2023年中考数学压轴题突破-圆的综合

2023年中考数学压轴题突破——圆的综合题

一、综合题

L如图，△ACE内接于OO,AB是。。的直径，弦CD±AB于点H,交AE于点F,过点E作EG/7AC,

分别交CD、AB的延长线于点G、M.

(1)求证：△ECF^AGCE；

3

(2)若tanG=-,AH=3布,求。O半径.

4

2.阅读与思考

请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务.

阿基米德是伟大的古希腊数学家、哲学家物理学家，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子.他的著

作《阿基米德全集》的《引理集》中记述了有关圆的15个引理，其中第三个引理是：如图1,AB是

OO的弦，点P在。上，PCLAB于点C,点D在弦AB上且AC^CD，在2台上取

一点Q，使PQ=PA，连接BQ,则BQ=BD.小明思考后，给出如下证明：

如图2,连接AP>PD、PQ、BP.

,/AC=CD,PCIAB

:.PA=PD(依据1)

ZPAD=ZPDA

,:PQ=PA

：.NQBP=ZABP(依据2)

图1

图2

(1)写出小明证明过程中的依据：

依据1：_______________________________________________

依据2：__________________________

(2)请你将小明的证明过程补充完整；

(3)小亮想到了不同的证明方法：如图3,连接AP、PD、PQ、DQ.请你按照小亮

的证明思路，写出证明过程；

(4)结论应用：如图4,将材料中的“弦AB”改为"直径AB，作直线1与OO相切于点Q,

过点B作BM11于点M,其余条件不变，若43=4，且》是(4的中点，则QM=.

3.如图，。。为等边△ABC的外接圆，半径为2,点D在劣弧R；上运动(不与点A,B重合)，

连接DA,DB,DC.

(1)求证：DC是/ADB的平分线;

（2）四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是,

请说明理由;

（3）若点M,N分别在线段CA,CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确

定的位置，ADMN的周长有最小值t,随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值.

4.如图，BD为ABC外接圆OO的直径，且ZBAE=ZC.

（2）若AE//BC,6c=26,AC=2,求二。的直径.

5.如图，A8是半圆。的直径，D是半圆。上不同于A、B两点的任意一点，C是

半圆。上一动点，AC与BD相交于点F，BE是半圆。所在圆的切线，与AC的延

长线相交于点E.

（1）若AD^BC,求证：&CBA缘DAB；

（2）若BE=BF，NZ14c=30°,AB=S.求S扇形的；（答案保留兀）

（3）若AB=8,H为AC的中点，点。从6移动到A时，请直接写出点H移动

的长度.（答案保留力）

6.如图，已知以3C为斜边的RtABC内接于OO,NB4C的平分线交OO于点D,过点D作

8C交AB的延长线于点E,连接DC.

(1)求证：EO为。0的切线;

(2)求证：BC?=2EDFC;

(3)若=AD=-,求BC的长.

2

7.如图，在R/A8C中，NC=90°,点O在AC上，NOBC=NA,点D在上，以点。为圆心,

0。为半径作圆，交。。的延长线于点E,交AC于点F,NE=、NBOC.

2

(1)求证：A8为。0的切线；

(2)若。0的半径为3,tanZOBC=~,求80的长.

2

8.如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的。0与CD边相切于点E,BC交。0于点F

(AF>BF),连接AE,EF.

(1)求证：△FCES/XFEA；

(2)若(DO的半径是|而,且=|,求AD的长.

9.如图，四边形ABCD内接于「。，4807)=12()。，四边形OBCD为菱形，连接AC.

(1)求证：AC平分/BAD；

(2)若N/R0=15°,OB=1,求AD的长.

10.如图，己知三角形ABC的边AB是圆O的切线，切点为B.AC经过圆心O并与圆相交于点D,

C,过C作直线CE_LAB,交AB的延长线于点E,

(1)求证：CB平分/ACE；

(2)若BE=3,CE=4,求圆O的半径.

11.对于平面直角坐标系内任意一点P,过P点作PM±x轴于点M,PN人y轴于点N,

连接MN,则称MN的长度为点P的垂点距离，记为h.特别地，点P与原点重合时，垂点距离

为0.

(1)点A(2,0),8(4,4),C(-2，V2)的垂点距离分别为,,；

(2)点P在以。(百,1)为圆心，半径为3的Q上运动，求出点P的垂点距离h的取值范围；

(3)点T为直线/：y=JIr+6位于第二象限内的一点，对于点T的垂点距离h的每个值有且仅

有一个点T与之对应，求点T的横坐标t的取值范围.

