微观金融技术与方法

微观金融技术与方法2023/5/291第一页，共六十二页，编辑于2023年，星期六1.1引言期望效用理论全面考虑了投资收益的风险和收益的概率分布情况，是研究不确定环境下个体消费和投资决策的主要工具。风险厌恶型投资者的投资行为本章主要建立期望效用理论的基础，和资产定价理论的微观经济基础。对待风险的态度风险厌恶的度量两基金货币分离

第一章偏好表示与风险厌恶2023/5/292第二页，共六十二页，编辑于2023年，星期六1.2一些常用的投资决策准则一、收益最大准则

收益最大准则应用于完全没有风险的情况下。由此法则，只需选择收益率最高的投资机会即可。经济学中的生产者理论和价值理论广泛使用这一准则。在金融经济学中，不确定环境下，收益最大准则不再适用。2023/5/293第三页，共六十二页，编辑于2023年，星期六二、最大期望收益准则

使用投资收益的期望值作为各种投资方案的比较，是收益最大准则在不确定情形下的推广。是否期望收益最大准则就是一个最优的决策法则呢？（否）2023/5/294第四页，共六十二页，编辑于2023年，星期六Example1Gamble(X)flipofacoinifheads,youreceive$1: X1=+1iftails,youpay$1: X2=-1E(X)=(0.5)(1)+(0.5)(-1)=0ifyouplaythisgamemanytimes,itisunlikelythatyouwillwinorloseanything2023/5/295第五页，共六十二页，编辑于2023年，星期六Example2Gamble(X)flipofacoinifheads,youreceive$10: X1=+10iftails,youpay$1: X2=-1E(X)=(0.5)(10)+(0.5)(-1)=4.50ifyouplaythisgamemanytimes,youwillbeabigwinnerHowmuchwouldyoupaytoplaythisgame:perhapsasmuchasa$4.50Butofcoursetheanswerdependsuponyourpreferencetorisk 2023/5/296第六页，共六十二页，编辑于2023年，星期六FairGamblesif thecosttoplay = expectedvalueof thesegambles theoutcomethenthegambleissaidtobeactuariallyfairCommonempiricalfindings: 1. individualsmayagreetoflipacoinforsmallamountsofmoney,

butusuallyrefusetobetlargesumsofmoney

2023/5/297第七页，共六十二页，编辑于2023年，星期六

2. peoplewillpaysmallamountsofmoneytoplayactuarially unfairgames(forexample,cost=$1,butE(X)>1)

-butwillavoidpayingalot

Whydotheseempiricalfindingsoccur?2023/5/298第八页，共六十二页，编辑于2023年，星期六圣彼得堡悖论（SaintPetersburgparadox）Gamble(X): Acoinisflippeduntilaheadappears,

Youreceive$2n,wherenisthefliponwhichtheheadoccurredstates: X1=$2 X2=$4 X3=$8 ... Xn=$2nprob: α1=1/2α2=1/4 α3=1/8... αn=1/2n

E(X)=

Paradox:

noonewouldpayanactuariallyfairpricetoplaythisgame

(noonewouldevenpayclosetothefairprice)2023/5/299第九页，共六十二页，编辑于2023年，星期六

ExplainingtheSt.PetersburgParadoxthisparadoxarisesbecauseindividualsdonotmakedecisions

basedonpurelyontheirwealth,butratherontheutilityof

theirexpectedwealth

ifwecanshowthatthemarginalutilityofwealth

declinesaswegetmorewealth,thenwecanshowthatthe

expectedvalueofagameisfiniteAssumeU(X)=ln(X), U'(X)>0 MUpositive

U"(X)<0 diminishingMUE(U(W)) =

αiU(Xi)

=

αiln(Xi)=1.39<anindividualwouldpayanamountupto1.39units

ofutilitytoplaythisgambleAndthissolvestheparadox2023/5/2910第十页，共六十二页，编辑于2023年，星期六1.3投资者行为

