《电动力学》第13讲

《电动力学》第13讲第二章静电场（5）§2.5格林函数法教师姓名：宗福建单位：山东大学物理学院2015年10月27日山东大学物理学院宗福建2上一讲复习拉普拉斯（Laplace）方程的通解可以用分离变量法求出。先根据界面形状选择适当的坐标系，然后在该坐标系中由分离变量法解拉普拉斯方程。最常用的坐标系有球坐标系和柱坐标系。这里我们写出用球坐标系得出的通解形式（见附录Ⅱ）。球坐标用（R，θ，φ）表示，R为半径，θ为极角，φ为方位角。山东大学物理学院宗福建3上一讲复习拉氏方程在球坐标系中的通解为式中anm,bnm,cnm和dnm为任意常数，在具体问题中有边界条件定出。Pmn(cosθ)为缔和勒让德(Legendre)函数。山东大学物理学院宗福建4上一讲复习若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，则电势φ不依赖于方位角φ，这情形下通解为

Pn（cosθ）为勒让德函数，an和bn由边界条件确定。

山东大学物理学院宗福建5上一讲复习Pn（cosθ）为勒让德函数山东大学物理学院宗福建6上一讲习题解答：补充题：用分离变量法求解接地金属球外一个点电荷的势，和电像法相比较，并证明其两个解是完全相同的。山东大学物理学院

宗福建7上一讲习题解答：由Q和镜像电荷Q‘

激发的总电场能够满足在导体面上φ=0

的边界条件。因此是空间中电场的正确解答。球外任一点P的电势为，式中r为由Q到P点的距离，r'为由Q'到P点的距离，R为由球心O到P点的距离，θ为OP与OQ的夹角。

r’rP山东大学物理学院

宗福建8上一讲习题解答：如图所示的球坐标系，取球心为坐标原点，球心到点电荷所在位置的连线为极轴，点电荷到球心的距离为a，空间任意一点P到点电荷的距离为r，到球心的距离为R，极角为θ。rP山东大学物理学院

宗福建9上一讲习题解答：由于电势具有轴对称性，考虑到无穷远处的电势为0，泊松方程的解为：rP山东大学物理学院

宗福建10上一讲习题解答：在金属球壳表面：rP山东大学物理学院

宗福建11上一讲习题解答：考虑到：rP山东大学物理学院

宗福建12上一讲习题解答：则：rP山东大学物理学院

宗福建13上一讲习题解答：则：rP山东大学物理学院

宗福建14上一讲习题解答：则：r’rP山东大学物理学院宗福建15本讲主要内容

1、格林公式和边值问题的解2、点电荷密度的δ函数表示3、格林函数无界空间的格林函数上半空间的格林函数球外空间的格林函数4、例题山东大学物理学院宗福建16§2.5格林（GREEN）函数法

由§2.2唯一性定理，

设区域V内给定自由电荷分布，在V的边界上S上给定（1）电势φ

|s或（2）电势的法向导数∂φ

/∂n|s

，则V内的电场唯一确定。也就是说，在V内存在唯一的解，它在每个均匀区域内满足泊松方程，在两均匀区域分界面上满足边值关系，并在V的边界S上满足该给定的φ或∂φ

/∂n值。山东大学物理学院宗福建17§2.5格林（GREEN）函数法

对第1类边值问题，给定电势φ

|s，求V内的势：设区域V内有两个函数φ（x）和ψ（x），有格林公式，式中n为界面S上的外向法线。

山东大学物理学院宗福建18§2.5格林（GREEN）函数法

格林公式的证明如下：

山东大学物理学院宗福建19§2.5格林（GREEN）函数法

格林公式对任意函数φ（x）和ψ（x）都适用。取φ（x）满足泊松方程，ψ（x）为格林函数，得山东大学物理学院宗福建20§2.5格林（GREEN）函数法

得山东大学物理学院宗福建21§2.5格林（GREEN）函数法

得山东大学物理学院宗福建22§2.5格林（GREEN）函数法

只要知道格林函数G(x’,x)，以及在边界上给定的φ|S值，就可以算出区域内的φ(x)，因而第1类边值问题完全解决。山东大学物理学院宗福建23§2.5格林（GREEN）函数法

对第2类边值问题，给定电势əφ/

ən

|s，求V内的势：设区域V内有两个函数φ（x）和ψ（x），有格林公式，式中n为界面S上的外向法线。山东大学物理学院宗福建24§2.5格林（GREEN）函数法

格林公式对任意函数φ（x）和ψ（x）都适用。取φ（x）满足泊松方程，ψ（x）为无界空间单位点电荷的格林函数，得山东大学物理学院宗福建25§2.5格林（GREEN）函数法

