级数敛散性总结

摘要级数理论是数学分析的重要组成部分，研究级数对于深入探讨数学分析问题有着深远的意义。级数理论中最重要的问题和学者研究最多的问题则是关于级数收敛与发散的问题。级数的收敛与发散性质更是级数存在当中的最基本的立足点。基于级数发散和收敛的问题，本文对级数进行了比较详细和系统的介绍，并在级数收敛性方面进行了较为详细的概括，包括级数的分类和收敛性的总结和应用。本文第一个部分首先对常见的级数：常数项级数、正项级数、交错级数、函数项级数、幕级数、傅立叶级数，进行了大概的介绍，并从常见级数的定义、常见级数的分类、级数收敛发散的充要条件和对应级数常用的收敛判别方法进行详细的分析概括。本文的第二个部分针对具体的级数收敛方法，从方法的定义和方法的具体例子应用两个方面对其进行较为全面的介绍和分析，其中包括：判别级数发散与收敛的简单方法、比较判别法、比值判别法、高斯判别法、达朗贝尔判别法、对数判别法、积分判别法、拉贝判别法、柯西判别法。最后，本文第三部分通过整理级数散敛性判断的方法，对本文进行一个综合的概括，主要从基于级数类型的方法和基于通项特征的方法两个方面总结了解答收敛性问题的分析思路和如何更快的寻找有效的方法。关键词：级数敛散性方法AbstractProgressiontheoryisanimportantpartofthemathematicalanalysis.Thestudyofseriesisofprofoundsignificanceforfurtherdiscussingmathematicalanalysisproblems.Seriesconvergenceanddivergenceproblemisthemostimportantquestioninprogressiontheorythatmanyresearchersresearchon.Fortheanalysis,seriesconvergenceandseriesdivergenceisofthebasicfootholdexistinginmathematicalanalysis.Firstly,basedontheseriesconvergenceandseriesdivergence,thisthesisgivesadetailedandsystematicalintroductiontoseries,andamoredetailedsummaryofseriesconvergence,includingtheclassificationofseries,applicationofconvergence.Firstly,thispaperhasageneralintroductiontocommonseries,includingconstantseries,seriesofpositiveterm,staggeredseries,serieswithfunctionterms,powerseries,fourierseries.Besides,thepaperhasdetailedanalysisandsummaryofthedefinitionofcommonseries,theclassificationofcommonseries,andthesufficientandnecessaryconditionsfortheconvergenceseries,togetherwiththecommonlyusedidentificationmethodsofcorrespondingseries.Andthenthesecondpartofthisarticlehasacomprehensiveintroductionandanalysisofthemethod^definitionandspecificexamplesapplicationofthemethod,including:simplemethoddistinguishingthedivergenceofaseries,comparativemethod,ratiomethod,Gaussmethod,D'Alembertdiscriminantmethod,Logarithmicmethod,integralmethod,Rabemethod,andCauchymethod.Finally,thethirdpartofthispapermadeacomprehensivesummarythroughsortingoutidentifyingmethodsofseriesconvergenceanddivergence.Basedonthetypesofseriesandthemethodsofgeneraltermcharacteristics,thispapersummarizedtheanalysismentalityandeffectivewaysofsolutionstoconvergenceproblem.Keywords:SeriesConvergenceMathod第一章引言级数理论是数学分析的重要组成部分，与极限理论有密切的联系，它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。级数是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，这是因为一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幕级数研究非初等函数，以及进行近似计算等。第二章级数基本概念2.1级数的定义其定义如下：设uneR,n=1,2,3…，记所有无限项加起来的和为乙u=u+u+uH—•+aH—•

n12 3 nn=1而芝un则称为级数。n=1注：数项级数或无穷级数也常简称级数。2.2级数的分类级数的种类繁多，并没有很详细的分类标准，本文考虑从通项的内容来看，主要分成两大类：数项级数和函数项级数。数项级数：通项没有含有函数的的级数。等比级数：（又称几何级数）形如u+uq+uq2+uq3H Fuq4H—其中q。0，称为等比级数。调和级数：形如1+1+1+1+…+1+…234n称为等比级数。正项级数：若数项级数的各项的符号都相同，则称为同号级数。对于同号级数，只须研究各项都是由正数组成的级数——称为正项级数。交错级数:若级数的各项符号正负相间，即:u-u+u-u+ (-1)n+1u+—(u>0,n=1,2,3…)1 2 3 4 n n称为交错级数。