12.如图1,对于PMN的顶点P及其对边MN上的一点Q,给出如下定义：以P为圆心，PQ

为半径的圆与直线MN的公共点都在线段MN上，则称点Q为_PMN关于点P的内联点.

在平面直角坐标系xOy中：

(1)如图2,已知点47,0),点B在直线y=x+l上.

①若点8(3,4)，点C(3,0),则在点O,C,A中，点

是^AOB关于点B的内联点；

②若一AOB关于点B的内联点存在，求点B纵坐标n的取值范围；

(2)已知点0(2,0),点E(4,2),将点D绕原点O旋转得到点F.若-EOF关于点E的内联点

存在，直接写出点F横坐标m的取值范围.

答案

1.【答案】⑴证明：AB为。0直径，CD1AB

AD=AC，

ZACD=ZAEC，

•.EGIIAC，

:./G=NACD,

:.ZAEC=ZG,

又ZECF=ZGCE

.-.AECF^AGCE,

(2)解：连接OC,设OC=r,

•.NG=ZACH，

3

tanZACH=tanG=—,

4

在RtAAHC中，

:.HC=tAH=4%,

3

在RtAHOC中，OH2+HC2=OC2

•••(r-373)2+(4V3)2=r2，

,2573

,•r-•

6

【解析】【分析】(1)根据垂径定理和圆周角定理及平行线的性质易证ZACD=ZAEC,

ZAEC=ZG,然后根据相似三角形的判定即可求出答案；

(2)连接。C,设OC=r,根据等角的同名三角函数值相等得出tanNAC”=tanG=W，根

据勾股定理以及锐角三角函数的定义即可列出方程求出r的值.

2.【答案】（1）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；等弧所对的圆周角相等;

(2)解：:•四边形ABQP是。0的内接四边形

AZPAD+ZPQB=\SQ0,

VZPDA+ZPDB=1SO°，

：.ZPDB=ZPQB,

又,：BP=BP，

:…PDB=PQB(AAS),

:.BQ=BD-

(3)解：：AC^CD，PCLAB

二PA=PD

二ZPAD^ZPDA

*•,PQ=PA，

:.PQ=PA,

:.PQ=PD,

AZPDQ=ZPQD,

•.•四边形ABQP是。o的内接四边形

z.ZPAD+ZPQB=1SO°

即ZPAD+ZPQD+ZDQB=180°,

ZPDA+ZPDQ+NQDB=180。，

:.NDQB=NQDB,

:.BQ=BD-

(4)^1

4

【解析】【解答】解：(4)QM=迈，

4

理由如下：

如图，连接A。,

图4

•.•直径AB=4,

半径OA=O0=O8=2,ZAQB=90°,

：.ZOQA=ZOAQ,NOQB=NOBQ,

■:D为OA中点，

：.AD=DO=],

：.BD=BO+OD=3,

则利用结论有BQ=BD=3,

•••直线/是。。的切线，

：.OQLl,

：.ZOQM=ZOQB+ZBQM=90°,

：.NBMQ=NQBM+NBMQ=9。。,

OQBM,

...NMBQ=NOQB,

：.NMBQ=NOQB=NOBQ,

再结合乙4。6=90。=/6何。，有.AQB〜,QMB,

.AQ=QM_

在RQAQB中，AQ=_BC=J42_32=V7,

AQ=QM_

得加“学

【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质和圆周角定理解答即可；

（2）在原题的基础上利用全等三角形的判定与性质解答即可得出结论；

（3）类比（2）的方法，在（2）的基础上利用等腰三角形的判定方法解答即可得出结论；

（4）连接AQ,利用题干中的结论求得BQ=BD=3,再利用勾股定理和相似三角形的性质列出比例式

即可求解。

3.【答案】（1）证明：:△ABC是等边三角形，

ZABC=ZBAC=ZACB=60°.

•../ADC=NABC=60。，NBDC=NBAC=60。，

ZADC=ZBDC,

.♦.DC是/ADB的平分线；

（2）解：四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数，

理由如下：

如图1,将△ADC绕点逆时针旋转60。，得至SBHC,

；.CD=CH,ZDAC=ZHBC.

,/四边形ACBD是圆内接四边形,

.,.ZDAC+ZDBC=180°,

.,.ZDBC+ZHBC=180°,

.•.点D,点B,点H三点共线.

VDC=CH,ZCDH=60°,

/.△DCH是等边三角形.

2

四边形ADBC的面积S=SAADC+SABDC=SACDH=—CD,

4

(3)解：如图2,作点D关于直线AC的对称点E,作点D关于直线BC的对称点F,

•••点D,点E关于直线AC对称，

.♦.EM=DM,

同理DN=NF.