个人决策准则一、确定性环境：选择与偏好

在确定性环境下分析个人的理性决策行为，需要权衡不同抉择好坏优劣的价值尺度。建立在选择行为之上的偏好关系（preferencerelation）可以用一种两维的关系（binaryrelation）表述出来。2023/5/2911第十一页，共六十二页，编辑于2023年，星期六定义（偏好关系）：投资选择集上的偏好关系是指具有完备性、自反性和传递性的一个二维关系。a)

完备性（completeness）对于任何,要么要么；b)

自反性（reflexivity）对于任何有；c)

传递性（transitivity）对于任何如果有，则有。2023/5/2912第十二页，共六十二页，编辑于2023年，星期六

以上这三点是为了保障偏好表达的逻辑一致性，建立一个价值衡量标准。

二、效用函数和效用最大化

为了更方便的研究投资者的行为，我们希望偏好关系能用函数形式表示，这种函数称为效用函数。2023/5/2913第十三页，共六十二页，编辑于2023年，星期六效用函数的定义：称函数表示偏好关系，或者称函数是偏好关系的效用函数表出，若投资者认为好于，即，当且仅当，。但不是所有的偏好关系都能用函数来表示。2023/5/2914第十四页，共六十二页，编辑于2023年，星期六例子：2023/5/2915第十五页，共六十二页，编辑于2023年，星期六效用函数的存在性定理：

若证券组合集只具有有限或可数个元素时，那么定义在上的偏好关系一定可以用实值效用函数表示。（证明用数学归纳法）注：偏好关系的效用函数不是唯一的。为序数效用函数（Ordinaryutilityfunction）

2023/5/2916第十六页，共六十二页，编辑于2023年，星期六三、不确定环境：期望效用理论在不确定环境下，或证券组合是一个随机变量时，效用函数难以分析问题，则用偏好的期望效用函数表示。2023/5/2917第十七页，共六十二页，编辑于2023年，星期六期望效用函数的定义：存在实函数和上的概率测度使得，当且仅当。

显然，确定情形下的效用函数表示是期望效用函数表示的特例。有两种方式研究期望效用理论：萨维奇（Savage,1972）的主观概率方法和Von-NeumannandMorgenstern(1953)的客观概率方法。下面称为Von-NeumannandMorgenstern效用函数（NMU），定义为一元函数。2023/5/2918第十八页，共六十二页，编辑于2023年，星期六设是定义在状态空间上的概率度量，对于证券组合，定义其分布函数：

则证券组合的期望效用值为

2023/5/2919第十九页，共六十二页，编辑于2023年，星期六

若两个证券组合具有相同的分布函数，则具有相同的期望效用值。为简单起见，假设证券组合的概率分布定义在有限集上，即离散情形：记为定义在上的概率分布的集合。若则表示在概率分布下取值为的概率。证券组合的分布函数为

则投资者对证券组合的期望效用值为。2023/5/2920第二十页，共六十二页，编辑于2023年，星期六将证券组合选择视为抽彩（lottery），的元素为所有可能的各奖金数额，设，则表示获得奖金的概率。一次性抽彩（asimplelottery）记为：，对任意或表示为复合性抽彩（acompoundlottery）。称为复合性抽彩的一次性自然抽彩。投资者对抽彩的感觉仅仅取决于获得各种奖的净概率。2023/5/2921第二十一页，共六十二页，编辑于2023年，星期六假设1（复合性抽彩的约简公理，ReductionAxiom）对于任意

此即。

假设2（保序性，Orderpreserving）对于则当且仅当

2023/5/2922第二十二页，共六十二页，编辑于2023年，星期六假设3（中值性，Intermediatevalue）对于则存在唯一的使得

定理1如果定义在上的偏好关系满足假设1，2，3，那么它可以用效用函数表示。

2023/5/2923第二十三页，共六十二页，编辑于2023年，星期六假设4（独立公理或替代公理，IndependentorSubstituteAxiom）对于意味着

