还可以多项相消，求形如芝C+讥+2）n+3）之类的级数之和.n=1说明还可以多项相消，1例2.3.2求级数£arctan——之和.2k2k=1提示利用公式arctanx-arctany=arctan—~—,

1+x—1 1 1arctan =arctan arctan 2k2 2k-1 2k+1Xarcta—=£r, 11arctan -arctan1)k=2k2rk=1"1]2k-r,112k1]+1Jr11]=arctan1-arctan"—3J+arctan"3-arctan—5J+arctan—"5-arctan—7J+…+[arcta—-arcta—]" 2k-1 2k+1),i,1=arctan1-arctan 2k+1因止匕工arctan =因止匕工arctan =limXarctan〔2k2 nsk=1k=12k2,」一’1)=limarctan1-arctan n”" 2k+1)=arctan1.2.4利用子序列法我们知道，若S｝我们知道，若S｝与S2n 2n+1舄相同极限S，则limS=S.因此对于级数£气，nTsn 1n=1若通项a”T0（当nT+8时），则部分和的子序列S｝收敛于s，意味着S!也2n+12n收敛于s，从而£。广s.我们把S?儿S?]｝称为互补子序列.这个原理可推广到一n=1般：若£n般：若£n=1a的通项a—0（当nT+8时），S扁子序列I；TS（p是某个n Pnn=1正整数），例2.4.1则£a正整数），例2.4.1则£ann=1计算-+-2=S.我们把这种方法称为子序列法.111111 1 1+—+ ——+ + — +，，，438169326427所以只求S的极限即可nr1,1所以只求S的极限即可nr1,111)r11 1)S=—+—+——+-••+一——+—+...+—3n"222232nJ"332 3nJ解n-1此级数的通项趋近于零，1-[112n-1"2J11-111"3J1--231--3_1=2而s=limsnsr而s=limsnsr)11r\11_1V2>31_1V37例2.4.2计算1+2+r1」11r11)11r11)-_1+—+—+—_—+—+—+—_—V3745V62778V937+.解此级数的通项趋近于零，所以只求s的极限注意公式1+1+-+...+1=C+lnn+23其中C为其中C为Euler常数，£—0(当nT8时).因此，对原级数，1 1 1 1S=1+2+-+ +3--1-—-=ln3n-lnn+£-£—ln3故原级数和s=ln3.2.5利用幂级数理论求级数的和若£a收敛，则有£a=lim£ax„n n _ nn=0 n=0 "T1n=0两种常用方法：将£a转化成£ax“，对求£ax“有n=0 n=0方法1：利用逐项微分法求和S(x)=a+jx£(atn)dt，方法的效果取决于£aXn-i是否容易求和，na是否为°n=1 n=1a的简化，若a=—，p(n)为n的多项式并且含有因子n是、时效果更好.n np(n)方法2：利用逐项积分法求和对J时)如当“为多项式时，应分解如为原+D等式子的组合.由Abel第二定理：若幕级数£。产的收敛半径r>0，则幕级数在任意闭区间n=0La,a〕u(-r,r)上都一致收敛.计算收敛的数项级数£气的和，只需求£。严在n=0 n=0

(-1,1)内的和函数S1)，令xT1-0，取极限，则工a=limsG).n=0n x，-0例2.5.1求数项级数£—的和.n2nn=1解构造幕级数£—x，求得收敛半径r=2.收敛区间是(-2,2).设它的和函n2nnn=1数是s(x)，即s(x)=工1x,xG(-2,2).由幕级数可逐项可导，有n2nnn=1s'(xs'(x)=党xn-1=11+x+12+…2n2212J=上x—-—=—-—,xg(—2,2).22-x2-x,xg(-2,2).TOC\o"1-5"\h\zVxg(-2,2)，有Jxs'Odt=fx-^—,或s(x)-s(0)=ln-^.因为s(0)=0，所以0 02—,xg(-2,2).sdln三.即m—=£—x2一x2一x n2n-n=1£1 1 1 1令x=1，有ln2=£ =—+ = H—n2n22x22 3x23n=1例2.5.2计算1-1+1-1+...+(-1、1+234 n解由于lnG+x)=£(1>x(—1<x<1)n=1而£皂二^的收敛半径为1，且在x=1收敛，令xT1-0，在等式两端取极限，nnn=1() £(-[I-1 £(-1)n-1有limlnu+xz=lim" x=" limxxT1-0 xt1-01nn、nxT1-0nn=1 n=1=£(-1>-1•1nn=1艮口£一\ =limln(1+x)=ln2.TOC\o"1-5"\h\z_n xT1-0n=1.111 (A11-—+—--+…+(-1九一+…=ln2.234 n

