(江苏)高考数学-压轴大题突破练-圆锥曲线

PAGE2-中档大题规范练——圆锥曲线1．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实半轴长为eq\r(3).(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋eq\r(2)与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，b)，求b的取值范围．解(1)设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由已知，得a＝eq\r(3)，c＝2，b2＝c2－a2＝1，故双曲线方程为eq\f(x2,3)－y2＝1.(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将y＝kx＋eq\r(2)代入eq\f(x2,3)－y2＝1，得(1－3k2)x2－6eq\r(2)kx－9＝0.由题意，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－3k2≠0，,Δ＝361－k2>0，,xA＋xB＝\f(6\r(2)k,1－3k2)<0，,xAxB＝\f(－9,1－3k2)>0，))解得eq\f(\r(3),3)<k<1.所以当eq\f(\r(3),3)<k<1时，直线l与双曲线C的左支有两个交点．(3)由(2)，得xA＋xB＝eq\f(6\r(2)k,1－3k2)，所以yA＋yB＝(kxA＋eq\r(2))＋(kxB＋eq\r(2))＝k(xA＋xB)＋2eq\r(2)＝eq\f(2\r(2),1－3k2)，所以AB中点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2)k,1－3k2)，\f(\r(2),1－3k2))).设l0的方程为y＝－eq\f(1,k)x＋b，将P点的坐标代入l0的方程，得b＝eq\f(4\r(2),1－3k2)，∵eq\f(\r(3),3)<k<1，∴－2<1－3k2<0，∴b<－2eq\r(2).∴b的取值范围是(－∞，－2eq\r(2))．2．已知离心率为eq\f(1,2)的椭圆C1的左，右焦点分别为F1，F2，抛物线C2：y2＝4mx(m>0)的焦点为F2，设椭圆C1与抛物线C2的一个交点为P(x0，y0)，PF1＝eq\f(7,3).(1)求椭圆C1的标准方程及抛物线C2的标准方程；(2)直线x＝m与椭圆C1在第一象限的交点为Q，若存在过点A(4,0)的直线l与椭圆C1相交于不同的两点M，N，使得36AQ2＝35AM·AN，求出直线l的方程．3x2－4eq\r(3)x＝0，即A(0，eq\r(3))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))，所以可得AB＝eq\f(4\r(6),3)；将y＝x＋m代入eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,3)＝1得：3x2＋4mx＋2m2－6＝0，设C(x3，y3)，D(x4，y4)，则CD＝eq\r(2)eq\r(x3＋x42－4x3x4)＝eq\f(2\r(2),3)eq\r(18－2m2)，又因为Δ＝16m2－12(2m2－6)>0，即－3<m<3，所以当m＝0时，CD取得最大值4，所以四边形ACBD面积的最大值为eq\f(1,2)AB·CD＝eq\f(8\r(6),3).4．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，⊙O：x2＋y2＝b2，点A，F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是⊙O上的动点．(1)若P(－1，eq\r(3))，PA是⊙O的切线，求椭圆C的方程；(2)是否存在这样的椭圆C，使得eq\f(PA,PF)恒为常数？如果存在，求出这个常数及C的离心率e；如果不存在，请说明理由．解(1)由P(－1，eq\r(3))在⊙O：x2＋y2＝b2上，得b2＝1＋3＝4.直线PA的斜率kPA＝eq\f(\r(3)－0,－1－－a)＝eq\f(\r(3),a－1)，而直线PA的斜率kPA＝－eq\f(1,kOP)＝eq\f(1,\r(3))，所以eq\f(\r(3),a－1)＝eq\f(1,\r(3))，解得a＝4.所以a2＝16，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)假设存在椭圆C，使得eq\f(PA,PF)恒为常数．设椭圆C的半焦距为c，当P(－b,0)时，则有eq\f(PA,PF)＝eq\f(a－b,|c－b|)；当P(b,0)时，则有eq\f(PA,PF)＝eq\f(a＋b,b＋c).依假设有eq\f(a－b,|c－b|)＝eq\f(a＋b,b＋c).①当c－b>0时，有eq\f(a－b,c－b)＝eq\f(a＋b,b＋c)，所以(a－b)(b＋c)＝(a＋b)(c－b)，化简整理得a＝c，这是不可能的．②当c－b<0时，有eq\f(a－b,b－c)＝eq\f(a＋b,b＋c).所以(a－b)(b＋c)＝(a＋b)(b－c)，化简整理得ac－b2＝0.所以c2－a2＋ac＝0，两边同除以a2，得e2＋e－1＝0.解得e＝eq\f(－1＋\r(5),2)，或e＝eq\f(－1－\r(5),2)∉(0,1)(舍去)．可见，若存在椭圆C满足题意，只可能离心率e＝eq\f(－1＋\r(5),2).设P(x，y)为⊙O：x2＋y2＝b2上任意一点，则eq\f(PA,PF)＝eq\f(\r(x＋a2＋y2),\r(x＋c2＋y2))eq\f(PA2,PF2)＝eq\f(x＋a2＋b2－x2,x＋c2＋b2－x2)＝eq\f(2ax＋a2＋b2,2cx＋c2＋b2)＝eq\f(2ax＋2a2－c2,2cx＋a2).