。命题1给定假设1，独立公理意味着保序性假设。

即在复合抽彩的约简公理下，假设4可推出假设2。2023/5/2924第二十四页，共六十二页，编辑于2023年，星期六假设5对于，有。假设6（阿基米德公理，ArchimedeanAxiom）对于

，则存在实数

使得命题2

给定假设1，独立性公理和阿基米德公理意味着假设5，假设3。2023/5/2925第二十五页，共六十二页，编辑于2023年，星期六定理2

定义在上的偏好关系，若它满足约简假设、保序假设、中值假设和假设5，在该偏好关系可以用Von-NeumannandMorgenstern效用函数（NMU）表示，并且在正仿射变化定义下，期望效用函数是唯一的。

注：仿射变换（affinetransformation)指乘以一个正数再加上一个实数。在仿射变换下，不改变原效用函数的性质。2023/5/2926第二十六页，共六十二页，编辑于2023年，星期六推论定义在上的偏好关系，若它满足约简假设、独立公理和阿基米德公理，则该偏好关系可以用NMU表示。

假设1＋假设2＋假设3＋假设5＝>NMU存在；假设1＋假设4＋假设6＝>NMU存在；2023/5/2927第二十七页，共六十二页，编辑于2023年，星期六附注1

当是一个无限集时，上述的期望效用函数表示定理不再成立；为此需要增加其它公理（连续性假设）。在经验检验中，独立公理经常被违背，从而不存在期望效用函数表示，著名的例子为：附注2阿莱的悖论（Allaisparadox）：法国经济学家阿莱（M.Allais,1988年诺贝尔经济学奖得主）在1953年，做过一组心理实验。在该实验中，被试者要求在下面两组彩票组合中进行选择。2023/5/2928第二十八页，共六十二页，编辑于2023年，星期六第一组：

A=(5百万，0；1百万，1；0，0）；

B=(5百万，0.1；1百万，0.89；0，0.01);

其中每一数对中的第一个数字表示抽奖收益，第二个为概率大小。

第二组：

C=(5百万，0；1百万，0.11；0，0.89)；

D=(5百万，0.1；1百万，0；0，0.90)。试验发现大多数人在A和B中会选择A；而在C和D中则选择D。

2023/5/2929第二十九页，共六十二页，编辑于2023年，星期六

根据期望效用表示方法，选择A就意味着：U(1百万）1>U(5百万）0.1+U(1百万)0.89+U(0)0.01,整理得：

U(1百万）0.11>U(5百万）0.1+U(0)0.01,

2023/5/2930第三十页，共六十二页，编辑于2023年，星期六

在该式两边加上U(0)0.89,得：

U(1百万）0.11＋U(0)0.89>U(5百万）0.1+U(0)0.90,

这就是说，在C和D中根据期望效用方法应当获得的结果是C。这是一种实验经济学的方法，与期望效用公理相抵触，行为经济学与行为金融学的一些理论试图对此做出合理的解释，见卡尼曼－特韦斯基著名的“展望理论”（Prospecttheory)。

2023/5/2931第三十一页，共六十二页，编辑于2023年，星期六1.4对待风险的态度1.4.1对风险的不同态度关于经济行为主体对待风险的态度，我们可以从两个方面来考察：经济行为主体是愿意确定性地接受一个博彩行为的预期价值还是宁愿接受这个博彩行为本身及其不确定的结果；经济行为主体愿意付出多少价值来避免蕴含在这个博彩行为中的风险。所谓保险统计意义上的公平博彩指的是期望收益为0的博彩，即2023/5/2932第三十二页，共六十二页，编辑于2023年，星期六a)我们将那些不愿意接受任何保险统计意义上的公平博彩的经济行为主体称之为风险厌恶者。如果经济行为主体认为是否接受一个公平博彩对于他是无差别的，那么这样的经济行为主体就是所谓风险中性者。如果经济行为主体愿意接受任何保险统计意义上的公平博彩，则我们把这类行为主体称作为风险爱好者。2023/5/2933第三十三页，共六十二页，编辑于2023年，星期六

