弹性力学简明教程第七章

弹性力学简明教程第七章第一页，共六十六页，编辑于2023年，星期六第七章空间问题的基本理论在空间问题中，应力、形变和位移等基本知函数共有15个，且均为x,y,z的函数。空间问题的基本方程，边界条件，以及按位移求解和按应力求解的方法，都是与平面问题相似的。因此，许多问题可以从平面问题推广得到。第二页，共六十六页，编辑于2023年，星期六取出微小的平行六面体，考虑其平衡条件:(a)(b)平衡条件§7-1平微分方程第三页，共六十六页，编辑于2023年，星期六第四页，共六十六页，编辑于2023年，星期六由x轴向投影的平衡微分方程

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平衡微分方程得因x,y,z轴互相垂直，均为定向，量纲均为L，所以x,y,z坐标具有对等性，其方程也必然具有对等性。所以式(a)的其余两式可通过式(c)的坐标轮换得到。第五页，共六十六页，编辑于2023年，星期六由三个力矩方程得到三个切应力互等定理，，。(x,y,z)(d)空间问题的平衡微分方程精确到三阶微量平衡微分方程第六页，共六十六页，编辑于2023年，星期六思考题在图中，若点o的x向正应力分量为，试表示点A,B的正应力分量。第七页，共六十六页，编辑于2023年，星期六在空间问题中，同样需要解决：由直角坐标的应力分量…

…，来求出斜面(法线

）上的应力。斜面应力§7-2物体内任一点的应力第八页，共六十六页，编辑于2023年，星期六斜面全应力p可表示为两种分量形式：p沿坐标向分量:p沿法向和切向分量:斜面应力第九页，共六十六页，编辑于2023年，星期六取出如图的包含斜面的微分四面体，斜面面积为ds,则x面，y面和z面的面积分别为lds,mds,nds。由四面体的平衡条件，得出坐标向的应力分量,1.求第十页，共六十六页，编辑于2023年，星期六第十一页，共六十六页，编辑于2023年，星期六2.求将向法向投影，即得第十二页，共六十六页，编辑于2023年，星期六从式(b)、(c)可见,当六个坐标面上的应力分量确定之后，任一斜面上的应力也就完全确定了。第十三页，共六十六页，编辑于2023年，星期六设在边界上，给定了面力分量则可将微分四面体移动到边界点上，并使斜面与边界重合。这时，斜面应力分量应代之为面力分量，从而得出空间问题的应力边界条件:3.在上的应力边界条件应力边界条件第十四页，共六十六页，编辑于2023年，星期六式(b),(c)用于V内任一点，表示斜面应力与坐标面应力之间的关系；注意:

式(d)只用于边界点上，表示边界面上的面力与坐标面的应力之间的关系，所以必须将边界面方程代入式(d)。第十五页，共六十六页，编辑于2023年，星期六1.假设面(l,m,n)为主面，则此斜面上斜面上沿坐标向的应力分量为

代入,得到斜面应力§7-3主应力最大与最小的应力第十六页，共六十六页，编辑于2023年，星期六考虑方向余弦关系式,有式(a),(b)是求主应力及其方向余弦的方程。(b)第十七页，共六十六页，编辑于2023年，星期六2.求主应力将式(a)改写为求主应力第十八页，共六十六页，编辑于2023年，星期六上式是求解l,m,n的齐次代数方程。由于l,m,n不全为0，所以其系数行列式必须为零，得展开，即得求主应力的方程,求主应力第十九页，共六十六页，编辑于2023年，星期六(c)求主应力第二十页，共六十六页，编辑于2023年，星期六3.应力主向设主应力的主向为。代入式(a)中的前两式，整理后得应力主向第二十一页，共六十六页，编辑于2023年，星期六由上两式解出。然后由式(b)得出应力主向再求出及。第二十二页，共六十六页，编辑于2023年，星期六4.一点至少存在着三个互相垂直的主应力（证明见书上）。第二十三页，共六十六页，编辑于2023年，星期六5.应力不变量若从式(c)求出三个主应力，则式(c)也可以用根式方程表示为，因式(c)和(f)是等价的方程，故的各幂次系数应相等，从而得出应力不变量第二十四页，共六十六页，编辑于2023年，星期六(g)应力不变量第二十五页，共六十六页，编辑于2023年，星期六