一般项级数：没有以上特点的数项级数。函数项级数：如果级数的每一项依赖于一个连续变量工，un=unG),x在一个区a<x<b上变化，这个级数就成为一个函数项级数，简称函数级数，记为芝u。n=1幕级数：有幕级数列((x-X0>扁产生的函数项级数，即形如产u(x一x)n=u+u(x一x)+u(x一x)2HFU(X一X)nH

n 0 0 1 0 2 0 n 0n=0的级数成为幕级数。傅立叶级数：一般地说，若f(x)是以2兀为周期且在［-兀,兀］上可积的函数，以f(x)的傅立叶系数的三角级数f(x)=彳+*(acosnx+bsinnx)n=1称为f称为f(x)的傅立叶级数其中=J_J兀f(x)cosnxdx,n=0,1,2,...,兀一兀=Lj”f(x)sinnxdx,n=1,2,3,…，兀一兀称为傅立叶系数。泰勒级数：设函数f(x)在点的某一邻域内具有直到n+1阶导数，则形如寸f(n)(x)(工 (x一an!n=0称为泰勒级数。|<R解析，则可以展开为Laurent级数：如果函数f(x)在环形域R<\x-a|<R解析，则可以展开为其中«土』k(|^农(n=0,±1,±2,_)称为Laurent系数，K是环形域内包围a在其内部的任意简单封闭曲线。称是f(x)在环形域R1<\x—a\<q的Laurent级数。2.3级数收敛发散的充要条件一般收敛：级数的收敛问题是级数理论的基本问题。从级数的收敛概念可知，级数的敛散性是借助于其部分和数列七的敛散性来定义的。因此可从数列收敛的柯西准则得出级数收敛的柯西准则(宋国柱，2004)：工七收敛等n=1价于任意给定正数e，必有自然数N，当n>N，对一切自然数p，有u+u+u++u<8

n+1n+2n+3 n+p即充分靠后的任意一段和的绝对值可任意小。TOC\o"1-5"\h\z绝对收敛：设｛a｝是实数列，如果级数工|aj收敛，则级数工an收敛；n=1 n=1条件收敛：如果级数工气收敛，但级数工|aj发散，则说级数工an条件n=1 n=1 n=1收敛；一致收敛：设函数项级数工fn(z)在区域D中收敛于函数S(z)，若n=1Vs>0，3N，使得当n>N时，\o"CurrentDocument"|S(z)-S(z)|=乎f(z)—S(z)<s对一切zeDn kVs>0，3N，使得当n>N时，i=1同时成立，则说工f(z)在D一致收敛于S(z)。n=1

2.4常见级数对应的收敛定理2.4.1常数项级数当limS=S存在，则收敛；nT8^Cauchy准则：级数工"〃收敛的充分和必要条件是旋>0，北，使得nrl当n>N时，S-S|=u+uH Fu<£对一切自然数p成立。n+pn n+1 n+2 n+p无穷级数：收敛的必要条件：若级数£u〃收敛，则limu=0nsn=12.4.2正项级数正项级数£un收敛的充分条件是它的部分序列和有上界;nr1比较判别法：设0<un<七,(n=1,2,3.・.)，贝U⑴若工v收敛，n⑴若工v收敛，n=1⑵若工vn发散，n=13.比值判别法：设工vn=1n=1则工un也发散；n=1和工u是两个正项级数，且lim匕=P1n x—3VTOC\o"1-5"\h\zn=1 n⑴若0<l<+3，则级数工v/口工un同时收敛或同时发散;\o"CurrentDocument"n=1 n=1⑵若l=0，级数工vn收敛，则工un也收敛;n=1 n=1⑶若l=+3，级数工vn发散，则工un也发散。n=1 n=1

4.Cauchy判别法（根值判别法）：设工七是正项级数，lim近=pnT3n=1⑴则当p<1时，级数£u收敛;n=1⑵则当p>1时，级数工un发散;n=1可能收敛也可能发散。⑶则当p=1时，级数£u可能收敛也可能发散。n