2.6利用Fourier级数理论求级数的和先求出函数的傅里叶展开式，在确定其在收敛于内某个特殊点的值，这是用傅里叶级数求常数项级数的基本思想.傅里叶展开的基本方法：1)按系数公式计算系数

a=-\bfG)

n1a

b=-\bf(x)si

n1a)n兀x,cos dx,n2.6利用Fourier级数理论求级数的和先求出函数的傅里叶展开式，在确定其在收敛于内某个特殊点的值，这是用傅里叶级数求常数项级数的基本思想.傅里叶展开的基本方法：1)按系数公式计算系数

a=-\bfG)

n1a

b=-\bf(x)si

n1a)n兀x,cos dx,n=0,1,2,…,l，-n兀xsin dx,n=0,1,2,…，l( nn^ .nnx)acos—+bsm-^-将算出的系数代入级数f(x)~号+产n=1根据收敛定理，判定〜可改为等号的范围.若f(x址a,b］上分段光滑，则级数的和函数s(x)=<〔fq_0)；fq土0)，当xE(a,b妈f(x的间断点，fQ当xe(a,b为fG的连续点，f"+0"f(-°)，当x=a,b时，2呈周期，其他.例2.6.1设函数fG)=1<x<2兀.试求E 的值.k4

k=1解将函数fG)=在t),2兀］上展开成Fourier级数，bk=0于是f(x)~2,丸2

dx=——6切coskx(02兀2 +12 k2k=12 1coskxdx=——，k2<x<2兀)，因为f(x)在t),2兀］内连续，所以fQ=12k2

k=1

4dx由Parseval等式华+切f2+。2)=上j24dxk=1 04dxk=1兀49016兀兀490所以党—k4k=1说明求形如芝

n说明求形如芝

n2

n=1£(T*2n+1n=0E1乙E2n=1ECI之类的数值级数’可将n=11+(-1>1+(-1>——Z =S2nIn所以f(x)~工n=1—sin2nx2n，其中xeh兀］，因为f(x)在h兀］上连续.某些特殊函数在一定区域上展成Fourier级数然后取适当的某些特殊函数在一定区域上展成Fourier级数例2.6.2设f(x)=L兀一—，其中0<x〈兀.试求£ —的值.4 2 k12k-1解将函数进行奇式周期延拓，则。广0(n=0,1,2…)，b=—jxf(x)sinnxdx=—fKf—一—sinnxdxn—0 20142J0当n为奇数1-当n为偶数\\2k-1*L兀x£一一_=J—sin2kx.取x=—，rmi— 1—则U一一一x—=£L1sin2k—]42n=1一2k _4424n=1一2k 4_所以fG)=1-1+1-1+...+(-1)k+1 1I357即Ed二2k-1 4k=12.7利用复数的Euler公式和DeMoiver公式.说明用于三角级数求和问题设说明用于三角级数求和问题设z为复数，令z=cosx+isinx，pn是实数(n=0,1,2,…)有例2.7计算£n=0cosna

