第一章空间向量与立体几何章末测试-【题型分类归纳】2

第一章：空间向量与立体几何章末测试一、单选题：本大题巩8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为点，则其关于平面对称的点为.故选：A.2．如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】连接OM，ON，则．故选：A．3．在下列条件中，一定能使空间中的四点共面的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据向量共面定理，，若A，B，C不共线，且A，B，C，M共面，则其充要条件是，由此可得A，B，D不正确，选项C：，所以四点共面，故选：C.4．已知向量，，且与互相垂直，则的值是（）A．－1 B． C． D．【答案】D【解析】因为，，所以，，因为与互相垂直，所以，解得，故选：D5．如图所示，在棱长为1的正方形中，点P是的中点，点M，N是矩形内（包括边界）的任意两点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设正方体的中心为O，连接OP，OM，ON．由正方体的性质可知，，，那么，又，所以.当与反向，且时，有最小值，此时；当与同向，且时，有最大值，此时，即的取值范围为．故选：B6．已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设在基底下的坐标为，则，所以，解得，故在基底下的坐标为.故选：B.7．正方体中，E，F分别为，的中点，则异面直线AE与FC所成角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，建立空间直接坐标系，设正方体的棱长为2，因为E，F分别为，的中点，易知，A(2，0，0)，E(0，1，2)，C(0，2，0)，F(2，2，1)所以，，所以<>=.因为异面直线AE与FC所成角为锐角.所以异面直线AE与FC所成角的余弦值为.故A，B，C错误.故选：D.8．已知正方体，是线段上一点，下列说法正确的是（）A．若，则直线平面B．若，则直线平面C．若，则直线平面D．若，则直线平面【答案】A【解析】以D为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，,，，，，，则，，，，，,当时，，设平面的法向量为，则取，则，，则为平面的一个法向量，因为，所以，又因为平面，所以直线平面，故A正确，B不正确．当时，，设平面的一个法向量为，则，取则，，则为平面的一个法向量，因为与不共线，所以直线与平面不垂直，故C不正确；当时，因为与不共线，所以直线与平面不垂直，故D不正确．故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（）A．向量与的长度相等B．在空间四边形ABCD中，与是相反向量C．空间向量就是空间中的一条有向线段D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量【答案】AD【解析】向量与是相反向量，长度相等，故选项A正确；空间四边形ABCD中，与的模不一定相等，方向也不一定相反，故B错误：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但不能说空间向量就是有向线段，故选项C错误；由空间向量的有关概念与性质易知选项D正确．故选：AD．10．对于任意非零向量，，以下说法错误的有A．若，则B．若，则C．D．若，则为单位向量【答案】BD【解析】对于A选项，因为，则，A选项正确；对于B选项，若，且，，若，但分式无意义，B选项错误；对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知，C选项正确；对于D选项，若，则，此时，不是单位向量，D选项错误.故选：BD.11．给出下列命题，其中正确的有（）A．空间任意三个向量都可以作为一个基底B．已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底C．，，，是空间中的四个点，若，，不能构成空间的一个基底，那么，，，共面D．已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底【答案】BCD【解析】A：空间中共面的三个向量不能作为基底，故错误；B：向量，即，可平移到一条直线上，它们与其它任何向量都会共面，故不能作为基底，正确；C：，，不能构成空间的一个基底，即它们共面，则，，，共面，正确；D：是空间的一个基底，即它们不共面，由即共面，故与不共面，则是空间的一个基底，正确.故选：BCD12．如图，在棱长为2的正方体中，点在线段上运动，则下列说法正确的是（）A．平面B．几何体的外接球半径C．异面直线与所成角的正弦值的取值范围为D．面与底面所成角正弦值的取值范围为【答案】ACD【解析】在正方体中，,故为平行四边形，所以,而平面平面，平面，故平面，同理可证平面,而平面,所以平面平面平面，则平面，A正确.几何体关于正方体的中心对称，其外接球与正方体的外接球相同，半径为，故B错误.