VADMN的周长=DM+DN+MN=FN+EM+MN,

二当点E,点M,点N,点F四点共线时，aDMN的周长有最小值，

则连接EF,交AC于M,交BC于N,连接CE,CF,DE,DF,作CPJLEF于P,.*.△DMN的周长

最小值为EF=t.

•.•点D,点E关于直线AC对称，

；.CE=CD,NACE=NACD.

•••点D,点F关于直线BC对称，

；.CF=CD,ZDCB=ZFCB,

二CD=CE=CF,ZECF=/ACE+ZACD+ZDCB+ZFCB=2ZACB=120°.

VCP1EF,CE=CF,NECF=120。，

•\EP=PF,ZCEP=30°,

APC=-EC,PE=6PC=立EC,

22

；.EF=2PE=百EC=GCD=t,

...当CD有最大值时，EF有最大值，即t有最大值.

:CD为。0的弦，

，CD为直径时，CD有最大值4,

的最大值为46.

【解析】【分析】(1)由等边三角形的性质可得ZABC=ZBAC=ZACB=60°,结合圆周角定理可得

NADC=NBDC即可结论；

(2)将△ADC绕点逆时针旋转60。，得到ABHC,可得ADCH是等边三角形，利用四边形ADBC的

面积S=SAADC+SABDC=SACDH即可求解；

(3)作点D关于直线AC的对称点E,作点D关于直线BC的对称点F,由轴对称的性质可得EM=DM,

DN=NF,可得△DMN的周长=DM+DN+MN=FN+EM+MN,因此当点E,点M,点N,点F四点共

线时，^DNIN的周长有最小值，由轴对称的性质可得CD=CE=CF,NECF=120。,进而求解。

4.【答案】(1)证明：连接。4,交BC于点尸.

：.OA=OD.：.ZD^ZDAO.

VZD=ZC,

AZC=ZDAO.

■：/BAE=/C,

:./BAE=/DAO.

BD是OO的直径，

二NBAD=9()°,即ZZMO+ZBAO=9()°,

NB4£+N&10=90°,即Z6ME=90°,

AAE1OA.

又•••OA为0。的半径，

AE与0。相切于点A.

(2)解：•••AE//BC,AE10A,

OA1BC，

AB=AC，FB=^BC,AB-AC.

BC=2#j，AC=2五，

:.BF=/i，AB=2血，

.♦.在Rt„ABF中，AF=1AB2-BF2=42亚j—(6)，=1，

...在Rt_OFB中，OB2=BF2+(OB-AF)2,

.•.03=4，

：.BD=8,

.•.在RUABD中，AD=^BET-AB1=764-8=756=2714-

【解析】【分析】(1)先求出NC=/DAO,再求出AE_LQ4,最后求解即可;

(2)根据题意求出=,AB=2后，再利用勾股定理计算求解即可。

5.【答案】(1)证明：：AB是半圆。的直径

二ZADB=ZBCA=90。

在RtADB和RtBCA中

AB=AB

：.<,

AD=BC

R^ADB^RtBCA；

(2)解：连接0c.

BE=BF,由(1)知BCLEF

：.ZCBF=ZEBC,

VZCBF=ZDAC=30°,

...ZEBC=30°,

NE=90°—NE5C=60°.

•/BE是半圆。所在圆的切线,

AZAB£=90°,

AZE+ZBAE=90°,

.../&4£=90。一/石=30。，

:./COB=2/BAE=6。。.

._60乃x42_8"

扇形加=』-=7'

(3)解：连接OH,

•；H是AC中点，则OHLAC,

故H在以AO为直径的圆上运动，

当点C在8点时，点H与点O重合，

当点C在A点时，点H与点A重合，

所以，点H移动的长度是以OA为直径的圆的周长一半，

即L=47X—=2,71.

2

【解析】【分析】(1)根据圆周角定理得到NADB=NBC4=90°,根据全等三角形的判定定理即可得

到结论；

(2)根据等腰三角形的性质得到=根据切线的性质得到NABE=90。，根据三角形的内

角和即可得到即可；

(3)连接OH,当点。在8点时，点H与点O重合，当点C在A点时，点H与点A重合，得到

点H移动的长度是以OA为直径的圆的周长一半，即可得到点H移动的长度.

6.【答案】(1)证明：如图①，连接OD.

图①

,:BC为.,0的直径，

...ABAC=90°.

：AO平分ABAC,

BD=CD-

：.0D1BC.

•：DEBC,

ODVED.

ED为的切线.

（2）证明：由（1）可得88为等腰直角三角形.

