数字滤波器的原理和设计方法答案

一个离散时间系统由以下差分方程表示：4.1〔a〕和〔b〕所示的分别是该系统的方框图和流程图。+3/4z11/+3/4z11/8z1〔a〕z13/4z1-1/8xz13/4z1-1/8(b)试求出图P4.2所示的两个网络的系统函数，并证明它们具有一样的极点。z12rcosz12rcosr2z1网络Ⅰx(n)rcos z1rsinrsin y(n)rcos z1网络Ⅱ解网络Ⅰ：依据信号流程图写出差分方程y(n)2rcosy(n1)r2y(n2)x(n)由差分方程得系统函数Y(z) 1H(z)1

X(z) 12rcosz1r2z11(rz1ej)(rz1ej)由上式求出极点：z1

和z2

rej网络Ⅱ：由图所示的原网络写出以下方程W(z)X(z)(rsin)z1Y(z)(rcos)z1W(z) ①Y(z)(rsin)z1W(z)(rcos)z1Y(z) ②由式①得

X(z)(rsin)z1Y(z)W(z) ③1(rcos)z1将③代入式②，得 (rsin)z1X(z)(r2sin2)z2Y Y(z) (rcos )z1Y(z)1(rcos )z1由上式得系统函数Y(z) (rsin)z1H(z) X(z) 12(rcos)z1r2z2 (rsin)z1(rz1ej)(rz1ej)极点 z1

和z2

rej可见网络Ⅰ和网络Ⅱ具有一样极点。一个因果线性离散系统由以下差分方程描述：1y(n-2)=x(n)+1

x(n-1)4 8 3试画出以下形式的信号流程图，对于级联和并联形式只用一阶节。直接Ⅰ型；直接Ⅱ型；级联型；并联型。解〔1〕直接Ⅰ型z1z11/33/4zz1z11/33/4z1-1/8直接Ⅱ型z13/41/3z1xz13/41/3z1-1/8级联型z1z1x(nz1z11/4 1/3 1/2将系统函数写成

13z1 1111H(z)111

1 z1 1 z14 2并联型z11/410/3z1x(z11/410/3z11/2将系统函数写成局部分式形式H(z)

7/3 10/31 z1 1 z1114 211用直接Ⅰ型和直接Ⅱ型构造实现以下系统函数；(1)H(z)=

52z10.5z213z13z2z3(2)H(z)=0.83z32z22z5z34z23z2解(1)依据系统函数写出差分方程y(n)3y(n1)3y(n2)y(n3)5x(n)2x(n1)0.5x(n2)直接Ⅰ型构造可依据系统函数或差分方程得到，如下图z1z12 -3z1zz1z12 -3z1z1-0.5 -3z1-1所示的直接Ⅱ型构造。z1-32z1z1-32z1-3-0.5z1-1〔2〕由系统函数写出差分方程2y(n)3y(n1)4y(n2)y(n3)4x(n)1.6x(n1)1.6x(n2)2.4x(n3)或y(n)1.5y(n1)2y(n2)0.5y(n3)2x(n)0.8x(n1)0.8x(n2)1.2x(n3)依据系统函数或差分方程得到以下图所示的直接型构造的信号流程图。z1z10.8 -1.5z1z1z10.8 -1.5z1z10.8 -2z1z11.2 -0.5交换直接型构造中两个级联系统的次序，并让3个延时器共用，便得到以下图所示的直接Ⅱ型构造的信号流程图。z1-1.50.8z1-20.8z1-1.50.8z1-20.8z1-0.51.2用级联型和并联型构造实现以下系统函数，每个二阶节都承受直接Ⅱ型构造。H(z)=

5(1z1)(11.4412z1z2)(10.5z1)(11.2728z10.81z2)/解〔1〕级联构造H(z)的表示式可直接画出级联型构造的信号流程图，如以下图所示。z1z10.5-11.2728z1z10.5-11.2728-1.4412z1-0.81 1〔2〕并联型构造H(z)用局部分式表示为H(z)12.346

3.978 3.5664.858z110.5z1 11.2728z10.81z2按上式可画出并联型构造的信号流程图，如以下图所示。-3.978z-3.978z10.5-1-3.566z11.2728-4.858z1x(n) y(n)-0.81试证明当FIRh(n)=-h(N-1-n)时，其相位具有分段线性的性质，即)()(N1)2 2具有N为奇数时，滤波器的幅度响应为H)(1)/2c(n)sin(n)n1c(n)2hN1n,n=1,2,…(N1)。2 2N为偶数时，滤波器的幅度响应为H)N/2d(n)sin[(n1)]2n1d(n)2h(