由于，则直线与所成最大角为（或），其正弦值为.直线与所成最小角为与平面所成角，当为中点时，所成角即为，平面平面,故,，故，故C正确.以D为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则，则,设，则,设平面的法向量为，则，令，则，故，由题意知平面ABCD的法向量可取为，则，则面与底面所成角正弦值为，由于，故当时，取到最小值8，则取到最小值为，当或时，取最大值12，取最大值为，所以面与底面所成角正弦值的取值范围为，D正确，故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知，，，且点D在平面ABC内，则________.【答案】11【解析】因为点在平面内，所以存在唯一一对实数，使得成立，所以，因此，解得.故答案为：1114．若四点，，，共面，则可以为______．（写出一个符合题意的即可）【答案】（答案不唯一，满足即可）【解析】因为四点，，，共面，所以向量，，共面，所以存在实数，，使得，即，所以，解得，令，得，则可以为．故答案为：（答案不唯一，满足即可）15．光丘楼亦称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，其墩台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其上下底面边长之比约为，则______．【答案】【解析】如图，延长，，，相交于一点，则，，，所以，，，所以.故答案为：16．已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是______【答案】【解析】设，因为，所以，所以点的坐标为.又，，所以，所以当时，取最小值，此时点的坐标为.故答案为：.四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．如图，已知，分别为四面体的面与面的重心，为上一点，且.求证：，，三点共线.【答案】证明见解析.【解析】证明：取的中点，连接，因为，分别为四面体的面与面的重心，所以在上，在上，设，，，因为为的重心，所以，因为，所以,所以，因为为的重心，所以，∴.又，∴，，三点共线.18．如图，三棱柱中，平面平面，过的平面交线段于点（不与端点重合），交线段于点.（1）证明：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）在三棱柱中，面，面，所以面，又过的平面面，所以.（2）面面面面面，所以面面则，过作面，则可构建为原点，为轴的空间直角坐标系，又，且，所以，，，，则，，，若为面的法向量，则，令，即，所以，直线与平面所成角的正弦值为.19．在空间直角坐标系中，已知和，试问：（1）在轴上是否存在点，满足？（2）在y轴上是否存在点，使为等边三角形？若存在，试求出点的坐标．【答案】（1）存在；（2）存在，点的坐标为或．【解析】（1）假设在轴上存在点，满足．因为点在轴上，所以可设，由，可得，显然，此式对任意恒成立．所以在轴上存在点，满足．（2）假设在轴上存在点，使为等边三角形．由（1）可知，恒成立，所以只要，就可以使是等边三角形．设，因为，，所以，解得．故在轴上存在点，使为等边三角形，且点的坐标为或．20．如图，在正四棱锥中，O为底面中心，，M为PO的中点，．（1）求证：平面EAC；（2）求直线DM到平面EAC的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：在正四棱锥中，连接BD，则O为BD的中点，且，由于平面ABCD，AC，平面ABCD，所以，，所以PO，AC，BD两两垂直．以点O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，故E为PB的靠近B的三等分点，则，，，，，所以，，，设平面EAC的法向量为，则,取，则，，则为平面EAC的一个法向量，因为，所以，又因为平面EAC，所以平面EAC．（2）由（1）知平面EAC，所以直线DM到平面EAC的距离即为点D到平面EAC的距离．由（1）知，平面EAC的一个法向量为，所以点D到平面EAC的距离,故直线DM到平面EAC的距离为．21．如图，在以P，A，B，C，D为顶点的五面体中，四边形ABCD为等腰梯形，∥，，平面平面，．（1）求证：平面平面；（2）若二面角的余弦值为，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面．（2）过作，，垂足分别为，，连接，因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，又，且，，平面，所以平面，因为平面，所以，即即为二面角的平面角，不妨设，则可知，且，，因为，所以，所以，过作平面，以为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以，设直线PD与平面PBC所成角为，则，直线PD与平面PBC所成角的正弦值为22．已知正四棱柱中，.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值；（3）在线段上是否存在