n=15.对数判别法：若对任意的NeN，ln5.对数判别法：若对任意的NeN，ln上当n>N时有一^>q>1，

lnn则工"〃收n=1lnL敛；若有工<1，

lnn则工un发散。n=16.积分判别法：设f（x）是［1,+8）上非负下降函数，则£u=£f(n)jJ"(x融收敛。n 1n=1 n=12.4.3交错级数1.Leibniz判别法：设u>0，u>u (n=1,2…)且limu=0，则交错级数n n n+ nT3nn-1党(-1)un收敛且余和的绝对值n=1r=弋(-1)nu<un=N+12.Cauchy定理：若级数£vn=1和£2.Cauchy定理：若级数£vn=1n=1它们的乘积£^£nuv=uv+(uv+uv) (uv+uv£^£nuv=uv+(uv21 1n2n-1 n1n=1k=1也是绝对收敛，且和为S/。2.4.4函数项级数1.Cauchy准则：函数项级数工f(z)在D一致收敛于S(z)的充分且必要条nn=1件是：Vs>0，3N，使得当n>N时，S(z)-S(z)|=^f(z)<e对一切n+p n n+kk=1zeD及一切自然数P同时成立。2.weierstass判别法：设在集合G上f(z)|va(n=1,2…)，且芝a收敛，n=1则£f(z)在G上一致收敛。nn=12.4.5幂级数TOC\o"1-5"\h\z1.Abel定理：若£c(z—a)n在z(z。a)收敛，则当|z—a|<|z—a|时，级11 I II1 I1 1n=1数£c(z-a)n绝对收敛，若£c(z—a)在z处发散，则当|z-a|>|z-a|时，级n n 2 2n=1 n=1数£c(z-a)n发散。n=1(1)幕级数在其收敛圆是内闭一致收敛的。⑵比值法：若limnT3cn+1cn=x，则幕级数£cn(z-a)n的收敛半径R⑵比值法：若limnT3cn+1cn当X=0时，R=+8，当X=+8时，R=0。⑶根值法：limn闩=U，则级数£c(z-a)n的收敛半径R=1nT8n ,n Un=1

2.4.6傅立叶级数f(x+0)+f(x+0)+f(x-0)s= 2中=f(x+u)+f(x-u)-2s若存在5>0，使肿四Lu存在，则0u号+切(acosnx+bsinnx)=sn=1Lipschitz判别法设f(x)在点x满足Lipa条件，即对充分小的u有f(x±u)-f(x)KMu«(M,a为常数，0<a<1)，则f(x)=彳+E(acosnx+bsinnx)n=1狄里希莱-约当判别法若f(x)在［x-h,x+h］上囿变，则在点xa寸 f(x+0)+f(x—0)2+乙(acosnx+bsinnx)= 2 n=14.弗耶定理设f(x)是周期为2兀的连续函数，S(x)为f(x)傅立叶级数的n部分和，b(x)=4Cs(x)+S(x)++S(x))，则在(-8,+8)上b(x)一致收敛n n0 1 n-1 n于f(x)。5.威尔斯托拉斯逼近定理设f(t)GCab］，周期为2兀5.威尔斯托拉斯逼近定理列T(t)一致收敛于f(t)。t

第三章级数敛散性判别法3.1判别级数发散的简单方法（注：面对一道通项有规律的判定收敛性的题时，最初的想法应该从定义下手）定义：如果级数£定义：如果级数£unn=1的部分和数列｛s｝有极限，则£un收敛，反之发散。n=1=£in(=£in(n+1)n=1例题1判别级数数尚的散敛性。n=1解：因为u=--—

nnn+1故级数的部分和习1-土1

knn+1n=1又因为limSnnT3=1」 11limSnnT3=1=lim1-「nsk n+1)所以，原级数收敛。例题2判别级数£—的散敛性n2n=1解：因为£L1+£*=1+£[上-11=2-1V2,VNeN

n2 n(n-1) kn-1n) Nn=1 n=2 n=2所以级数£-1收敛。n2n=1例题3判别级数无上是否收敛。•扑n=1解：因为〜1 1 —歹r>N==.N,VNgNnZ 、；N所以级数方！发散。<nn=1、3.2比较判别法3.2.1定理及其极限形式为了考查一个正项级数的散敛性，常用另一个已知是收敛的或者已知是发散的正项级数来与之作比较（可见比较判别法只用于正项级数）。在此先引入几个常用来做比较的级数：几何级数、调和级数、P级数。等比级数：（几何级数）判别法：级数芝uqn=u+uq+uq2+…+uqn+•••（"。0）n=0叫做等比级数，下面讨论该级数的散敛性。解：（1）如果|q。1，则部分和„ u-uqnS=u+uq+uq2+ +uqn-1= 当|q|<1时由于limqn=0，所以limS当|q|<1时nT3 nsn1—qn=0和为工；1—q当|q|>1时由于limqn=8，所以limS=8，因此级数£uqn级数£当|q|>1时nT8 nT8n=0 n=0散。（2）如果|q|=1，则有当q=1时,S=nu,从而limS广8，所以级数工uqn发散;nsn=0当q=-1时，S=u一u+u一u-\—，所以有S =0，S=u从而limS不存n 2n 2n+\ nsn在，所以级数£uqn发散;n=0由上可知:当|q|<1时，等比级数工uqn收敛；而当|q|>1，等比级数工uqn发n=0 n=0散。调和级数：级数1+-+-+-+•••+-+…称为调和级数，试讨论该级数的散敛234n性。解：令f(x)=lnx，由拉格朗日中值定理可知，存在&e(N,N+1)。使得ln(N+1)-lnN =ln'g(N+1)-N即ln(N+1)-lnN=-<—(N为整数)&N所以有N=1时，ln2-ln1<1N=2时，ln3-ln2<-2N=3时，ln4-ln3<1,3N=n时，ln2-ln1<—n将上面所有式子的两端分别相加得ln(n+1)<1+—+—+ +—23n其中1+1+1+...+1为调和级数的部分和S23因为limS=limln(n+1)=+8所以，调和级数£1发散。.nn=1p级数：级数£—(p>o)称为p级数，试讨论该级数的散敛性.npn=1解:(1)当p<1时，这时级数的各项都不小于把调和级数的对应项，即1 1——>-npn由前面可知调和级数£1发散，由比较判别法可知该级数发散.nn=1⑵当p<1时,把P级数写成1+；+V2p31I3p7+rV41—+1一+5p1——+6p7；/p7+rV81—+p1） +一15p7+•V1+2V2p+212p7+r1V4p1+一4p1+一4p1+—4\p7+r1QV8p1+—.+ 8p、7+=1+1+—1+—L+…2p-1 22（p-1） 23（p-1）1 1 1 ,, 1 一而1+21—+日_)+「_)+…是一个等比级数，且p>1,其公比g= v1,于是级数£—收敛,由比较判别法可知,p级数收敛.n=1p'综上所述，当0<p<1时,P级数收敛;当p>1时,P级数发散.在介绍几个常用来比较的级数后,接着介绍比较判别法比较判别法定义：设£"〃和£七是正项级数，则n=1 n=1如果£v收敛，并且存在c>0和ngN，使得u<cv,Vn>n，那n 0 nn 0n=1么级数£un也收敛；n=1如果£v发散，并且存在c>0和ngN，使得u>cv,Vn>n，那么n 0 nn 0n=1