,/DEBC,

ZE=ZABC=ZADC,ZBDE=ZDBC=NDCB=45°.

,BED1-^FDC-

.BDFC

"DE~CD

即BD'DEFC.

又BC=y[2BD，

，BC2=2EDFC.

（3）解：如图②，过点D作OG_LA£＞交AC的延长线于点G.

A

图②

...ZCDG+ZADC=90°,ZDGC=ZDAG=45°.

又ZADB+ZADC=90。,

：.ZADB=ZGDC

VDB=DC,/BAD=ZDGC=45。,

:._ABD^_GCD.

AB-CG,AD-DG-

.AOG为等腰直角三角形，

AB+AC=AG=CAD=3.

VtanZABC=2f

设AB—x9则AC—2x.

••3x=3,x\•

即AB=1，AC=2.

BC=V5.

【解析】【分析】（1）先证明OO_L3C,再结合OEBC可得即可得到ED为。。的切

线；

（2）先证明BE*.*FDC可得丝=g，即BO?=£>£•FC,再结合BC=-J1BD，即可得到

DECD

BC2=2EDFC;

（3）过点D作。GJ_AT>交AC的延长线于点G,先证明_ADG为等腰直角三角形，可得

AB+AC=4G=04O=3,再结合S〃ZABC=2，设AB=x,则AC=2x，列出方程3x=3，

求出x的值，即可得到3c=6。

7.【答案】（1）证明：如图.

B

'：ZE^-ZBOC,ZE=-ZDOF,

22

/.60c=/DOF,

在mOBC中，NC=9()°,

.../OBC+/BOC=9Q。,

•••/OBC=ZA,

：.ZA+ZDOF=90°,

NOZM=90°,

OD1AB,

,/AB为。。的切线.

(2)解：,/ZOBC=ZA,tanZOBC^-,

2

tcmA.——,

2

在RhAOD中，NOZM=90°,00=3,ta〃A=L

2

•••AD=2OD=6,OA^yJOD2+AD2^732+62=375-

在RJO8C中，NOCB=9()°,设OC=Z,则3C=2k.

在RfABC中，ZC=90°,tanA=-,BC=2k,

2

AC=2BC=4k,

:.AC=QA+OC=36+女=4左，

解得k=y/5，

・•・AB=+=J(4Z)2+(2攵)2=2忌=2氐石=10.

3£>=AB-AD=10—6=4.

【解析】【分析】（1）由圆周角定理得出NBOC=NOO/，由直角三角形的性质得出ODLAB,即可

得出结论；

（2）利用勾股定理得出0A的值，设0C=左，则BC=2左.得出AC=2BC=4Z,推出k的值，再

利用勾股定理得出AB的值，即可得出BD的值。

8.【答案】（1）证明：连接0E,

D

：CD是。0的切线，

AOEICD,

,/四边形ABCD是平行四边形，

；.AB〃CD,

A0E1AB,即：ZAOE=90°,

；./AFE=45,

「AB是。0的直径，

AZAFB=90°=ZAFC,

ZCFE=90-ZAFE=45°=ZAFE,

,.•AB〃CD,

ZC+ZB=180°,

又,.•/AEF+/B=180°,

NC=NAEF,

△FCE-AFEA

CF2

(2)解：---=—，

AF9

.•.设CF=2m,AF=9m,

VAFCE^AFEA,

.FCEF

••------

EF~AF

.,.EF2=AFCF；则EF2=AFCF=2m-9m=18m2,

解得：EF=3及m（负值舍去），

过点E作EHLAF于点H,

•在4AEF中，EF=3也m,AF=9m,/AFE=45。，

历

，EH=FH=_EF=3m,AH=AF-HF=9m-3m=6m,

2

•*-AE=ylAH2+EH-=V36/n2+9trr=72A0=42x=375，解得m=l（负值舍去），

•••FB=^AB2-AF2=7（3V10）2-92=3>

.•.BC=BF+CF=3+2m=3+2=5

.\AD=BC=5

【解析】【分析】3）连接OE,由同角的余角相等可得NC=NAEF,再根据有两个角对应相等的两个

三角形相似可求解；

召rFF

（2）结合已知可设CF=2m,AF=9m,由（1）中的相似三角形可得比例式—=——，则可求得EF?

EFAF

的值用含m的代数式表示出来，过点E作EHJ_AF于点H,在AAEF中，用勾股定理可将EF、AF用

含m的代数式表示出来，同理可将EH=FH用含m的代数式表示出来，根据AE=0AO可得关于m

的方程，解方程可求得m的值，贝UBC=BF+CF=BC可求解.