考察一个保险统计意义上的公平博彩这个博彩有两种可能结果：其一，这个博彩行为的参与者有p的概率获得正值的收益z1；其二，有（1-p）的概率获得负值的收益z2。

图1-1经济行为主体的效用函数的凸凹性的局部性质2023/5/2934第三十四页，共六十二页，编辑于2023年，星期六1.5风险厌恶

凹函数的定义： 是一个线性空间，是上的一个凸子集，称为凹的，若任意有：

2023/5/2935第三十五页，共六十二页，编辑于2023年，星期六结论：一个博彩的期望效用严格比它的期望支付的效用小当且仅当他的效用函数是严格凹的。

在现实生活中，大多数投资者是厌恶风险的，即他们的NMU函数是凹函数。考虑一个具有严格递增效用函数的风险厌恶投资者的证券投资选择问题。2023/5/2936第三十六页，共六十二页，编辑于2023年，星期六投资者面临最大化自己期望效用值的最优投资选择问题：

上述问题的一阶条件为2023/5/2937第三十七页，共六十二页，编辑于2023年，星期六命题1

假设资本市场允许卖空，若投资者存在最优投资策略，则命题2假设资本市场允许卖空，投资者买入风险资产的充分必要条件是至少存在一种风险资产收益率均值大于无风险利率。

(通常而言，风险厌恶者只有在风险资产的平均回报率高于无风险资产的回报率时，才会在风险资产上进行投资）。

2023/5/2938第三十八页，共六十二页，编辑于2023年，星期六

进一步，我们探讨要使投资者不但对风险资产买入，而且投资者将其全部初始财富的比例以上投资于风险资产，需要什么样的条件。2023/5/2939第三十九页，共六十二页，编辑于2023年，星期六1.6经济行为主体对风险贴水或风险溢价的态度问题定义风险贴水指的是一个风险规避者为了避免承担风险而愿意放弃的投资收益或投资收率的额度。在金融学的运用中，风险贴水作为一个术语通常指的是风险证券的预期收益率与无风险资产的预期收益率之间的差额。用确定性等价收益或确定性等价收益率定义：

定义是投资者为了避免参与赌博（一个不确定性）而愿意放弃的财富或交纳的罚金的最大数量，如果2023/5/2940第四十页，共六十二页，编辑于2023年，星期六更一般的表示为：

其中这个罚金又称为马科维茨风险溢价（Markowitzriskpremium）。2023/5/2941第四十一页，共六十二页，编辑于2023年，星期六

图1－2风险贴水（溢价）概念2023/5/2942第四十二页，共六十二页，编辑于2023年，星期六称为普拉特－阿罗风险溢价（Pratt-Arrowriskpremium）。称为（普拉特－阿罗）绝对风险厌恶度量（absoluteriskaversion）。

2023/5/2943第四十三页，共六十二页，编辑于2023年，星期六

1.7风险大小的测量利用风险贴水度量利用风险贴水度量，取决于对经济行为主体的假定只是对于同一类经济行为主体，风险贴水值的大小才能衡量风险程度的大小风险贴水测度依赖于经济行为主体的主观条件，与决策者的主观评价（偏好关系）有关。

2023/5/2944第四十四页，共六十二页，编辑于2023年，星期六利用方差测度方差纯粹是从风险的数量特征来测定风险的程度（大小）的在一定意义上可以认为，方差对于风险的测度是客观的，描述了选择结果偏离预期值的程度，而与经济行为主体的主观条件无关。2023/5/2945第四十五页，共六十二页，编辑于2023年，星期六1.8风险厌恶的度量1.8.1风险厌恶度量的导出在一定的假设条件下，即经济行为主体面对的是公平博彩并且风险很小时，普拉特（Pratt1964年）和阿罗（Arrow,1970年）分别证明经济行为主体的效用函数特征

