第19讲双曲线中的最值问题题型总结（原卷版）

第19讲双曲线中的最值问题题型总结【题型目录】题型一：利用焦半径范围求最值题型二：利用渐近线与双曲线位置关系求范围题型三：利用双曲线线定义转化为三点共线问题求最值【典型例题】题型一：利用焦半径范围求最值【例1】（2022·全国·高二）若P是双曲线C：上一点，C的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（）A．B．渐近线方程为C．的最小值是2D．焦点到渐近线的距离是【例2】（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）已知，分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的右支上，则的最小值为（）A．B．C．D．【例3】（2022·全国·高二课时练习）设P是双曲线上一点，M､N分别是两圆和上的点，则的最大值为（）A．6B．9C．12D．14【题型专练】1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知点P是双曲线（a>0，b>0）的渐近线上一点，F是双曲线的右焦点，若|PF|的最小值为2a，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）双曲线的一条渐近线方程为，，分别为该双曲线的左右焦点，为双曲线上的一点，则的最小值为（）A．B．C．D．3．（2022·重庆·三模）已知双曲线：的左右焦点为，，左右顶点为，，过的直线交双曲线C的右支于P，Q两点，设，，当直线绕着转动时，下列量保持不变的是（）A．的周长B．的周长与之差C．D．题型二：渐近线与双曲线位置关系求范围【例1】（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））已知，，若曲线上存在点满足，则的取值范围是___________.【题型专练】1．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））已知，点满足方程，且有，则的取值范围是（）A．B．C．D．2．（2022·全国·高三专题练习）已知点，，若曲线上存在点P满足，则下列正确的是（）A．B．C．D．题型三：利用双曲线线定义转化为三点共线问题求最值【例1】（2022·天津·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的最小值为9，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【例2】（2022·全国·模拟预测（理））已知双曲线的左、有焦点分别为，，实轴长为4，离心率，点Q为双曲线右支上的一点，点．当取最小值时，的值为（）A．B．C．D．【例3】（2022·全国·高二专题练习）已知，分别是双曲线：的左，右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆：上一动点，则的最小值为______．【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知点在双曲线的右支上，，动点满足，是双曲线的右焦点，则的最大值为___________.【例5】（2022·全国·高二课时练习）设P是双曲线上一点，M､N分别是两圆和上的点，则的最大值为（）A．6B．9C．12D．14【例6】（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））已知双曲线的离心率为，其左，右焦点分别为，过且与x轴垂直的直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若，P为双曲线右支上一点，则的最小值为（）A．B．C．D．【例7】（2021·广东·佛山一中高二阶段练习）设是双曲线的右支上的点，则的最小值为（）A．B．C．D．5【题型专练】1．（2022·安徽蚌埠·三模（理））双曲线：的离心率为，点是的下焦点，若点为上支上的动点，设点到的一条渐近线的距离为，则的最小值为（）A．6B．7C．8D．92．（2022·全国·高二专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值为______．3．（2022·河南·南阳中学三模（文））已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为___________.4．（2022·陕西宝鸡·二模（理））已知F是双曲线的右焦点，P是C的左支上一点，.当周长最小时，该三角形的面积为___________.5．（2022·湖北·高三阶段练习）已知双曲线：，F是双曲线C的右焦点，点A是双曲线C的左支上的一点，点B为圆D：上一点，则的最小值为_____.6．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为､，为双曲线右支上一点，点的坐标为，则的最小值为___________.7．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线：的左､右焦点分别为，，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值10时，面积的最大值为___________8．（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线：，，是其左右焦点.圆：，点为双曲线右支上的动点，点为圆上的动点，则的最小值是________.9．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为F，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（）A．B．8C．D．910．（2022·河南·许昌高中高三开学考试（文））已知双曲线的左焦点为，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为，则的最大值为（）A．3B．1C．D．11．（2023·全国·高