【2022高考数学一轮复习】点直线平面之间的位置关系

1第一课时点、直线、平面之间的位置关系

第九章立体几何1.平面的三个基本性质公理1：_________________________________________________________.作用：（ⅰ）判断和证明直线是否在平面内；（ⅱ）证明点在平面内.公理2：________________________________________________.推论：____________________________________________.2如果一条直线上的两点在一个过不在一条直线上的三点，经过一条直线和直线外的一点平面内，那么这条直线在此平面内有且只有一个平面有且只有一个平面推论2：__________________________________________.推论3：______________________________.公理2及其推论的作用：既是空间中确定平面的依据，也是证明两个平面重合的依据，还为立体几何问题转化为平面几何问题提供了理论依据和具体办法.公理3：___________________________________________________________________.3经过两条相交直线有且只有经过两条平行直线有且只有一个平面那么它们有且只有一条过该点的公共直线一个平面如果两个不重合的平面有一个公共点,作用：（ⅰ）判断和证明两平面是否相交；（ⅱ）证明点在直线上；（ⅲ）证明三点共线；（ⅳ）证明三线共点.公理4：_________________________________________.2.空间两条直线的位置关系4平行于同一条直线的两条直线互相平行（1）空间两条直线的位置关系包括_________________三种，其中异面直线是指______________________的两条直线.（2）异面直线所成角的取值范围是_________.可通过中点平移、顶点平移及补形平移将异面直线所成的角转化为相交两直线的夹角进行求解.5（0，90°］不同在任何一个平面内相交、平行、异面1.空间四点中，用甲表示“有三点共线”，用乙表示“四点共面”，则（）A.甲乙B.乙甲C.甲乙D.“甲乙”与“乙甲”均不对6A2.下列命题中正确的是()A.经过三点确定一个平面B.经过一条直线和一个点确定一个平面C.四边形确定一个平面D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面7D经过不在同一直线上的三点确定一个平面；经过一条直线和直线外的一点确定一个平面；空间的四边形不可能确定一个平面.83.已知下列四个命题：①平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点;②经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面;③经过两条相交直线，有且只有一个平面;④如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合.9其中正确的命题的个数是()A.1B.2C.3D.4

根据公理3知，两个平面相交于某点，必有一条经过该点的公共直线，故①是错误的；②和③可以用公理2进行证明，④也是正确的.所以正确的命题有三个，故选C.10

C4.下列命题中正确的有(

)

①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；

②若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；

③若两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；

④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面.

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个11B

①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α或l∩α，故①错；

②若l与平面α相交，则平面α内过该点的直线与l相交，故②错；

③两异面直线中的一条平行于一个平面，那么另一条与该平面有相交、平行、在平面内三种；

④正确，故选B.125.已知平面α,β和直线m,给出条件：①m∥α；②m⊥α；③mα；④α⊥β；⑤α∥β.

(ⅰ)当满足

条件时，有m∥β；

(ⅱ)当满足

条件时，有m⊥β.(填所选条件的序号)

①⑤和②④都不能推出m∥β，因为m可能在β内.满足m∥β的条件只有③⑤，满足m⊥β的条件只有②⑤.13③⑤②⑤1.公理体系及其符号理解（1）下列推理中错误的是_____.A.A∈l，A∈α，B∈l，B∈αlαB.A∈α，A∈β，B∈α，B∈βα∩β=ABC.lα，A∈lAαD.A、B、C∈α，A、B、C∈β且A、B、C不共线α与β重合14C（2）回答下列问题：（ⅰ）不重合的三条直线相交于一点，最多能确定_____个平面；相交于两点，最多能确定____个平面.（ⅱ）分别和两条异面直线都相交的两直线的位置关系是______________.15异面或相交232.空间四边形的特征如下图，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH是_________，若再加上条件AC=BD，则四边形EFGH又是______.16平行四边形菱形3.正方体中的线面位置关系(1)如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，与AB平行的平面是___________________________；与体对角线AC1垂直的面对角线有______________________________________.17平面A1B1C1D1和平面CDD1C1BD，B1D1，B1C，A1D，A1B，D1C

