《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第五章课后习题答案

第五章范数、序列、级数（详解）5-1解：需要验证给出的公式满足矩阵范数的四个性质。非负性与齐次性容易验证，先证三角不等式。若B(b)C，则mnijABmnabijiji1j1abmnijiji1j1mnmnabijiji1j1i1j1AB最后证矩阵乘法的相容性。若A(a)CmnijB(b)Cmn，则ij，ABmnpabikkji1j1k1mnpabikkji1j1k1ppmn(a)(b)ikkji1j1k1k1pnp(ma)(b)kjiki1k1j1k1AB因此所给计算公式的确是矩阵范数。5-2解：因为1)2,x(1x2)2A(mnan2ijiF2i1j1i1根据Hölder不等式2Ax22mnaxijji1j1mn(an)(x)22ijji1j1j122a)(x)(mnnA2x2ijjFFi1j1j1AAx于是x2F215-3解：取α(1,0,,0)T，设x(x,x,,x)T，则12n12xxxαH(nxi)22*i1范数是矩阵理论的一个重要概念，在许多方面有广泛应用。1k5-4解：(1)A，故limAk发散。kk01(2)A的特征值==0.91，故A且limAk0。收敛，k12k100(3)Ak00.9kk0.9k1000.9k由于lim0.9k0，lim0.90k1kk故Ak收敛，且100limAk000k000(4)由于A0.91AlimAk0且，收敛，k1k1)(131,所以A有三个不同特征值5-5解：由于EA()()042,,111。(A)1且A可以相似对角化，P，使得即存在可逆矩阵23412310021AP00P1，3140021()k2001AkP0()k0P1310()k04于是limAkPOP10k，所以有三个特征值5,1。(5)(1)0EA5-6解：由于A2123又A为实对称矩阵，于是一定存在可逆矩阵P使得111500AP010P1,P110001101显然(A)5。那么0101(A)AP010P1515001001(A)A)kP0(1)k(0P1500(1)k5从而1113331001(A)1111lim(kA)kP000P1313130003333的收敛半径为1，而0.91A，故矩阵幂级xk5-7解：因为级数1xx2数EAA2Ak绝对收敛。A(EA)1。因5-8解：因0.91A。故()1。由定理知所求矩阵幂级数的和是此0.80.50.1EA0.10.50.322107723125(EA)117145132于是22102773125EAA2Ak17145132EA，即有两个特征值(1)05-9解：首先求得A1于是的谱半径2121(A)1。而幂级数Ak的收敛半径R1，所以只能用定义来验证其敛散性。求出kk1矩阵A的Jordan标准形J及可逆矩阵P且使得PAPJ11APJkP1，k101对于矩阵幂级数11AP(kJk)P1kkk1k14(1)k(1)k1kPP1k1k1(1)k0kk1容易看出上式右端只有数项级数(1)k1是发散的，尽管其余位置的数项级数收敛，也k1导致此矩阵幂级数Ak发散1。kk1对于矩阵幂级数1AkP(k21Jk)P1k2k1k1(1)k(1)k1k2kPP1k1k1(1)k0k2k1由于幂级数xk，其收敛半径为R11A()。只能用定义来判断，即k2k11AkP(1Jk)P1k2k2k1k1(1)k(1)k1k2kPP1k1k1(1)k0k2k1容易看出上面的矩阵序列中四个位置元素所构成的数项级数均收敛，从而矩阵幂级数1Ak也收敛。k2k15-10解：（1）根据题意得111k11kk201k201k1k111kk2Pk1k110k2k151k1由于数项级数收敛，发散，故此矩阵幂级数发散。k2k1k1（2）根据题意得1111(1)kk(1)kk11(1)kk20k20k1k1(1)k(1)k1k2kPk1k1(1)k0k2k1(1)k1k(1)k由于数项级数，都收敛，故此矩阵幂级数收敛（不是绝对收敛）。k2k1k1（3）根据题意的110k0111k2k1100(1)kk(1)1k(1)(1)kk1k22100(1)kk(1)k1k2(1)kk10(1)k(1)k1k1(1)12k2k2kkk1k1k1(1)k(1)k100k2kk1k1(1)k0k2k1k1由于数项级数(1)k2发散。故此矩阵幂级数发散。kk1（4）根据题意得100k100k110110(1)kk(1)k1k2k2k1k1k00100(1)6100k2k1(1)k(1)k10k2kk1k1(1)k00k2k1(1)k1k(1)1k由于数项级数，，都收敛，故此矩阵幂级数收敛（不是绝对收k2k2k1k1k1敛）。1)(1)2。所以62R1，又EA(A5-11解：（1）幂级数kxk1的收敛半径k1的特征值为11，，从而A的谱半径(A)1R。于是矩阵幂级数226123kAk1收敛。k1（2）由于xk(1x)1。所以k0k1(xk)(1x)2，x(1x)2k0k0从而kA(EA)2Ek1k0所以362500kA(EA(EA)21k1)2040k0016475-12证明：有定义可知ExA11x(A)lim1x0maxnxa)1(limi1ijijjxx0max(1xaxa)1njjijlimji1ijxx0max(1xRe(a)o(x)xa)1njjijlimji1ijxx0max(Re(a)jja)ijni1jijExA1(A)limxx0maxnxa)1(limijijj1ixx0max(1xaxa)1niiijlimij1ijxx0max(1xRe(a)o(x)xa)1niiijj1ijlimixx0max(Re(a)iia)ijnj1iji5-13证明：有定义可知ExA12(A)limx2x0(ExA)(ExAH)1maxlimiixx0maxAAHE2xx2AA1H2ilimixx08max1AAH