N Nn,n=1,2,…, 。2 2对于以上两种状况，幅度响应和相位响应曲线如图P4.6所示。h(n) n h(n) N-10 N-1 0 n22H() 220 02/20 (N3)2P4.6解〔1〕因滤波器的冲激响应具有反对称性质，即h(n)h(N1n)NN1 N1h( )h( 2 2H(ej因此

jN1 22n0N3

j2h(n)sin((

N12

n))jN1j2 2

2n0

2h(n)sin((N1n))2上式中nN1n置换，得2

H(ej

j(N1) 22 2n1

2h(

N12

n)sin(n)由于滤波器的频率响应为H(ej)H()ej()所以 H(ej)H()ej()N1 N1令 c(n)2h(

N), n=1,2,…, 得滤波器的幅度响应2 2H)(1)/2c(n)sin(n)n1

j)

2n0N1

h(n)e

N1h(n)enN2

jn2n0N

h(n)e

h(N 1 n)enN2N1

jn2n0N

h(n)ejn

2n0

h(n)ej(N1n)2n0

h(n)(ejnej(N1n)) N122

N1

ej (N1)2n0 N122

h(n)(ej( n)ej(2n))2N1ej

j2h(n)sin[(2

n)]n0 N 2 ej((N1))2

2h(n)sin[(

N12

n)]Nn置换n，得2

n0

)e

N(N1))22 2n1

2h(

Nn)sin[(n1)]2 2滤波器的频率响应表示为H(ej)H()ej()所以()N12 2NH)2Nn1其中

d(n)sin[(n1)]2d(n)2h(N

n), n=1,2,…,N2 2一模拟滤波器的传递函数为

3s2Ha(s)Ha

2s23s1试分别用冲激响应不变法和双线性变换法将它转换成数字滤波器的系统函数 H(z)，设T0.5。解〔1〕冲激响应不变法H(s开放成局部分式a3s2 3s2H(s) a 2s23s1 (2s1)(s1)AA 1 2AA2s1 s13s3s2s11 s3s3s22s1A

11212 s1因此 H

(s)

1 1s 2s1 s1对式①求逆拉氏变换，得ha上式中令t=nT，得

(t)(0.5e0.5tet)u(t)h(n)ha

(nT)(0.5e0.5nTenT)u(n)对上式求h(nZH(z)

n

h(nznN0

(0.5e0.5nTenT)z1 0.5 1T=0.5

1e0.5Tz1 1eTzzH(z)〔2〕双线性变换法

0.51e0.5Tz1

11e0.5z1

21z1T1z1

41z11z11z1

Ha

公式，得12 2H(z) 1z1 1z1 1z132( )212 11z1

1z1(1410z1)(1z1)32(1z1)212(1z1)(1z1)(1z1)2144z110z24562z121z2设ha

表示一模拟滤波器的冲激响应ht){ta 0,

t0用冲激响应不变法将此模拟滤波器转换成数字滤波器TT数字滤波器是稳定的，并说明此滤波器近似为低通滤波器还是高通滤波器。解在题给的冲激响应表示中，令t=nT,得h(n)ha

(nT)

{0.nT,0,

n0n0h(n)的ZH(z)

n

h(n)znn0

e0.9nTzn

11e0.9Tz1由于系统函数的极点为ze0.9T无论T为任何正值恒有ze0.9T1，即极点不行能在是稳定的。zej。由系统函数得滤波器的频率特性1H(ej)因此，滤波器的幅度响应为1e0.9Tej1e0.9Tej

1e0.9Tej1因在〔0-〕区间，随着的增加，H(ej)将下降，故该滤波器为低通滤波器。一模拟系统的转移函数为saH(s)a (sa)2b2试依据这个系统求满足以下两条件的离散系统的系统函数Hz。冲激不变条件，也就是阶跃不变条件，也就是

h(n)ha

(nT)s(n)sa

(nT)其中 s(n)sa

(nT) sa

(t)t h

解〔1〕Ha

(s)开放成局部分式H(s)

sa A A1 2a (sa)2b2 s(ajb) s(ajb)sas(ajb)1Asas(ajb)1ssas(ajb)2A s(ajb)2

0.50.5所以Ha

0.5 0.5s(ajb) s(ajb)求逆拉氏变换，得ha(t)

0.5[e(ajb)te(ajb)t]u(t)上式中令t=nT，得ha(t)

