(全国通用版)2018-2019版高中数学第二章推理与证明22直接证明与间接证明221综合法和分析法学案

2．2.1综合法和剖析法学习目标1.理解综合法、剖析法的意义，掌握综合法、剖析法的思想特色.2.会用综合法、剖析法解决问题．知识点一综合法思虑阅读以下证明过程，总结此证明方法有何特色？2222已知a，b>0，求证：a(b＋c)＋b(c＋a)≥4abc.证明：因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.所以a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.答案利用已知条件a>0，b>0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论．梳理(1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公义、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论建立，这类证明方法叫做综合法．综合法的框图表示P?Q1―→Q1?Q2―→Q2?Q3―→,―→Qn?Q(P表示已知条件、已有的定义、公义、定理等，Q表示所要证明的结论)知识点二剖析法思虑阅读证明基本不等式的过程，试剖析证明过程有何特色？a＋b已知a，b>0，求证：2≥ab.a＋b证明：要证2≥ab，只需证a＋b≥2ab，只需证a＋b－2ab≥0，2只需证(a－b)≥0，因为(a－b)2≥0明显建立，所以原不等式建立．答案从结论出发开始证明，找寻使证明结论建立的充分条件，最后把要证明的结论变为一个明显建立的条件．梳理(1)定义：从要证明的结论出发，逐渐追求使它建立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归纳为判断一个明显建立的条件(已知条件、定理、定义、公义等)为止，这类证明方法叫做剖析法．剖析法的框图表示Q?P1―→P1?P2―→P2?P3―→,―→获得一个明显建立的条件1．综合法是执果索因的逆推证法．(×)2．剖析法就是从结论推向已知．(×)3．剖析法与综合法证明同一问题时，一般思路恰巧相反，过程相逆．(√)种类一综合法的应用2C2A3例1在△ABC中，三边a，b，c成等比数列．求证：acos2＋ccos2≥2b.考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题证明因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac.a1＋cosCc1＋cosA因为左侧＝2＋211＝2(a＋c)＋2(acosC＋ccosA)11a2＋b2－c2b2＋c2－a2＝(a＋c)＋a·2＋c·222abbc11b2(a＋c)＋2b≥ac＋23b＋2＝2b＝右侧，2C2A3所以acos2＋ccos2≥2b.反省与感悟综合法证明问题的步骤追踪训练1已知a，b，c为不全相等的正实数．b＋c－ac＋a－b＋－>3.求证：a＋b＋c考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题证明因为b＋c－a＋c＋a－b＋a＋b－cabcbacbac＝a＋b＋b＋c＋c＋a－3，又a，b，c为不全相等的正实数，bacbac而a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2，且上述三式等号不可以同时建立，bacbac所以a＋b＋b＋c＋c＋a－3>6－3＝3，b＋c－ac＋a－ba＋b－c>3.即a＋b＋c种类二剖析法的应用例2设a，b为实数，求证：a2＋b2≥22(a＋b)．考点剖析法及应用题点剖析法解决不等式问题证明当＋≤0时，∵2＋2≥0，ababa2＋b2≥22(a＋b)建立．当a＋b>0时，用剖析法证明以下：222要证a＋b≥2(a＋b)，只需证(a2＋b2)2≥22a＋b2，2212222即证a＋b≥2(a＋b＋2ab)，即证a＋b≥2ab.∵a2＋b2≥2ab对一确实数恒建立，a2＋b2≥2(a＋b)建立．2综上所述，不等式得证．反省与感悟剖析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着剖析，由未知想需知，由需知渐渐地凑近已知(已知条件、已经学过的定义、定理、公义、公式、法例等)．这种证明的方法重点在于需保证剖析过程的每一步都是能够逆推的．它的常有书写表达式是“要证,,只需,,”或“?”．追踪训练2已知非零向量a，b，且a⊥b，|a|＋|b|求证：|＋|≤2.ab考点剖析法及应用题点剖析法解决不等式问题|a|＋||证明a⊥b?a·b＝0，要证|a＋b|≤2，只需证|a|＋|b|≤2|a＋b|，只需证|a|2＋2|a|||＋|b|2≤2(2＋2·＋2)，baabb只需证|a|2＋2|a|||＋|b|2≤22＋22，bab只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即证(|a|－|b|)2≥0，上式明显建立，故原不等式得证．种类三剖析法与综合法的综合应用例3△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其对边分别为a，b，c.求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.考点剖析法和综合法的综合应用题点剖析法和综合法的综合应用证明要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，113即证a＋b＋b＋c＝a＋b＋c，a＋b＋ca＋b＋c即证a＋b＋b＋c＝3，a即证a＋b＋b＋c＝1.即证(＋)＋(＋)＝(＋)(b＋)，cbcaababc即证c2＋a2＝ac＋b2.因为△ABC三个内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°.由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2cacos60°，即b2＝c2＋a2－ac.222所以c＋a＝ac＋b建立，命题得证．a＋bc本例改为求证1＋a＋b>1＋c.a＋bc证明要证1＋a＋b>1＋c，只需证a＋b＋(a＋b)c>(1＋a＋b)c，即证a＋b>c.而a＋b>c明显建立，a＋b