9.【答案】（1）证明：•.•四边形OBCD为菱形，

BC=CD，BC=CD,

，ABAC=ACAD,

.♦.AC平分NBAD.

（2）解：连接AO,如图，

ID

B

ZBOD=120°,

：./BAD=-NBOD=-xl20°=60°.

22

又：ZABO=15°,OA=OB,

：.N。钻=NOB4=15°,

...ZOAD=/BAD-ZOAB=60°-15°=45°,

OA=OD

ZOAD=ZODA=45°

...ZAOD=90°,

在Rt^AOD中，ZAOD=90°,OA=OD=OB=1

AD=\lOAr+OD1—Ji?+1?=5/2•

【解析】【分析】（1）先证明BC=CD，可得NBAC=NCA。，即可证明AC平分/B4D；

（2）连接AO,先求出NQ4D=NE4r>—NQ4B=60°—15°=45°,再求出NAOD=90°,最后利用

勾股定理求出AD的长即可。

10.【答案】（1）证明：如图1,连接OB,

图1

TAB是。O的切线,

AOBIAB,

VCE1AB,

...OB〃CE,

.-.Z1=Z3,

,.,OB=OC,

.\Z1=Z2

/.Z2=Z3,

/.CB平分NACE；

(2)解：如图2,连接BD,

VCE±AB,

♦•BC=JBE2+CE。-J??+4?=5>

VCD是。0的直径，

二/DBC=90°,

NE=NDBC,

DBC^ACBE,

.CDBC

"~BC~'CE'

.,.BC2=CD«CE,

175

：.OC=-CD^—

28

25

.••。0的半径=£.

o

【解析】【分析】(1)连接OB,根据切线的性质可得OBLAB,再结合CELAB,可得OB〃CE,证

出/1=/3,再结合/1=/2,可得N2=N3,即可得到CB平分NACE；

RC1铲nc

(2)连接BD,先证明△DBCs^CBE,可得——=■—,再将数据代入可得CD=j=三，最后求

BCCE44

出OC的长即可。

11.【答案】(1)&=2；砥=40；%=限

(2)解：如图，过点P作PM±x轴于点M,PNA.y轴于点N.

•.Z.PMO=APNO=NMON=90°，

•••四边形PMON是矩形.

：.OP=MN.

Q点坐标为，

：.OQ=2.

PQ-O^）PPQ+OQ,

,-.3-2<OP„3+2.

.•.啜巾5

（3）解：如图，设直线1与x轴，y轴的交点分别为A,B,过点O作OM1直线1于点M,以

OA为半径作。。，交直线1于点N.

/.AM=6.

过点M,N分别作x轴的垂线，垂足分别为C,D,

则AC=—，即。。=还.

22

:.AON是等边三角形，

:.OD=-AO=y/3.

2

.­.r=--或-瓜f<0.

2

%="*2=4返

%=收+(0)2=#

【分析】（1）先判断出MN=OB,即可用两点间的距离公式求解即可;

(2)先判断出四边形PMON是矩形，由Q的坐标得出0Q的值，由PQ-。废叮产PQ+OQ得出，

3-2<OP„3+2,从而得出h的取值范围；

(3)设直线1与x轴，y轴的交点分别为AB,过点。作OML直线1于点M,以OA为半

径作O。，交直线1于点N.由N8AO=60°,AO=26,得出AM的值，过点M,N分别作x

轴的垂线，垂足分别为C,D,得出OC的值，又由AAON是等边三角形，得出OD的值，由此得

出t的范围。

12.【答案】(1)解：①。，C②当点B的坐标为(0,1)时，如图，此时以BO为半径的B与

线段OA相切于点O,点O是_()AB关于点B的内联点；当点B移动到在y轴左侧时，作图

发现B与x轴有相交，且有一个交点不在线段OA上，/.不再有OAB关于点B的内联点；

当点B的坐标为(7,8)时，以BA为半径的OB

与x轴相切于点A,•••点A是.OA6关于点B的内联点；当点B直线x=7的右侧时，以BA为

半径的B与x轴相交，且有一个交点不在线段OA上不再有.OAB关于点B的内联点；

综上所述，若_AOB关于点B的内联点存在，求点B纵坐标n

的取值范围为W8；

⑵-拽《腔。或拽

555

【解析】【解答】解：(1)如图,

图2

①点8(3,4),点C(3,0),

：.BC±x轴，BC=4,

.1.OB=732+42-5，

A(7,0),

22

/.0A=7,AB=A/(7-3)+4=4V2

以BO为半径作CB与直线OA有两个公共点，且