级数工un也发散。n=1证明：（1）对于&广»un+lLunV&n+c"&n+£n，因TOC\o"1-5"\h\zn=1 n=1 n=n n=1 n=n n=1 n=10 0为p^v「有上界，所以<艺"「也有上界。'n=1 'n=1⑵反证法：对于vn<1un,V心n0，如果级数£un收敛，那么根据上面的n=1结论，级数工vn也应该收敛，但这与题设所矛盾。所以工un是发散级数。n=1 n=1例题1设xG（0,兀），试判断级数£sinX的散敛性。n2n=1解：由题意得si—<二,Vn>2n2n2因为级数£上收敛，所以级数£sin兰也收敛。n2 n2n=1 n=1例题2例题2试判断级数工1标3的散敛性。n=1解：容易知道1 1 11 v >^==十,VneN，<4n一3 <4n 2 、：n因为级数£因为级数£-4发散<nn=1所以级数£上发散n=1lim九lim九=y,(0<y<+8)存vn也收敛，推论：设£"〃和£vn是正项级数，并且设极限n=1 n=1在，则有:⑴如果级数£v.收敛，yV+8，那么级数£u

n=1 n=1

(2)如果级数工\发散，y>0，那么级数工'也发散。n=1 n=1证明：(1)对于取定的e>0，存在n0gN，使得只要n>n0，就有j<y+8，n也就是u<(y+£)v,Vn>n(2)对于取定的8g(0,y)，存在n0gN，使得只要n>n0，就有匕>y-8，也就是vnu>(y-8)v,Vn>n例J例J题3设xg(0,兀)试判断级数工"-cos-］的散敛性。n=1解：容易知道1-cos—

lim 1~n尤2nsn2因为级数工1收敛，所以级数£［1-cos—］收敛。n=1〃2 n=1" 〃J例题4试判断级数工ln(1+写的散敛性。nn=1解：容易知道/ 1\/ 1\1+—=limln(N+1)=+3所以级数£ln(1+i)发散。nn=1

3.2.2比值判别法运用比较判别法来解决级数散敛性问题是一种广泛应用的方法， 但前提是需要找到一个能用来做比较的级数，要找到一个合适的级数并不容易，所以很多时候就要用到以下的比值判别法：设有正项级数芝"如果lim—=P，则n nsUn=1 n（1）当P<1时，级数£"n收敛;n=1（2）当p>1时，级数工气发散;n=1（3）当p=1时，级数£七可能收敛也可能发散。n=1例题5试判别级数例题5试判别级数工3n=1tan—的散敛性。4n解：因为兀3n+1Ota^ 3=lim 4n+_=-<1、c_兀4is3nDtan-4故根据比值判别法可知，原级数£3ntan"收敛。故根据比值判别法可知，原级数4nn=1例题6试判别级数£—的散敛性。1+n2n=1解：因为1+(n1+(n+1)2=lim 1 ns 1+n2=limnT31+n22+2n+n2=1因此，比值判别法失效，但0V-^因此，比值判别法失效，但0V-^＜」■1+n2n2而级数工1是收敛的，可以根据比n2n=1较判别法可知，原级数£二也收敛。1+n2n=13.2.3活用比较判别法当所求级数的通项中出现关于n当所求级数的通项中出现关于n的有理式时比较对象常常选择P级数或者调和级数。例题7试判别级数£房）的散敛性。n=1解：因为1V1

n(n+1)n2又由于£—收敛

n又由于£—收敛

n=1n2则由比较判别法可知，级数£尚也收敛。n=1例题8试判别级数工立的散敛性。2n4n=12n2nn+1n+n——< ———=——，2n4 2n4 2n4 n3又由于£-1收敛