0.5[e(ajb)te(ajb)t]u(t)对上式求Z变换，得系统函数H(z)n0

h(n)zn0.5[

1 ]1eaTejbTz1 1eaTejbTz1 1eaT(cosbT)z112eaT(cosbT)z1e2aTz2(2)模拟滤波器的阶跃响应sa

与冲激响应ha

(t)有以下关系s(t)ta

h()dasa

(t)Sa

(t)ha

(t)的拉氏变换即传输函数Ha

(s)之间有以下关系

S(s)a

1H(s)s a因此 Sa

1 sass(sa)2b2S(s开放成局部分式aS(s)a

1 sass(sa)2b2A A A0 1 2 s s(ajb) s(ajb)其中sa(ssa(sa)2b2sas[s(asas[s(ajb)]A

1 ajb1 s(ajb) 2(ajb) 2(a2b2)sas[s(ajb)]Asas[s(ajb)]2 s(ajb) 2(ajb) 2(a2b2)所以S(s)(

a )1(ajb ) 1 (ajb ) 1a a2b2 s 2(a2b2) s(ajb) 2(a2b2) s(ajb)求拉氏变换，得

a ajb

ajbs(t)(

)( )e(ajb)t

( )e(ajb)ta a2b2 2(a2b2) 2(a2b2)上式中令t=nT，得阶跃响应sa

的取样值序列s(n)sas(n)sa

(nT)(nT)

a ajb)( )e(ajb)nTa2b2 2(a2b2)ajb( )e(ajb)nT}u(n)2(a2b2)对上式求Z变换，得阶跃响应sa

(t的取样值序列s(n)Z变换S〔z〕,S(z)

n

s(n)znn0

aa2b2

)(ajv2(a2b2)

)e(ajb)nTajb( )e(ajb)nT}zn2(a2b2)

1(ajb)

1(ajb) a 1

1 [ 2

2 ]a2b2

1z1

a2b2

1eaTejbTz1

1eaTejbTz1 a 1 1a2b21z1 a2b21[(ajb)(1eaTejbTz1)(ajb)(1eaTejbTz1)][2 1eaT(ejbTejbT)z1e2aTz2 a 1 1a2b21z1 a2b21[2aaeaT(ejbTejbT)z1jbeaT(ejbTejbT)z1][2 1eaT(ejbTejbT)z1e2aTz2 a 1 1 {a[acos(bT)bsin(bT)]eaTz1}a2b21z1 a2b2 12cos(bT)eaTz1e2aTz2由于阶跃响应sa

(t的取样值序列s(n)ZS(zh(n)Z变换即系统函数H〔z〕之间有以下关系1S(z)

1z1

H(z)或H(z)(1z1)S(z)所以最终得系统函数a 1z1H(z)

a2b2a

2{a[acos(bT)bsin(bT)]eaTz1}12cos(bT)eaTz1e2aTz2一延迟为的抱负限带微分器的频率响应为jejr, H(j) ca 0, 其他〔1〕 用冲激不变法，由此模拟滤波器求数字滤波器的频率响应 Hd

(ej)，假定 。T 〔2〕

h(n是d

=0〔1

d

(n)可用hd

(n)的延迟表示，即

h(n)d

(nn)hd h其中n 为整数。确定这些值应满足的条件及延迟n 的值。解(1)ha

(t)，用冲激响应不变法由它得到h”d

(n。设h”(nH(ej)表示，则有d由于

n

h”(n)ejnd

1T

H(jj2k)a T TH(j)0, /Ta c所以T 1 1 jTH(ej) H(j ) (j )e T, T ak

T T T c设数字微分器的单位取样响应是hd

(n)，则有h(n)Thd a

(nT)Th”d

(n)因此，数字微分器的频率响应为d

n

h(n)ejTd

n

h”(n)ejdTjej, T T T c0 其他(2)由于0时数字微分器的频率响应为T T j , H d(ej) T c0, 其他所以由hd

d(n)h (nnd

知道H(e)dn

h(n)ejnd

hdn

(nn

)ejn

j ejn,H(ej) Td 0,

Tc其他将式②与式①比照，得n T由于n

为整数，所以T图P4.11表示一数字滤波器的频率响应。假设它是用冲激响应不变法由一个模拟滤波器的频率响应映射得到的。试用作图的方法求该模拟滤波器的频率响应特性。假设它是用双线性变换得到的，重做。11/411/42/3/3 0 /3 2/3 图P4.11解用冲激不变法设计一个数字巴特沃斯低通滤波器。这个滤波器的幅度响应在通带截止频率p