n!解因为复述级数e=1+产堂，令z=cos例2.7计算£n=0cosna

n!解因为复述级数e=1+产堂，令z=cosa+isina，有n!n=1ez=ecosa+isina=ecosa•eisina=ecosatossina+isinsina)=ecosacossina+iecosasinsina而1+£zn=1+£tosa+isinan!n=1n=1n!=1+£cosna+isinnan!n=1=£cosna.£sinnan!n=1n=0 n!尹cosna .于是 =ecosacossinan!n=02.8利用Euler常数法极限limnT^k工1kk=1-lnn）的值为所谓的欧拉常数，设为 c（c=0.57721…），则有=工p(cosx+isinx)nn=0=Ep(cosnx+isinnx)n=0nn=0=Epcosnx+i£psinnxnn=0乎=lnn+乎=lnn+c+a，k=1其中lim七=0，利用上式，可以求出某些数值级数的和.ns例2.8n例2.8n=1,1 、nGn+1)TOC\o"1-5"\h\zSn'^ktikn)='11一2k+1)k=1 k=1顶1J11 1)=乙一一2|—+—+…+ k "35 2n+1)k=1( 1 1 1A+21+-+-+...( 1 1 1A+21+-+-+...+—"24 2n)2n+1=乙_一2|1+++…+k"2n+1k=1=2工1一2无1一二+2k1kk1k2n+1=2(c+lnn+a)-2^c+In2n+a) +2n 2n 2n+1=2=2-2ln2+2an一2"2n-和即s=2-2ln2第三章函数项级数求和3.1微积分法3.1.1逐项微分，求和后再积分先求s'Q的紧缩式，然后再利用积分公式：sG)=sG)-s«)=』兀s'Qdtn n n n nx例3.1.1.1计算工三^2n-1n=1解不难计算其收敛半径为1，设它的和函数sG)，即Vx£(-1,1)，有灵x2n-1 x3 x5 x2n-1s\x)=乙 =x+——+——+…+ +…2n-1 3 5 2n-1n=1逐项微分，有s，(x)=1+x2+x4+ +x2n-2+ 逐项微分，Vxe(-1,1)，对上式从0到x积分，得s(x)s(x)=Jx0111+x—ln 21一xxe(-1,1)例3.1.1.2设xelo,兀L试求如下级数之和芝sinnxnn=1解若x=0，显然级数和为0.现设0<x5.记TOC\o"1-5"\h\zsQ)=Ensinkxk=1 *k=1f1「.L1]k+x-sink-xV2JV2JJ1E— , 1e. "2sin—coskx= "Isin2sin—k=1 2sin—k=1^2 2(-2n+1 .x)sin x-sin—2sin-v22sin-v2U,1)

sinn+—x"2J2sin—2于是snG)=snG)-snG)=js'G晶\o"CurrentDocument"/1x•txsin—2利用Riemann引理，nT8时上式第一项趋向零.所以级数和sG)=0,当xsG)=2G-x)当0<x<K.3.1.2逐项积分，求和后再微分例3.1.2.1计算党（n+1）vnn=0解不难计算其收敛半径为1，设它的和函数sG），即Vxe（-1,1），s(x)=工。+1)v«=1+2x+3x+ +(n+iM+—n=0Vxe(-1,1)，对上式从0到x逐项积分，有jxs(t¥t=£(n+1)jxtndtn=0=\xdt+Jx2tdt+Jx3tdt+…0 0 0=x+x2+x3+x4+ 对两边求导数，有s(x)=G1)2即^T(n+1)vn= 1、\.(1-x力n=03.2微分方程式法基本思想是为了求出幕级数或函数项级数的和函数，有时找出和函数所满足的微分方程及定解条件，解此微分方程的定解问题得到级数的和函数；主要还是设法证明级数的和满足某个方程式然后求次方程的解.TOC\o"1-5"\h\zx2 x3 x4x5 x6例3.2.1计算1+x+—+——+ + + +….21x32x41x3x52x4x6提示收敛半径为T，逐项微分可知s'(x)=1+xs(x).设G)1++x2+x3+x4+x5 +x6 +Q=+x+~2+话+2^4+1x3x5+2x4x6逐项微分sd1+x+千+号+岂土+...所以s'(x)=1+xs(x)，并且有s(0)=1.解此微分方程的初值问题

s'(x)=1+xs(x)s(0)=1得s(x)=e2r ，得s(x)=e2jxe2dt+1."oJ例3.2.2证明：若函数fG)在10,1］上连续，令f(x)=f(x),f (x)=j1f (y)dy(xe lo,11n=0,1,2，…)贝U 产f (x)在 b,1］上一致收敛于n+1 xn nn=1M)=j1ey-xf(y)dy.x证1.(先证明该级数一致收敛)，<MG-x)，1-x)<M x 2!因f(x)在lo,1］上连续，所以有界.即3M>0，使If，<MG-x)，1-x)<M x 2!f(x)=j1f0(y)dy=j1f(y)dyx xIf(x)=j1f(y)dy<MJ】G-x)dx由数学归纳法易证匕WM嵯(VnT23,一).但M"-"=Me1-x在全数轴上成立，t),1］上一致收敛.所以芝fG)在£,1］上绝对n!n=1一致收敛.2.(证明和满足微分方程)记原级数之和为TOC\o"1-5"\h\z9(x)=J1f(tdt+jidtJ1f(t并+.... ⑴x x1t1 22次式两端同时加以f(x)，再同时在h1］上取积分得j1f(th+氟d=M). (2)xx由此求得9'G)+9G)+f(x)=0. (3)从⑵式可以看出9(1)=0