又由于£-1收敛

n=1〃32n4n=1例题9试判别级数£n+1的散敛性。2n2—n—5n=1解：因为V < 2n2n2 2n2一n一52n2一n一5根据比较判别法可知，原级数£ 〃+1也是发散的。2n2—n—5n=1

例题10试判别级数£2nsin丸的散敛性。3nn=1解：考虑到当x>0时，sinx<x，则兀/兀 兀'。兀sin—<—,2nsin—<2n—3n3n 3n3nn而党n=1兀是公比q=2而党n=1£2nsin—收敛。3nn=1例题11例题11试判别级数£ln荣旦的散敛性。n2n=11

<——n1

<——n2lnBn2所以原级数收敛。而£-1是收敛的级数所以原级数收敛。n2n=13.3柯西判别法柯西根式判别法(普通形式)设级数£un是正项级数，n=1(1)如果存在rv1和NeN，使得虹<,，"心N，那么级数£u收敛。n=1⑵如果对无穷个n有近21，那么级数£Un发散。n=1柯西根式判别法(极限形式)设£un是正项级数。并设存在极限lim^T=q，n=1则有(1)如果qv1，那么级数£"〃收敛，

（2）如果q>1，那么级数工,发散。n=1证明：（1）对于取定的8g（0,1-q），存在NeN，使得0<q+8<1,Vn>N。（2）对于取定的8e（0,q-1），存在NeN，使得0>q-8<1,Vn>N。n的散敛性。例题1判别级数工[n}

n=1En+1n的散敛性。解：由于limnu=limnT3 nT3nnlimnu=limnT3 nT3=lim =<1根据柯西判别法可知，级数日看1]n=1n收敛。n*2n+1 2根据柯西判别法可知，级数日看1]n=1n收敛。例题2试判断级数£¥的散敛性。3lnnn=1解：由于limgu=limgu=limnT3 ns12'n =lim-3lnnns322——=2>1lnn30n发散。根据柯西判别法可知，级数£2n发散。3lnnn=13.4达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法（普通形式）设£un是严格的正项级数。n=1（1） 如果存在r<1和n°eN使得^n+1<r,Vn>n0，那么级数£u收敛。n n=1（2） 如果存在n0eN使得』>1,Vn>n0，那么级数£u〃收敛。n n=1达朗贝尔判别法（极限形式）设£un是严格的正项级数。并存在极限n=1

lim%H=q贝U有n—>coUn⑴如果0<1,那么级数收敛。nn=l(2)如果g〉l,那么级数工〃发散。nn=lTOC\o"1-5"\h\z证明：(1)对于取定的££(0,1-0),存在〃eN,使得只要n>n,就有0 0\o"CurrentDocument"U 1—rr=HF<g+£<1.Un(2)对于取定的SG(0^-),存在〃gN,使得只要心〃，就有0 0\o"CurrentDocument"u 4―〉q—8>1.un推论设和工V都是严格的正项级数。n nn=l n=l使得±_>2_,Vn>n,那么级UV 0n+1 〃使得±_>2_,Vn>n,那么级UV 0n+1 〃+1n=l数也收敛。nn=l(2)如果级数Ev发散，并且存在〃eN,使得(2)如果级数Ev发散，并且存在〃eN,使得Vai>n,那么级〃 o uv °〃=1 H+1 H+1数工"也发散。nn=l例题1试判别级数工兰的散敛性。nfl解：由于=limn—>oo" h—>oonG+1）!/n\G+l）（〃+i）nn=lim=lim1/1+—nJ=-<i由达朗贝尔定理可知，级数工生收敛。nnn=l例题2试判别级数工》的散敛性。n5

n=1解：由于由达朗贝尔定理可知

3.5对数判别法但由于工二发散，因此级数工一1发散。对数判别法（普通形式）设工气是严格的正项级数。n=1ln』若从某一项起有二lnn对数判别法（普通形式）设工气是严格的正项级数。n=1ln』若从某一项起有二lnn>p>1，则有级数£七收敛;n=1若从某一项起，lnL3v1，则有级数£un发散。n=1对数判别法（极限形式）设工un是严格的正项级数。n=1ln1设一L=p

