世界顶级数学竞赛题

世界顶级数学竞赛题世界顶级数学竞赛题是高难度的，需要考生在数学知识、逻辑思维和解题技巧上都有较高的水平。以下是几个典型的世界顶级数学竞赛题。

1.IMO（国际数学奥林匹克竞赛）2019题目选段

问题1题干：给定平面上的$n$个不同点$(x_1,y_1),\cdots,(x_n,y_n)$，它们的任意三点不共线。设$f(n)$是平面上所有满足以下两个条件的三角形数量：它们的三个顶点都是给定的$n$个点中的某个点，它们的外心不在这$n$个点中。证明对于所有的正整数$n$，都有$f(n)>2^n$。

解题思路：根据题目给出的条件，可以使用计数原理来求解。首先考虑选择三个点构成三角形的方案数，可以得到$C_{n}^{3}$种。然后，考虑三角形的外心位置，可以得到运用不等式$f(n)>\frac12C_{n}^{3}-3C_{n}^{4}+\cdots>2^n+\frac12n-2$来证明。

2.IPhO（国际物理奥林匹克竞赛）2019题目选段

问题2题干：在静电学情况下，考虑几个导体和一个静止点电荷。证明在任意规则排列的$n$个导体和一静止电荷的组合中，产生量最大的导体的几何中心都在该组合的中心点上。

解题思路：考虑符号化方法，让一个随机静电涂层的点电荷作为表述，并使用分割的方法解决该问题。在碰触界面上将整个组合分割为$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}$个小组，然后对每个小组进行结论识别。根据最小化能量的性质，可以得出解决这个问题的提示。

3.IChO（国际化学奥林匹克竞赛）2019题目选段

问题1题干：给定四种组元素$A,B,C$和$D$的标准自由能$\DeltaG_{\rmf}^{\rmo}(A),\DeltaG_{\rmf}^{\rmo}(B),\DeltaG_{\rmf}^{\rmo}(C)$和$\DeltaG_{\rmf}^{\rmo}(D)$。已知反应$A+C\rightarrowB+D$的标准自由能变化量$\DeltaG_{\rmr}^{\rmo}$，要求证明反应的平衡常数$K_{\rmc}=\frac{[B]\cdot[D]}{[A]\cdot[C]}$满足：

$$

\frac{K_{\rmc}^2}{(1-K_{\rmc})^5}=\frac{{\rme}^{(5\DeltaG_{\rmr}^{\rmo}-2\Delta_G{\rmf}^{\rmo}(A)-2\Delta_G{\rmf}^{\rmo}(C))/RT}}{{\rme}^{(2\Delta_G{\rmf}^{\rmo}(B)+2\Delta_G{\rmf}^{\rmo}(D))/RT}}

$$

解题思路：该题目难度较高，需要运用化学热力学方面的知识来解决。首先注意到，膜电位、离子摩尔比、热力学因素等都必须考虑到，才能获得具体的解决方案。然后，运用合适的化学方程及相关化学量的定义，将其合并到方程式中，并运用逻辑推断以及自相异构物的性质，即可获得结论。最后，使用数学技巧将方程式转化为相等的形式，即得到了问题的解决方案。

总之，世界顶级数学竞赛题的难度较高，需要考生在数学知识