【第一方案一轮复习】函数的奇偶性与周期性

第四节函数的奇偶性与周期性点击考纲1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.关注热点1.函数的奇偶性是函数的一个重要性质，为高考中的必考知识点．2.常与函数的概念、图象、单调性、周期性、对称性等综合考查.1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有

，那么函数f(x)是偶函数关于

对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有

，那么函数f(x)是奇函数关于

对称f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)y轴原点2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝

，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中

的正数，那么这个

正数就叫做f(x)的最小正周期．f(x)存在一个最小最小1．奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是函数具有奇偶性的什么条件？提示：定义域关于原点对称，必要不充分条件．2．如果T是函数y＝f(x)的周期，那么kT(k∈Z)是否一定也是该函数的周期？提示：当k＝0时，不是；k≠0时，是．1．对任意实数x，下列函数为奇函数的是(

)A．y＝2x－3

B．y＝－3x2C．y＝ln5x D．y＝－|x|cosx解析：A为非奇非偶函数，B、D为偶函数，C为奇函数．设y＝f(x)＝ln5x＝xln5，∴f(－x)＝－xln5＝－f(x)．答案：C

答案：C答案：D4．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝(

)A．－2 B．2C．－98 D．98解析：∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，f(7)＝f(7－8)＝f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2.答案：A【思路导引】

(4)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)．∴对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)．故f(x)为奇函数．【方法探究】

判断函数奇偶性的一般方法：(1)首先确定函数的定义域，看其是否关于原点对称，若是，再根据奇偶函数的定义判断，否则，既不是奇函数也不是偶函数．(2)若定义域关于原点对称，则可用下述方法进行判断：①定义判断：f(－x)＝f(x)⇔f(x)为偶函数，f(－x)＝－f(x)⇔f(x)为奇函数．②等价形式判断：f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数，f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数．(2009·江西高考)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2008)＋f(2009)的值为(

)A．－2

B．－1C．1 D．2【思路导引】

当x∈[0,2)时，f(x)已知，欲求f(－2008)＋f(2009)的值，只需转化到已知的区间[0,2)上，利用函数的周期性和奇偶性，问题可解．【解析】

∵f(x)是偶函数，∴f(－2008)＝f(2008)，当x≥0时，f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的周期为2，则f(2009)＝f(1)．又x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)因此f(－2008)＋f(2009)＝f(2008)＋f(1)＝f(0)＋f(1)＝log21＋log22＝1.【答案】

C【方法探究】

紧紧抓住题目的条件关系——奇偶性与周期性，这是解题的关键，并注意体会本题中转化化归思想的运用．关于函数周期性常用的结论：(1)定义在R上的函数f(x)，①若有两条对称轴x＝a，x＝b，则f(x)是周期函数且2|a－b|是它的一个周期．②若有两个对称中心(a,0)，(b,0)，则f(x)是周期函数且2|a－b|是它的一个周期．③若有一个对称中心(a,0)和一条对称轴x＝b，则f(x)是周期函数且4|a－b|是它的一个周期．

函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1∈D，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明；(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．【思路导引】

(1)依题设可令x1＝x2＝1，则可求f(1)的值；(2)令x1＝－1，x2＝x，即可找到f(－x)与f(x)间的关系，但需求f(－1)的值；(3)充分利用奇、偶函数在其对称区间上的单调性求解．【解析】

对x取特殊值可求出f(1)的值，同样利用特殊值构造出f(－x)与f(x)即可解题(2)，对于(3)将抽象不等式转化成具体的不等式是关键，这就要充分利用单调性的定义．(1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.(2)令x1＝x2＝－1，得f(－1)＝0，令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3.【方法探究】

(1)本题易出现不知如何脱掉“f”，原因是不理解“f”为对应法则或没注意到函数单调性．(2)本题利用偶函数性质f(|x|)＝f(x)．避免了不必要的讨论．3．将本例中的条件f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)改为f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)，定义域D＝{x|x≠0}改为D＝R，求解第(2)，(3)问．解析：(2)令x1＝x2＝0，得f(0)＝0；令x1＝x，x2＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(3)∵f(4)＝1，∴f(8)＝f(4)＋f(4)＝2，f(12)＝f(4＋8)＝f(4)＋f(8)＝3.又∵f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，∴f(3x＋1＋2x－6)≤f(12)，即f(5x－5)≤f(12)．又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，f(0)＝0，且f(x)为奇函数，∴f(x)在R上是增函数，1．(2009·陕西高考)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)(f(x2)－f(x1))>0.则当n∈N*时，有(

)A．f(－n)<f(n－1)<f(n＋1)B．f(n－1)<f(－n)<f(n＋1)C．f(n＋1)<f(－n)<f(n－1)D．f(n＋1)<f(n－1)<f(－n)【解析】

由(x2－x1)(f(x2)－f(x1))>0得f(x)在x∈(－∞，0]为增函数．又f(x)为偶函数，所以f(x)在x∈(0，＋∞

)为减函数．又f(－n)＝f(n)且0≤n－1<n<n＋1，∴f(n＋1)<f(n)<f(n－1)，即f(n＋1)<f(－n)<f(n－1)．【答案】

C

2．(2009·山东高考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m>0)，在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.【解析】

因为定义在R上的奇函数，满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(4－x)＝f(x)，因此，函数图象关于直线x＝2对称且f(0)＝0.由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1<x2<x3<x4.由对称性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8.【答案】

－8【考向分析】从近两年的高考试题看，函数奇偶性、周期性的应用是高考的热点，多以选择题和填空题的形式出现，与函数的概念、图象、性质综合在一起考查，难度一般不大．预测2012年将以三角函数的周期性和抽象函数的奇偶性与周期性为主要考点，重点考查逻辑推理与理解能力．答案：A2．(2011·泉州模拟)若x∈R、n∈N*，定义：Mxn＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋n－1)，例如M－55＝(－5)(－4)(－3)(－2)(－1)＝－120，则函数f(x)＝xMx－919的奇偶性为