∴分别称为第一、二、三应力不变量。这些不变量常用于塑性力学之中。式(g)中的各式，左边是不随坐标选择而变的；而右边各项虽与坐标的选择有关，但其和也应与坐标选择无关。第二十六页，共六十六页，编辑于2023年，星期六6.关于一点应力状态的结论：六个坐标面上的应力分量完全确定一点的应力状态。只要六个坐标面上的应力分量确定了，则通过此点的任何面上的应力也完全确定并可求出。(2)一点存在着三个互相垂直的应力主面及主应力。一点应力状态第二十七页，共六十六页，编辑于2023年，星期六(3)三个主应力包含了此点的最大和最小正应力。（4）一点存在三个应力不变量（5）最大和最小切应力为，作用于通过中间主应力、并且“平分最大和最小正应力的夹角”的平面上。设第二十八页，共六十六页，编辑于2023年，星期六思考题1.试考虑：对于平面问题若则此点所有的正应力均为,切应力均为0，即存在无数多的主应力。2.试考虑：对于空间问题若则此点所有的正应力均为,切应力均为0，即存在无数多的主应力。第二十九页，共六十六页，编辑于2023年，星期六

空间问题的几何方程，可以从平面问题推广得出：(a)几何方程§7-4几何方程及物理方程第三十页，共六十六页，编辑于2023年，星期六从几何方程同样可得出形变与位移之间的关系：⑴若位移确定，则形变完全确定。几何方程从数学上看，由位移函数求导数是完全确定的，故形变完全确定。第三十一页，共六十六页，编辑于2023年，星期六—沿x,y,z向的刚体平移；⑵若形变确定，则位移不完全确定。

∵由形变求位移，要通过积分，会出现待定的函数。若，还存在对应的位移分量为

(b)几何方程—绕x,y,z轴的刚体转动角度。第三十二页，共六十六页，编辑于2023年，星期六若在边界上给定了约束位移分量，则空间问题的位移边界条件为(c)位移边界条件第三十三页，共六十六页，编辑于2023年，星期六(d)其中由于小变形假定，略去形变的二、三次幂。体积应变体积应变定义为第三十四页，共六十六页，编辑于2023年，星期六

空间问题的物理方程

可表示为两种形式：⑴应变用应力表示，用于按位移求解方法：(x,y,z)(e)物理方程第三十五页，共六十六页，编辑于2023年，星期六⑵应力用应变表示，用于按应力求解方法：(x,y,z)(f)由物理方程可以导出（g）是第一应力不变量，又称为体积应力。—称为体积模量。第三十六页，共六十六页，编辑于2023年，星期六

结论：空间问题的应力，形变，位移等十五个未知函数，它们都是(x,y,z)的函数。这些函数在区域V内必须满足3个平衡微分方程，6个几何方程及6个物理方程，并在边界上满足3个应力或位移的边界条件。结论第三十七页，共六十六页，编辑于2023年，星期六思考题若形变分量为零，试导出对应的位移分量（7-17）。第三十八页，共六十六页，编辑于2023年，星期六

空间轴对称问题

采用柱坐标表示轴对称问题如果弹性体的几何形状，约束情况和所受的外力都为轴对称，则应力，形变和位移也是轴对称的。§7-5轴对称问题的基本方程第三十九页，共六十六页，编辑于2023年，星期六对于空间轴对称问题：所有物理量仅为(ρ,z)的函数。应力中只有(a)形变中只有位移中只有轴对称问题第四十页，共六十六页，编辑于2023年，星期六而由得出为。平衡微分方程：第四十一页，共六十六页，编辑于2023年，星期六

几何方程：其中几何方程为第四十二页，共六十六页，编辑于2023年，星期六物理方程：应变用应力表示：(d)第四十三页，共六十六页，编辑于2023年，星期六应力用应变表示：其中第四十四页，共六十六页，编辑于2023年，星期六边界条件：