0.26130.75dB，在阻带截止频率T

0.4018处的衰减不小20dB。解(1)求滤波器的阶数N100.1

11 100.10.7511lg[ p

lg[ ]2100.1

1 100.1201N Tlg(P)Tlg[0.1885]1

lg(0.2613)0.4018

21.3602

7.2777lg0.6503 0.1863N=83dB截止频率c 1 1[100.1p其中

1]p

2Nc

T

1]2NT 1

1[100.1 1]2Np p

0.2613[100.10.751]280.9111 1

1[100.1 1]2NT T

[100.1201]280.9472因此 0.9111c

0.9472选取c

0.9111，准确满足通带指标要求，超过阻带指标要求。〔3〕H(s的极点a k 916 8 k=0，16 8 k=0，1，…，15k

k),其中，左半s平面的极点为16s0.9111ej9160

0.1778j0.893616 s0.9111ej(9)116 16 s0.9111ej(9)216

0.5062j0.75750.7575j0.506216 316

0.8963j0.1778*0.9111e4 3

j(93)16 8

0.8936j0.1778ss*5 2

j(9)16 4

0.7575j0.50626 1

j(9)16 8j9

0.5062j0.7575ss*7 0

16 0.1778j0.8963求传输函数Ha

(s)H(s)a

C”N12

0.911183 (ss)(ss*)(ss)(ss*)k kk0

k kk0 0.47483

[s2(sk

s*)ssk

s*]k 0.4748(s20.3556s0.83)(s21.0124s0.83)(s21.515s0.83)(s21.7872s0.83) 0.4748s84.67s710.905s616.536s517.7s413.715s37.515s22.671s0.475用查表法求传输函数Ha

(s)8阶归一化巴特沃斯滤波器的传输函数H1

”(s)aH”(s)a s85.125s713.137s621.846s525.688s421.846s35.125s1s sH(ss用a c

H0.9111

(s)0.4748H(s)a

s84.67s710.905s616.536s517.7s413.715s37.515s22.671s0.475与〔4〕结果一样。fs

1.5kHz处衰减不12dB。解将f .和f转换成数字频率 和p T p T 2fp 2f

20233000T T1 T 101 f 10103a Tp T

10420230.210430000.3T T〔2〕求滤波器的阶数N3dB截止频率c取T=1，将数字频率 和 预畸变，得预畸变后的和p T p T 2 0.2 tan p2tan 2tan(0.1)0.649841 p T 2 2 2

0.3 tan T2tan 2tan(0.15)1.0190537 T

T 2 2因此，模拟低通滤波器的指标为20lgH

(j)20lgHp

(j0.649841)1.8①20lgHa

(jT)

20lgHa

(j1.0190537)12由巴特沃斯滤波器的幅度平方函数得20lgH(j)10lg1(a c将式②代入式①，得

)2N ②0.64984120lgH(j)10lg1(a p c

)2N

1.8③1.019053720lgH(j)10lg1(a T c联立求解式③和式④，得

)2N

12④100.11.811lg[ ]2N 100.1121lg(0.649841)1.0190537

0.73055153.7389420.1953899N=4。将N=410.649841(100.11.81)c

24c11

0.70631.0190537(100.1121)c

24

0.7274c2取 c

1(2

)0.7168。c2也可以直接引用公式来求N和c都是预畸变后的值。

但应留意对双线性变换法来说公式中的 和p T〔3〕Ha

(s的极点 k 5s k

ej(2NN2)

0.7168ej(84k)，k=0,1,…,7其中，左半s平面的极点为8s 0.7168ej580

0.2743j0.66238 s0.7168e(5)18

0.6623j0.2743s s*0.6623j0.27432 1s s3

*0.2743j0.6623求传输函数H

(s)aN

0.71684H(s)a

N2k0

c(ss)(ss*)k k

1k0

(ss)(ss)k k 0.2641k0

[s2(sk

s*)ssk

s*]k 0.264(s20.5486s0.5139)(s21.3246s0.5139) 0.264s41.8732s31.7545s20.9626s0.264用查表法求传输函数Ha

(s)4阶归一巴特沃斯滤波器的传输函数H1

”(s)aH”(s)a

s42.6131s33.4142s22.6131s1s sH(s中的s用a c

取代，得0.7168cH(s) 4ca s42.6131s33.4142c

2.6131c

3s4c 0.264s42.611 0.38 0.264s41.87s3 1.7

3.41422.7168 2.6s314 0.264

74168

0.71与〔4〕的结果近似相等。用双线性变换法设计一个数字切比雪夫低通滤波器，各指示与题4.13一样。解通过频率变换法设计一个数字切比雪夫高通滤波器，从模拟到数字的转换承受双线性变换法，假设取样频率为2.4kHz，在频率160Hz3dB，在40Hz处衰减不小48dB。解〔1〕fp

f折合成数字频率T Tp p

2f fs

216022400 15

2f

T T fs

2400 30T=2”2tan ptan(12)0.2126p T 2 2 152 1 ” tan Ttan( )0.0524T T 2 2 30将高模拟滤波器的频率指标映射成模拟低同滤波器的频率指标 1p ”p