可以用来度量经济行为主体的风险厌恶程度。2023/5/2946第四十六页，共六十二页，编辑于2023年，星期六绝对风险厌恶度量对于具有二次连续可微的效用函数的经济行为主体，我们定义如下的风险厌恶度量

为阿罗－普拉特绝对风险厌恶度量。风险容忍度（risktolerance）阿罗－普拉特相对风险厌恶度量

2023/5/2947第四十七页，共六十二页，编辑于2023年，星期六

1.8.2风险厌恶度量的性质绝对风险厌恶度量，主要考察在初始财富相同的条件下，具有不同风险厌恶程度的经济行为主体的风险行为特点；相对风险厌恶度量，主要考察经济行为主体随着个人财富或消费的变化，对风险资产的投资行为的变化。即当财富增加时，其投资于有风险资产的财富比例的变化。2023/5/2948第四十八页，共六十二页，编辑于2023年，星期六普拉特定理假设是两个二次可微的，严格单调递增的凹函数，那么以下三种表述方式是等价的：命题4

假设投资者i比k具有更强的风险厌恶，若要使他们对风险投资进行等量投资，则对i来说需求的风险溢价要比k所需求大。就是说，风险厌恶倾向强的投资者对风险投资相对更小。2023/5/2949第四十九页，共六十二页，编辑于2023年，星期六定义(Arrow,1970)

前面都是假定投资者的初始财富不变。现在我们考察随着个人财富的增加投资者对风险资产的投资变化，从而可以观察投资者对风险资产的态度，是否将风险资产视为正常品（normalgoods).2023/5/2950第五十页，共六十二页，编辑于2023年，星期六阿罗－普拉特定理：对于递减绝对风险厌恶的经济行为主体，随着初始财富的增加，他对风险证券的的投资逐渐增大，也就是说，他视风险证券为正常品；对于递增绝对风险厌恶的经济行为主体，随着初始财富的增加，他对风险证券的的投资逐渐减少，也就是说，他视风险证券为劣等品；对常数绝对风险厌恶的经济行为主体，他对风险证券的的投资与初始财富的变动无关。

2023/5/2951第五十一页，共六十二页，编辑于2023年，星期六阿罗－普拉特相对风险厌恶度量：

2023/5/2952第五十二页，共六十二页，编辑于2023年，星期六

由前面可知，假若风险厌恶是绝对递减的，投资者随着他的财富增加将会加大对风险的绝对投资量，但是并不清楚相对于总财富的风险投资比例是增大、不变还是减少。为了回答这个问题，进一步借助相对风险厌恶度量概念。命题5对于递增相对风险厌恶的经济行为主体，风险证券需求的财富弹性小于1（即随着财富的增加，投资于风险资产相对于财富的比例下降）；对于常数相对风险厌恶的经济行为主体，风险证券需求的财富弹性等于1；对于递减相对风险厌恶的经济行为主体，风险证券需求的财富弹性大于1。2023/5/2953第五十三页，共六十二页，编辑于2023年，星期六1.8两基金货币分离

对于多种风险资产的市场，前面的一些结论未必成立，若投资者持有同一的风险资产组合，而对于不同初始财富水平仅仅改变风险资产组合与无风险资产之间的比例，那么在多种风险资产环境里前面的简单比较静态结果仍然有效。

两基金货币分离（twofundmonetaryseparation）：

在多种风险资产的市场，若投资者的最优证券组合对于不同的财富水平总是无风险资产和一个风险资产共同基金的线性组合，对于不同初始财富水平仅仅改变风险资产组合与无风险资产之间的比例。这种现象被称为两基金货币分离。即最优风险资产投资为

其中为与无关常数，此即

2023/5/2954第五十四页，共六十二页，编辑于2023年，星期六定理（Cass&Stiglitz,1970）假设资产市场具有多种风险资产，存在两基金货币分离现象的充要条件是效用函数满足对于所有的z。称证券组合是部分分离的（partiallyseparated），如果