一般用柱坐标表示时，边界面均为坐标面。所以边界条件也十分简单。在柱坐标中，坐标分量的量纲，方向性，坐标线的性质不是完全相同的。因此，相应的方程不具有对等性。第四十五页，共六十六页，编辑于2023年，星期六思考题试由空间轴对称问题的基本方程，简化导出平面轴对称问题的基本方程。第四十六页，共六十六页，编辑于2023年，星期六第七章例题例题1例题2例题3例题第四十七页，共六十六页，编辑于2023年，星期六例题1设物体的边界面方程为F（x,y,z)=0,试求出边界面的应力边界条件；若面力为法向的分布拉力q(x,y,z),应力边界条件是什么形式？第四十八页，共六十六页，编辑于2023年，星期六（x,y,z)其中解：当物体的边界面方程为F（x,y,z)=0时，它的表面法线的方向余弦为第四十九页，共六十六页，编辑于2023年，星期六当面力为法向分布拉力q时，(x,y,z)因此，应力边界条件为代入应力边界条件，得(x,y,z)第五十页，共六十六页，编辑于2023年，星期六例题2

试求图示弹性体中的应力分量，(a)正六面体弹性体置于刚体中，上边界受均布压力q作用，设刚性体与弹性体之间无摩擦力。(b)半无限大空间体，其表面受均布压力q的作用。第五十一页，共六十六页，编辑于2023年，星期六qqooxxzz图7-4第五十二页，共六十六页，编辑于2023年，星期六解：图示的(a),(b)两问题是相同的应力状态：x向与y向的应力、应变和位移都是相同的，即等。对于(a)，有约束条件，；对于(b)，有对称条件。而两者的，因此，由物理方程，第五十三页，共六十六页，编辑于2023年，星期六即可解出第五十四页，共六十六页，编辑于2023年，星期六例题３

图示的弹性体为一长柱形体，在顶面z=0上有一集中力F作用于角点，试写出z=0表面上的边界条件。xyobbaaz图7-5P第五十五页，共六十六页，编辑于2023年，星期六解：本题是空间问题，z=0的表面是小边界，可以应用圣维南原理列出应力的边界条件。即在z=0的表面边界上，使应力的主矢量和主矩，分别等于面力的主矢量和主矩，两者数值相等，方向一致。由于面力的主矢量和主矩是给定的，因此，应力的主矢量和主矩的数值，应等于面力的主矢量和主矩的数值；第五十六页，共六十六页，编辑于2023年，星期六而面力主矢量和主矩的方向，就是应力主矢量和主矩的方向。应力主矢量和主矩的正负号和正负方向，则根据应力的正负号和正负方向来确定。对于一般的空间问题，列积分的应力边界条件时，应包括六个条件。对于图示问题这六个积分的边界条件是：第五十七页，共六十六页，编辑于2023年，星期六第五十八页，共六十六页，编辑于2023年，星期六7-1答案7-2提示：原(x,y,z)的点移动到(x+u,y+v,z+w)位置，将新位置位置代入有关平面、直线、平行六面体和椭球面方程。7-3见本书的叙述。第七章习题的提示和答案

第五十九页，共六十六页，编辑于2023年，星期六7-4空间轴对称问题比平面轴对称问题增加了一些应力、形变和位移，应考虑它们在导出方程时的贡献。7-5对于一般的空间问题，柱坐标中的全部应力、形变和位移分量都存在，且它们均为的函数。在列方程时应考虑它们的贡献。第六十页，共六十六页，编辑于2023年，星期六

(一)本章学习的重点及要求

1.研究弹性力学问题,可以从一般问题到特殊问题,如从空间问题到平面问题。也可以由特殊问题到一般问题。本书就是先研究平面问题，然后再研究空间问题的。这样可以由浅入深，循序渐进，便于理解。第七章教学参考资料第六十一页，共六十六页，编辑于2023年，星期六弹性力学中的各种问题，都具有相似性，其未知函数，基本方程和边界条件，以及求解的方法都是类似的。我们可以把空间问题看成是平面问题的推广。2.直角坐标系(x,y,z)中一般的空间问题，包含有15个未知函数（6个应力分量，6个应变分量及3个位移分量），且它们均为三个坐