(*)由上c2－a2＋ac＝0，得a2－c2＝ac，所以eq\f(2a2－c2,a2)·eq\f(c,a)＝eq\f(a2＋ac,a2)·eq\f(c,a)＝eq\f(a＋c,a2)·c＝eq\f(ac＋c2,a2)＝eq\f(a2,a2)＝1，从而eq\f(2a2－c2,a2)＝eq\f(a,c).代入(*)式得eq\f(PA2,PF2)＝eq\f(a,c)＝eq\f(\r(5)＋1,2)，所以存在满足题意的椭圆C，这个常数为eq\r(\f(\r(5)＋1,2))，椭圆C的离心率为e＝eq\f(－1＋\r(5),2).5．已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(EB,\s\up6(→))的最小值．解(1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有eq\r(x－12＋y2)－|x|＝1.化简得y2＝2x＋2|x|.当x≥0时，y2＝4x；当x<0时，y＝0.所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0(x<0)．(2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x，))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1＋x2＝2＋eq\f(4,k2)，x1x2＝1.因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－eq\f(1,k).设D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.故eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(EB,\s\up6(→))＝(eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→)))·(eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→)))＝eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))＝|eq\o(AF,\s\up6(→))|·|eq\o(FB,\s\up6(→))|＋|eq\o(FD,\s\up6(→))|·|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(4,k2)))＋1＋1＋(2＋4k2)＋1＝8＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k2＋\f(1,k2)))≥8＋4×2eq\r(k2·\f(1,k2))＝16.当且仅当k2＝eq\f(1,k2)，即k＝±1时，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(EB,\s\up6(→))取最小值16.6．在平面直角坐标系xOy中，动点P在椭圆C1：eq\f(x2,2)＋y2＝1上，且到椭圆C1的右焦点的距离与到直线x＝2的距离之比等于椭圆的离心率．动点Q是动圆C2：x2＋y2＝r2(1<r<2)上一点．(1)设椭圆C1上的三点A(x1，y1)，B(1，eq\f(\r(2),2))，C(x2，y2)与点F(1,0)的距离依次成等差数列，线段AC的垂直平分线是否经过一个定点？请说明理由；(2)若直线PQ与椭圆C1和动圆C2均只有一个公共点，求P，Q两点的距离PQ的最大值．解(1)椭圆C1：eq\f(x2,2)＋y2＝1的离心率e＝eq\f(\r(2),2)，右焦点为(1,0)，由题意可得AF＝eq\f(\r(2),2)(2－x1)，BF＝eq\f(\r(2),2)(2－1)，CF＝eq\f(\r(2),2)(2－x2)．因为2BF＝AF＋CF，所以eq\f(\r(2),2)(2－x1)＋eq\f(\r(2),2)(2－x2)＝2×eq\f(\r(2),2)(2－1)，即得x1＋x2＝2.因为A，C在椭圆上，故有eq\f(x\o\al(2,1),2)＋yeq\o\al(2,1)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),2)＋yeq\o\al(2,2)＝1，两式相减，得kAC＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝－eq\f(x2＋x1,2y2＋y1)＝－eq\f(1,y2＋y1).设线段AC的中点为(m，n)，而m＝eq\f(x1＋x2,2)＝1，n＝eq\f(y1＋y2,2)，所以与直线AC垂直的直线斜率为k′＝y2＋y1＝2n.则线段AC的垂直平分线的方程为y－n＝2n(x－1)，即y＝n(2x－1)经过定点(eq\f(1,2)，0)．即线段AC的垂直平分线过一个定点(eq\f(1,2)，0)．(2)依题意得，直线PQ的斜率显然存在，设直线PQ的方程为y＝kx＋t，设P(x′1，y′1)，Q(x′2，y′2)，由于直线PQ与椭圆C1相切，点P为切点，从而有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y′1＝kx′1＋t，,\f(x′\o\al(2,1),2)＋y′\o\al(2,1)＝1，))得(2k2＋1)x′eq\o\al(2,1)＋4ktx′1＋2(t2－1)＝0.故Δ＝(4kt)2－4×2(t2－1)(2k2＋1)