lnn则当p>1时，级数工"〃收敛；当p<1时n=1级数工气发散;n=1当p=1时，级数工un有可能收敛也有可能发散。n=1例题1试判别级数—+=+...+=+...的散敛性。ln（2!）ln（3!） ln（n!）解：因为当n>2时，有nn>n!，所以nlnn>lnn!1 >1ln(n!)nlnnnln\n) ln\n\)n=1 n=2…一 ,,1 1例题2试判别级数1+二+—-—+…+ —+…的散敛性。33履3(373 3、：3顶3...必解：由题可知，u31+1+•••+12n因为"—1"—1+2+…+—lnn—C(n—8),C为欧拉常数所以n In所以n Innk1S >nT8但是收敛nln3n=1L=£_!3收敛nln3n=1L=£_!3lnn nln3n=1 n=1从而级数芝un收敛。n=1一 .. .. 1202!k20S例题3试讨论级数1+1Q20+土竺一一一2(7Jln3>123!k20S+一43k34!k20S+——54k7J4+…的散敛性。解：由题可知，级数的通项为(n-(n-1)!k20、n-1n(n-1)(n=1,2,3...)则有1kr1krs

1+-knJk7Jk20Sns由对数判别法可知，原级数发散。3.6积分判别法柯西积分判别法：设函数f(x)在［1,+8)单调下降并且非负，则级数工f(n)n=1与广义积分j+8f(x)dx同为收敛或同为发散。1证明：依题意得，f(x)为［1,+8)上的非负减函数，对于任意的正数A，f(x)在［1,a］上可积，从而有f(n)<jnf(x)dx<fn4),n=2,3，依次相加可得n-1£f(n)<jmf(x>)dx<^f(n-1)=勿f(n)，若此积分收敛，则上式的左边，对于1TOC\o"1-5"\h\zn=2 n=2 n=2任何的整数，有S=£f(n)<f(1)+jmf(x)dx<f(1)+j+8f(x认，于是级数m 1 1n=2£f(n)收敛。反之，若级数£f(n)为收敛级数，则上式的右边，对于任意正整n=1 n=1数m(m>1)有jmf(x)dx<s<£f(n)=s，因为f(x)是非负减函数，故对任意1 m-1n=1的正数A，都有0<jAf(x')dx<s<s,n<A<n+1，根据上式得j+8f(x^x收敛。同理可证级数£f(n)和积分j+8f(x认是同时发散的。例题1试判别级数£—的散敛性。n=1n3解：将级数£—换成积分形式j+8Ldx，由于n3 1x3+81\2) 2n+81\2) 2r1j+8——dx=-1x3即j+8Idx收敛，根据积分判别法可知，£—也收敛。1x3 n3n=1

例题2试判别级数工1的散敛性nn=1解：将级数Z1转化成积分的形式f+-1dx，由于n ixn=1+8=+8—0=+8，1即j+81dx发散，根据积分判别法可知，级数工1发散。1x nn=13.7拉贝判别法拉贝判别法（普通形式）设£un是严格的正项级数。n=1（1）如果存在q（1）如果存在q>1和n0gN，使得n一>n+1'一1>q,Vn>n0，那么级数£七n=1收敛。（2）如果存在n（2）如果存在n0gN，r使得n^^-1<1,Vn>n<LJn+1那么级数£七发散。n=1证明：（1）由题可得台>1+^,Vn>n0，取一实数p，满足1<p<q，则级n+1数£—收敛，另，则对于充分大的n有n=1P Pr1「PY Prr1「PY Pr1]1+=1+p+O\nJn1n2J<1+q<nvnvn+1n~，un+1所以级数£un也收敛。n=1（2（2）由题意得，业土un+11<1+1=牛n1n+1因为级数£1发散，所以级数

nn=1£u也发散。nn=1拉贝判别法（极限形式）设£un是严格的正项级数，并且以下的极限存在，limn—3'土-1[un+1（1）如果q>1那么级数£u收敛。nn=1（2）如果q<1那么级数工u发散。nn=1例题1：试讨论级数£2□血2n-1)-2r4rrrrrr(2nTr，当r=1,2,3是的收敛性。解：当S=1时，limnru)r2n+1)1--n^=limn1-n—3IuJn—3I2n+2)n=1n=lim ——>-v1，〃*2n+2 2容易根据拉贝判别法可知级数£~1rBrrrrrr(2n-1)2rnnrrrnr(2n)发散。limnr1-乙:=limnr1-r2n+1'A2n—3iujnn—3I12n+2JJn=1n(4n+3)=limn*(2n+2)2v1，容易根据拉贝判别法可知级数£2«Z(2n-1)-2n4nnnnnr(2n)2发散。ru)r<2n+1)A3limn1-=limn1-n—3luJnn—3l12n+2JJn=1容易根据拉贝判别法可知，级数£n(12n2+18n+7)=limnT3(2n+2)3-1r3arnrrE(2n-1)「2r4nrrnrr(2^3收敛。从上面我们可以看出，有些比值判别法不能判别的可用拉贝判别法可以判别，但是用拉贝判别法也同样要受到比较因子的精确度的限制。3.8高斯判别法设工un是严格的正项级数，并设有n=1-u^=X+—+°+ou nnInnn+1则有⑴如果人〉1那么级数Xun收敛；如果人V1，那么级数Xun发散。n=1 n=1(2)如果人=1那么级数工u收敛；如果人=1，—V1，那么级数工unnn=1 n=1发散。⑶如果人=1U>1，那么级数Xu收敛；如果人=1，—=1，UV1，