10.2126

4.7040 1T ”T

10.0524

19.0840依据模拟低同滤波器的指标求c

N或0.9977

p

100.1310.9953c p

4.7040k pT

4.70400.246519.0840100.1

11 100.1311d[ p ]2[ ]23.9717103100.1 1 100.1481Tarch

1 1archN d 3.97171031 1arch archk 0.2465N=3。

arch251.7814arch4.0568

2.9941求模拟低通滤波器的平方幅度函数 xc

4.70400.21263阶切比雪夫多项式的平方中V2(x)[x(4x23)]216x624x49x2316(0.2126)624(0.2126)49(0.2126)20.0014860.04940.40682因此，3阶切比雪夫模拟低通滤波器的平方幅度函数为1H(j)2a

1e2V2(/)3 c 110.9953(0.0014860.04940.40682) 10.0014760.048840.404821求模拟低通滤波器的传输函数将js代入Ha

(j2，得H(s)H(s)H(j)2a a a js 10.00147s60.0488s40.4048s21Ha

(s)Ha

(s)的极点：s 0.701j4.25170s1.40471s s2

*0.701j4.2517s 0.701j4.25143s 1.40474s s*0.701j4.25175 3s0

ss1

s33阶切比雪夫模拟低通滤波器，其传输函数为H(s) Ba (ss1

)(ss0B

)(ss)2(ss1

)(ss0

)(ss*)0B(ss1

)[s2(s0

s*)ss0 B

0(s1.4047)[s21.402s18.5684]N=3Ha

(0)1，因此BHa最终得

(0)1.404718.568426.08326.083H(s)a

(s1.4047)[s21.402s18.5684]26.083s32.8067s220.5385s26.083留意，模拟低通滤波器的传输函数在左半s3个极点也可以用下式求出：s ak

sin(2N

k)bN

cos(2N

k)，k=0,1,…,2N-1N其中常量ab用以下公式计算21a210.9977210.997721a1(a1a1)0.5(2.418212.41821)N N 3 320.5(1.34220.7451)0.2986NNb1(a1a1)0.5(1.34220.7451)1.0437NN2a 0.29864.70401.4046ca 1.04374.70404.9096cc

和bc

的值代入计算极点的公式，得左半s平面的极点如下：s 1.4046sin(0

)j4.9096cos(

230.7023j4.2518s1.4046sin( )j4.9096cos( )1.40461 23 3 23 3s s2

*0.7023j4.2518这里的结果与前面的数值根本一样。将模拟低通滤波器转换成模拟高通滤波器1/s代换模拟低通滤波器的传输函数中的s，得到模拟高通滤波器的传输函数23.083s2H(s)a 12.8067s20.5385s226.083s3用双线性变换法将模拟高通滤波器映射成数字高通滤波器1z1设T=2。将s 代入模拟高通滤波器的传输函数，得1z11z126.083( )3H(z) 1z1 1z1

1z1

1z112.8067 20.5385( )226.083( )31z1 1z1 1z1 0.5172(13z13z2z3)11.0293z11.1482z20.1458z3设h(n)N=，见图P4.1〔。h(n)是h(n)的四点循环移位，1即h(n)h((n4))2 1

2 1R(n)6求出h(nDFT与h

(nDFTH

(k)H

(k及相位1 2 1 2(k)与 (k)之间的关系。1 2h(n和h

(n)可以构成两个FIR1 2器吗？为什么？时延为多少？假设h(n对应一个截止频率为1

的低通滤波器，如图P4.16〔b〕所示，那么认为h(n)1

h(n也对应一个截止频率为2

的低通滤波器合理吗？为什么？n0 1 2 3 4 5 6 7 /2 0 /2 图P4.16解(1)由于h(nh(N1n)和h

(n)h

(N1n，所以当N=8时，有1N1

1 23 j2

27 j2nkH(k) h(n)nk h(n)e 8 h(n)e 81 1 N 1 1n0 n0 n43n0

h(n)ej2nk818

7n4

h(7n)ej2nk81888

h(n)[ej2nk

ej2(7n)k]8n083

18h(n)[ej2nk8

2ej8(n1)k]1n0H(k)32n0

h(n)[ej2nk