c所以>.1＋a＋b1＋c反省与感悟综合法由因导果，剖析法执果索因，所以在实质解题时，经常把剖析法和综合法联合起来使用，即先利用剖析法找寻解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．追踪训练3已知a，b，c是不全相等的正数，且0<x<1.a＋bb＋ca＋c求证：logx2＋logx2＋logx2<logxa＋logxb＋logxc.考点剖析法和综合法的综合应用题点剖析法和综合法的综合应用证明a＋bb＋c＋logxa＋c要证logx＋logx<logxa＋logxb＋logxc，222只需证logxa＋bb＋ca＋c·2·<logx(abc)，22由已知0<x<1，只需证a＋bb＋ca＋c·2·2>abc，a＋b

b＋c

a＋c由公式

2

≥

ab>0，

2

≥

bc>0，

2

≥

ac>0.又∵a，b，c是不全相等的正数，a＋bb＋ca＋c222∴2·2·2>abc＝abc.a＋bb＋ca＋c即2·2·2>abc建立．a＋bb＋ca＋c∴logx＋logx＋logx<logxa＋logxb＋logxc建立.2221．命题“关于随意角22(cosθ－sinθ)(cos

θ，cos4θ－sin2θ＋sin2θ)＝cos

4θ＝cos2θ”的证明过程为：“22θ－sinθ＝cos2θ”，其应用了

cos(

4θ－)

sin

4θ＝A．剖析法B．综合法C．综合法、剖析法综合使用D．类比法考点综合法及应用题点利用综合法解决三角形问题答案B12．设0<x<1，则a＝2x，b＝x＋1，c＝1－x中最大的是( )A．aB．bC．cD．随x取值不一样而不一样考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题答案C分析∵0<x<1，∴b＝x＋1>2x>2x＝a，11－1－x2x2∵1－x－(x＋1)＝1－x＝1－x>0，∴c>b>a.3．要证2－3<6－7建立，只需证( )A．(2－3)2<(6－7)2B．(2－6)2<(3－7)2C．(2＋7)2<(3＋6)2D．(2－3－6)2<(－7)2考点剖析法及应用题点找寻结论建立的充分条件答案C分析依据不等式性质，当>>0时，才有a2>2，abb只需证2＋7<6＋3，即证(2＋23＋27)<(6).4．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且a2＋b2－c2＝ab，则角C的值为________．考点综合法及应用题点利用综合法解决三角形问题答案