满足上式最简单的边界条件为：其中S是界面的总面积。山东大学物理学院宗福建26§2.5格林（GREEN）函数法

其中<φ>S是电势在界面上的平均值。山东大学物理学院宗福建27§2.5格林（GREEN）函数法

只要知道格林函数G(x’,x)，以及在边界上给定的φ|S值，或者əφ/

ən

|s，就可以算出区域内的φ(x)，因而边值问题完全解决。山东大学物理学院宗福建28§2.5格林（GREEN）函数法

2、点电荷密度的δ函数表示

点电荷是电荷分布的极限情况，它可以看作一个体积很小而电荷密度很大的带电小球的极限。若电荷分布于小体积ΔV内，当体积ΔV→0时，体积内的电荷密度ρ→∞，而保持总电荷不变，所谓点电荷就是这种电荷分布。山东大学物理学院宗福建29§2.5格林（GREEN）函数法

2、点电荷密度的δ函数表示

处于x'

点上的单位点电荷的密度用函数δ(x−x’)表示

山东大学物理学院宗福建30§2.5格林（GREEN）函数法

3、格林函数一个处于x’点上的单位点电荷所激发的电势ψ(x)满足泊松方程设有包含x’

点的某空间区域V，在V的边界S上由边界条件解称为泊松方程在区域V的第一类边值问题的格林函数。山东大学物理学院宗福建31§2.5格林（GREEN）函数法

3、格林函数一个处于x’点上的单位点电荷所激发的电势ψ（x）满足泊松方程设有包含x’点的某空间区域V，在V的边界S上满足另一边界条件解称为泊松方程在区域V的第二类边值问题的格林函数。山东大学物理学院宗福建32§2.5格林（GREEN）函数法

3、格林函数格林函数一般用G（x，x'）表示，其中x'

代表源点，即点电荷所在点，x

代表场点。格林函数所满足的微分方程

山东大学物理学院宗福建33§2.5格林（GREEN）函数法

3、格林函数（1）无界空间的格林函数。在x’

点上一个单位点电荷在无界空间中激发的电势为式中r为源点

x'

到场点x的距离。因此，无界空间的格林函数为

山东大学物理学院宗福建34§2.5格林（GREEN）函数法

3、格林函数（1）无界空间的格林函数。选电荷所在点x’为坐标原点，即x’=0。在求坐标中，G（x，0）=1/4πε0r

，由直接计算得，G为无界空间的格林函数。

山东大学物理学院宗福建35§2.5格林（GREEN）函数法

3、格林函数（2）上半空间的格林函数

一导体平面上任一点为坐标原点，设点电荷Q所在点的坐标为（x'，y'，z'），场点坐标为（x，y，z），则r为由x'

点到x点的距离，r'

为由镜象点（x'，y'，−z'）到场点的距离。上半空间格林函数为

山东大学物理学院宗福建36§2.5格林（GREEN）函数法

3、格林函数山东大学物理学院宗福建37§2.5格林（GREEN）函数法

3、格林函数（3）球外空间的格林函数。

以球心O为坐标原点。设电荷所在点P’的坐标为（x’，y’，z’），场点P的坐标为（x，y，z）。令

则a对应于R’，b对应于R02/R’

，镜象电荷所在点的坐标为(b/a)x’=(R02/R’2）x'。

山东大学物理学院宗福建38§2.5格林（GREEN）函数法

3、格林函数（3）球外空间的格林函数。

山东大学物理学院宗福建39§2.5格林（GREEN）函数法

3、格林函数式中α为x与x’的夹角。若P点的球坐标为（R,θ,φ），P’

点的球坐标为（R’,θ’,φ’），有球外空间格林函数

:山东大学物理学院宗福建40§2.5格林（GREEN）函数法

4、例

在无穷大导体表面上有半径为a的圆，圆内和圆外用极狭窄的绝缘环绝缘。设圆心电势为V0，导体板其余部分电势为0，求上半空间的电势。解以圆心为柱坐标系原点，z轴与平板垂直，R为空间点到z轴的距离。x点的直角坐标为（Rcosφ,Rsinφ,z），x'

点的直角坐标为（R'cosφ',R'sinφ',z'），上半空间格林函数适用柱坐标表出为山东大学物理学院宗福建41§2.5格林（GREEN）函数法

山东大学物理学院宗福建42§2.5格林（GREEN）函数法

上半空间格林函数适用柱坐标表出为山东大学物理学院宗福建43§2.5格林（GREEN）函数法

因为在上半空间ρ=0，因此这问题是拉普拉斯方程第一类边值问题。上半