n

n=1那么级数工un发散。n=1推论：设Xun是严格的正项级数，并设有n=1匕以+殳+ou nn+1则有⑴如果人〉1那么级数工u收敛;nn=1如果人V1，那么级数工un发散。n=1(2)如果人=1收敛；如果人=1，—V1，那么级数工unn=1发散。例题1试判别级数12 + □ + + □ □… + 2+x2+x3+x 2+x3+x n+1+x12一□—的散敛性。解：令u=—+二+一-一，贝U

n2+x3+xn+1+x由此可得(1+x)u=nKu(1+x)S=(1+x)(u1+u2+u3+…+u)xSn—1-(n+1)u(n+1(n+1)u=n所以当x—0时，级数发散；当-2<x<0是，n+1显然有u>上，故级

nn+1但由于11一——□•• xx x1+—1+— 1+ 2 3n+1(n(n+1)unn+1数发散；当x>0时，有1< xxx1+—+—+…+——2故(n+1)u—0(n—Q，所以1例题2设u-Inf

-lnsinlimSns1\试讨论级数工u的散敛性。nn=1解：因为—In-In3!n3a5aJln3!n+O2a4aJ-ln1-3!n+O2a4aJJ3!n+O2a故当a>1是，2级数工"〃收敛；当a<2时，级数工un发散。第四章级数敛散性比较及应用4.1基于级数类型的方法总结对于级数的敛散性判断，当一个级数是具体属于某一种级数，则可以考虑利用该种级数对应的收敛判别法来进行判别其散敛性。而常见的几种级数和对应的判别法如下表：表1判别总结表级数类型 散敛性判别法正项级数 比较判别法、根值判别法、比值判别法、对数判别法、拉贝判别法、高斯判别法任意项级数 柯西判别法、绝对收敛判别法、Abel判别法交错收敛判别法、Dirichlet判别法函数项级数 M判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法、狄尼判别法、一致收敛判别法幕级数 Abel定理、比值法、根值法傅立叶级数 狄尼判别法、Lipschitz判别法、弗耶定理狄里希来-约当判别法、威尔斯托拉斯逼近定理4.1.1对常数项级数若给出的级数是常数项级数，一般可以利用以下的流程来进行判断:

图1判别流程图对于求级数的散敛性，首先要研究出其通项。但是当级数可化为含参数的一般式、通项为等差或等比式或通项为含二项以上根式的四则运算且通项极限无法求出时，可以选用正项级数的充要条件进行判断。下面通过具体的例子说明：例题1试判别级数#二的散敛性1+n2n=1分析：容易知道u=—n1+n2首先判断limu是否为0，因为1+n2 8，所以有limu=0uT8 n—3 uT8n然后判断是否为正项级数，由于1+n2>1，故原级数为为正项级数因为lim垢=limlim垢=limnT8Un—8

n1+(n+1)21+n2 1=lim =1n*2+2n+n2因此，比值判别法失效。(4)现在考虑比较判别法，由于0(4)现在考虑比较判别法，由于0<1<——1+n2n2而级数芝_!是收敛的，可以n2n=1根据比较判别法可知，原级数也收敛。1+n2n=14.1.2对幂级数若给出的级数是幕级数，一般可以利用以下的方法来进行判断:(1)首先要求出收敛域，利用式子P=limun根据比较判别法可知，原级数也收敛。1+n2n=14.1.2对幂级数若给出的级数是幕级数，一般可以利用以下的方法来进行判断:(1)首先要求出收敛域，利用式子P=limun+1un1 求出收敛半径R=-，从而确P定幕级数的收敛区间(-R,R)，将x=±R分别代入幕级数中，此时的幕级数就成为了常数项级数，然后就可以按照常数项的散敛性判别法判断其散敛性。(2)很多时候可以通过一些幕级数的展开式间接的将一些函数展开成幕级数，具体如下:1X2Xn ( )ex=1+X+ + +——+ (-8,+8)2! n!SinX=X-兰+已-打+…+(-1)〃广2〃-1、+