π3a2＋b2－c2ab1分析cosC＝2ab＝2ab＝2，0<C<π，∴C＝π.35．已知a，b，c都为正实数，求证：a2＋b2＋c2a＋b＋c≥.33考点剖析法及应用题点剖析法解决不等式问题证明要证a2＋b2＋c2≥a＋b＋c，33222a＋＋c2，只需证a＋b＋c≥b33只需证3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca，只需证2(2＋b2＋c2)≥2＋2bc＋2，aabca只需证(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，而这是明显建立的，所以a2＋b2＋c2a＋b＋c3≥3建立．1．综合法证题是从条件出发，由因导果；剖析法是从结论出发，执果索因．2．剖析法证题时，必定要适合地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语．3．在解题时，常常把综合法和剖析法联合起来使用．一、选择题1．若实数x，y知足不等式xy>1，x＋y≥0，则( )A．x>0，y>0B．x<0，y<0C．x>0，y<0D．x<0，y>0考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题答案Ax＋y≥0，x>0，分析由得xy>1，y>0.2．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只需证( )A．2－1－22≤0abab22a4＋b4B．a＋b－1－≤022a＋b－1－a2b2≤02D．(a2－1)(b2－1)≥0考点剖析法及应用题点找寻结论建立的充分条件答案D分析要证a2＋b2－1－a2b2≤0，2222只需证ab－(a＋b)＋1≥0，即证(a2－1)(b2－1)≥0.3．在非等边三角形中，A为钝角，则三边，，c知足的条件是( )ABCabA．b2＋c2≥a2B．b2＋c2>a2C．b2＋c2≤a2D．b2＋c2<a2考点综合法及应用题点利用综合法解决三角形问题答案D分析由余弦定理的推论，得cosb2＋c2－a2A＝，2bc∵A为钝角，∴cosA<0，则b2＋c2<a2.4．A，B为△ABC的内角，A>B是sinA>sinB的( )A．充分不用要条件B．必需不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件考点综合法及应用题点利用综合法解决三角形问题答案C分析由正弦定理得a＝b＝2(为△的外接圆半径)，sinAsinBRRABC又A，B为三角形的内角，∴sinA>0，sinB>0，∴sinA>sinB?2RsinA>2RsinB?a>b?A>B.5．设a，b>0，且a≠b，a＋b＝2，则必有()A．1≤ab≤a2＋b2B．aba2＋b22<1<2a2＋b2a2＋b2C．ab<<1D.<ab<122考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题答案B分析a2＋b2因为a≠b，故>ab，2又因为a＋b＝2>2ab，2＋b2＋2－2ab故ab<1，2＝ab2＝2－ab>1，a2＋b2即>1>ab.2ln2ln3ln56．若a＝2，b＝3，c＝5，则()A．a<b<cB．c<b<aC．c<a<bD．b<a<c考点综合法及应用题点利用综合法解决函数问题答案C分析利用函数单一性．lnx1－lnx设f(x)＝x，则f′(x)＝x2，∴当0<<e时，f′( )>0，(x)单一递加；xxf当x>e时，f′(x)<0，f(x)单一递减．ln4又a＝4，∴b>a>c.7．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)单一递减．若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值()A．恒为负B．恒等于零C．恒为正D．没法确立正负考点综合法及应用题点利用综合法解决函数问题答案A分析由f(x)是定义在R上的奇函数，且当≥0时，f()单一递减，可知f()是R上的减函xxx数．由x1＋x2>0，可知x1>－x2，所以f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，所以f(x1)＋f(x2)<0.二、填空题8．命题“函数f(x)＝x－xlnx在区间(0,1)上是增函数”的证明过程为“对函数f(x)＝x－xlnx取导得f′(x)＝－lnx，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－lnx>0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．考点综合法及应用题点利用综合法解决函数问题答案综合法9．假如aa＋bb>ab＋ba，则正数a，b应知足的条件是________．考点剖析法及应用题点找寻结论建立的充分条件答案a≠b分析∵aa＋bb－(ab＋ba)＝a(a－b)＋b(b－a)＝(a－b)(a－b)(a－b)2(a＋b)．∴只需a≠b，就有aa＋bb>ab＋ba.10．设a＝2，b＝7－3，c＝6－2，则a，b，c的大小关系为________．考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题答案a>c>b分析∵a2－c2＝2－(8－43)＝43－6＝48－36>0，a>0，c>0，∴a>c.∵c>0，b>0，c＝6－2＝7＋3>1，b7－36＋2∴c>b.∴a>c>b.111．比较大小：设a>0，b>0，则lg(1＋ab)____________2[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题答案≤分析∵(1＋ab)2－(1＋a)(1＋b)2ab－(a＋b)≤0，∴(1＋ab)2≤(1＋a)(1＋b)，则lg(1＋ab)2≤lg(1＋a)(1＋b)，1即lg(1＋ab)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．212.以下图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD知足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你以为正确的一个条件即可，不用考虑全部可能的情况)．考点剖析法及应用题点找寻结论建立的充分条件答案对角线相互垂直(答案不独一)分析要证A1C⊥B1D1，只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B1D1⊥CC1，故只需证B1D1⊥A1C1即可．三、解答题13．已知

a>0，求证：

21a＋a2－

12≥a＋a－2.考点剖析法及应用题点利用