【2022届高考数学一轮复习】《指数函数》

-1-第4讲指数函数1．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，能进行幂的运算．2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的性质，会画指数函数的图象，了解指数函数模型的实际案例，会用指数函数模型解决简单的实际问题．-1-基础自查1．根式如果x2＝a，那么x称为a的

；如果

，那么x称为a的立方根．如果一个实数x满足xn＝a(n>1，n∈N*)，那么称x为a的．平方根x3＝an次实数方根-1-

当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个．这时，a的n次实数方根只有一个，记为x＝，当n为偶数时，正数的n次实数方根有

个，它们互为．这时，正数a的正的n次实数方根用符号表示，负的n次实数方根用符号－表示，它们可以合并写成±(a>0)

的形式.0的n次实数方根等于0，式子叫做

，其中n叫做根指数，a叫做

．2．分数指数幂的概念我们规定a＝(a>0，m，n均为正整数)．这就是分数指数幂的意义．我们规定a－＝(a>0，m，n均为正整数)，且0的正分数指数幂为

,0的负分数指数幂．3．指数幂的运算规律

asat＝as＋t，(as)t＝，(ab)t＝atbt，其中s、t∈Q，a>0，b>0.4．指数函数

(1)定义：函数y＝ax(a>0，a≠1)叫做

函数，它的定义域是

.负数两相反数根式被开方数0没有意义指数Rast-1-(2)性质

a>10<a<1图象性质定义域：R值域：

，图象过定点

，在(－∞，＋∞)上是

函数在(－∞，＋∞)上是

函数(0，＋∞)(0,1)减增-1-联动思考想一想：若n为正整数，＝a－b成立吗？答案：当a≥b时成立，当a<b时不成立．议一议：在指数函数y＝ax(a>0，a≠1)中，若x＝1时，y的值是什么？能否利用直线x＝1与指数函数的图象的交点位置比较底数的大小？答案：x＝1时y＝a，即过点(1，a)．可以，因为直线x＝1与指数函数y＝ax的交点纵坐标为a1＝a，所以在同一直角坐标系中，画出几个指数函数的图象和直线x＝1，由于它们与直线x＝1的交点的上下位置与纵坐标大小相对应，从而直观地得到底数的大小，如图就可以得到a>b>1>c>d.-1-联动体验1．(2010·江苏南京)已知a>0，且a≠1，则函数f(x)＝ax＋a－x是________函数(奇偶性)．答案：偶2．(2010·江苏无锡)设函数f(x)＝a－|x|(a>0，且a≠1)，f(2)＝4，则f(－2)与

f(－1)的大小关系是________．解析：∵f(2)＝4，∴

＝4，∴a＝，∴f(x)，∴f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x是增函数，∴x<0时，f(x)是减函数，∴f(－2)>f(－1)．答案：f(－2)>f(－1)3．(2010·南京市调研测试)已知集合M＝{－1,1}，N＝{x|2x＋1<4，x∈Z}，则M∩N＝________.

解析：N＝{－1,0}，M∩N＝{－1}．答案：{－1}-1-4．(2010·泰兴中学月考)方程3x－1＝的解是________．解析：3x－1＝3－2，∴x－1＝－2，解得x＝－1.

答案：x＝－15．右图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是________．解析：解法一：当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大时，在第一象限内，图象越靠近y轴；当底数大于0且小于1时，图象下降，且在第一象限内，底数越小，图象越靠近x轴．故可知b<a<1<d<c.

解法二：令x＝1，由图知c1>d1>a1>b1，∴b<a<1<d<c.-1-考向一指数的化简与运算-1-反思感悟：善于总结，养成习惯1．一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时还要注意运算顺序问题．2．对于计算结果，如果题目以根式形式给出，则结果用根式的形式表示；如果题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式给出．3．结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．-1-考向二指数函数性质的应用【例2】已知2x2＋x≤x－2，求函数y＝2x－2－x的值域．解：∵2x2＋x≤2－2(x－2)，∴x2＋x≤4－2x，即x2＋3x－4≤0，得－4≤x≤1.又∵y＝2x－2－x是[－4,1]上的增函数，∴2－4－24≤y≤2－2－1故所求函数的值域是.反思感悟：善于总结，养成习惯指数函数的性质主要有：定义域、值域、单调性及其图象所过的定点，对于这些性质除了直接应用外，更多的是对指数函数变形后应用．如求函数y

＝af(x)(a>0，a≠1)的定义域或求其值域等，在解决这类问题时应充分利用指数函数的性质．-1-迁移发散2．已知f(x)＝x3(a>0且a≠1)．

(1)讨论f(x)的奇偶性；

(2)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．解：(1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0，x∈R}．对于定义域内任意x，-1--1-考向三指数函数图象的应用【例3】已知函数y＝|x＋1|.(1)作出图象；

(2)由图象指出其单调区间；

(3)由图象指出当x取什么值时函数有最值．(2)由图象知函数在(－∞，－1]上是增函数，在(－1，＋∞)上是减函数．(3)由图象知当x＝－1时，函数有最大值1，无最小值．-1-思感悟：善于总结，养成习惯1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．2．一些有关指数函数、不等式问题的求解，常利用相应的指数型函数图象数形结合求解．迁移发散3．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．解析：数形结合．当a>1时，如图①，只有一个公共点，当0<a<1时，如图②，由图象可知0<2a<1，∴0<a<.

答案：-1-课堂总结感悟提升1．对于分数指数幂的理解应注意以下问题

(1)分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法，分数指数幂与根式可以相互转化．

(2)分数指数幂不能随心所欲地约分，例如要将a写成a等，必须认真考查a

的取值才能决定，例如(－1)＝＝1，而(－1)＝无意义．

(3)在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，并尽可能地统一成分数指数幂形式，再利用幂的运算性质