3!5!7! 2(2n-1)(-8,+8)1X2,X4x6 [(1)cosX=1-——+——-——+ (-1)2! 4! 6!(-8,+8)ln(x)=x-登+打-…+(-1)

2 3(1+x)m=1+mx+Lm(m-1)x12(.)(

—+一m(m-1)…(mn!Xn+1 +,..n+112+3!m(m-1)(m-2)x3-n+1)Xn+… (-1,1)(-1,1)(3)将一个函数f(x)直接展开为x的幕级数的步骤如下:limnlimnT8xn+1

(n+i)!求出f(x)的各阶导数，再求出函数及各阶导数在x=0处的函数值，若某阶导数不存在，就停止进行，此时函数f(x)不能展开为x的幕级数。写出f(x)在x0=0处的泰勒级数，并求出其收敛域。。.考查在其收敛域内是否有limRn(x)=0，若极限为零，则第(1)中求nT3出的幕级数就是函数f(x)的展开式，若极限不为零。则幕级数虽然收敛，但它的和并不是所给的函数f(x)。D.最后写出f(x)在x=0点的泰勒展开式。例题2将函数f(x)=j展开成x的幕级数。解：①求出f(x)的各阶导数及其在x=0处的函数值：f(n+1由比较判别法知道E(^收敛，又有级数收敛的必要条件有n=1)=ex，f(x)=en+1由比较判别法知道E(^收敛，又有级数收敛的必要条件有n=1f(0)=1,f'(0)=1,f"(0)=1,...,f(n)(0)=1②因此f(x)在x0=0处的泰勒级数为：1+xH x2+・••H xn+・••2! n!其收敛半径为R=+8，收敛区间为(-8,+8)。③对任意有限数x,&(0<&<x)余项的绝对值R(x1=re&x+1Vex^x__y

x (n+1)! (n+1)!而ex相对于n是一个常数，则有limRnnslimRnns(x)VlimenT8④f(x)=ex的泰勒级数为:ex=1+x+—x2+••♦+—xn+••♦(—8,+8)

2! n!4.1.3对于傅立叶级数若是需要化为傅立叶级数，一般可以利用以下的方法来进行判断(韩志刚，2003):将周期函数f(x)在［-兀,兀］上展开为傅立叶级数的步骤(1)运用收敛定理判断f(x)是否满足收敛条件。若满足收敛定理条件，则求出傅立叶系数。写出傅立叶级数并注明在何处收敛于函数f(x)例题3设f(x)是周期为2兀的周期函数，在［-兀，兀)上的表达式为f(x)=* 心x<0JIx0<x〈兀将函数f(x)展开为傅立叶级数。解：函数f(x)的图形如下，所给的函数在x=(2k+1)兀(kgZ)处不连续，而在其余点处都连续，满足收敛定理的条件。

当x=(2k+1)兀(kGZ)时，傅立叶级数收敛于兀一0兀当xo(2k+1)兀(kGZ)时，傅立叶级数收敛于f(x)。卜面计算傅立叶系数=”J兀f(x^)dx=”J”xdx=；—1「f—1「f(x)cos«!!xcos〃汕兀一”J”xd(sinnx)n”01[xsinnx]”n” 0J”1sinnxdx0n——[cosnx]”

n2” 0「(-「(-1)n-1n2”「n—1,3,5,…n—2,4,6,…=5:”f(x)sin=5:”f(x)sinnd=1J0”xsinnxdx-—J”xd(cosnx)n”0一-”[xcosnx]”+-”J”cosnxdx\o"CurrentDocument"(-1)n+1 1[• L +—Lsinnx」”\o"CurrentDocument"n nx0(-1)n+1于是，函数f(x)的傅立叶展开式为f(x)=”-匕4”2( 1 ° 1 - )cosx+——cos3x+——con5x+…" 32 52 )(. 1.C1.C1.,)sinx一一sin2x+—sin3x一一sin4xI2 3 4 )一8<一8<x<+8,x。(2k+1),kgZ]4.2基于通项特征的方法总结按照上面所说的方法的确可以有效的使我们更快的判断级数的散敛性，但是对于通项一些有明显的一些特征的时候，可以采取下面的一些方法，以便更快的达到判断的效果。（1）对于求级数的散敛性，首先要研究出其通项。但是当级数可化为含参数的一般式、通项为等差或等比式或通项为含二项以上根式的四则运算且通项极限无法求出时，可以选用正项级数的充要条件进行判断。如（张筑生，2008）：1 1 11+—+—+231...+—+...n1<—，2VneN，若令p4.2基于通项特征的方法总结按照上面所说的方法的确可以有效的使我们更