(2)如图,正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为________.4.等腰三角形的“三线合一”问题如下图，在三棱锥V—ABC中，VA=VC，AB=BC，则VB与AC的位置关系是__________________________________________.18中点即可用三线合一证明线面垂直）垂直(取AC的题型1：共点、共线、共面问题如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是A1A的中点，求证：

(1)E、C、D1、F四点共面；

(2)CE、D1F、DA三线共点.19

(1)连接A1B、CD1.因为E是AB的中点，F是A1A的中点，则EF∥A1B.又在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B∥D1C，所以EF∥D1C.故E、C、D1、F四点共面.20

(2)由(1)知，EF∥D1C且EF=

D1C，故四边形ECD1F是梯形，两腰CE、D1F相交，设其交点为P，则P∈CE,P∈D1F.又CE平面ABCD，所以P∈平面ABCD.同理，P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=AD，所以P∈AD,所以CE、D1F、DA三线共点.21

【评注】公理体系是整个立体几何的基础，是空间线面位置关系的支撑，是学生形成空间想象能力的基本依据.熟练掌握四个公理及其推论，是解决共点、共线、共面问题的关键.公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论(过直线和直线外一点、两条相交直线、两条平行直线有且只有一个平面)是判断或证明点线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据.要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理.22如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和CB上的点，G、H分别是CD和AD上的点，且EH与FG相交于K.求证：EH、BD、FG相交于同一点.

因为EH∩FG=K，23证明所以K∈EH,K∈FG.又EH平面ABD，所以K∈平面ABD，同理，K∈平面CBD.又平面ABD∩平面CBD=BD，根据公理3知，K∈BD.所以EH、BD、FG相交于同一点.24

题型2：空间线、面的位置关系

已知a、b、c是直线，β是平面.给出下列命题：

①若a⊥b,b⊥c,则a∥c；

②若a∥b,b⊥c,则a⊥c；

③若a∥β,bβ,则a∥b；

④若a与b异面，且a∥β，则b与β相交；

⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a、b都垂直.25

其中真命题的个数是(

)

A.1

B.2

C.3

D.4

①若a⊥b,b⊥c,则a与c平行、相交、异面均有可能，故①错误；③若a∥β,bβ，则a∥b或a、b异面，故③错误；④若a与b异面，且a∥β，则b与β相交、平行，或bβ均有可能；⑤若a与b异面，则有无数条直线与a、b都垂直.综上知，只有②正确.26A

【评注】本题考查空间线面的位置关系，考查学生对符号语言的理解和掌握程度.可以从以下两个方面进行分析：一是结合定理，借助于课桌模型或正方体模型中的线面位置关系进行分析；二是充分运用自己手中的笔、书、书桌进行比划和试验.27

下列正方体或正四面体中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是（

）28

A中，QS和PR都平行于上底面的对角线,所以PR∥QS.B中，易判断QR∥PS；C中，易证明PQRS；D中，如图，因为RS∥CD，PQ∥BD，而CD∩BD=D，所以RS与PQ不平行.又因为RS∥平面BCD，所以RS与PQ不相交，所以P，Q，R，S四点不共面，故选D.29题型3：空间两条直线的位置关系一个正方体的纸盒展开后如图.在原正方体的纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM成60°角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.30其中正确的是(

)

A.①②

B.③④

C.②③

D.①③原正方体如图所示，连接CM.AB可平行移动到CM位置，即AB∥CM.在正方形CEMF中，CM⊥EF，故AB⊥EF，①正确，②错误；同理，MN⊥CD，故④错误，只有①③正确，故选D.31D

【评注】本题考查学生的空间想象能力.解决问题的关键是将其还原成正方体，要注意字母的相应位置千万不能搞错.空间两条直线的位置关系有三种：平行、相交和异面.对于异面直线，考纲要求也仅仅是了解而已，但也必须会判断，这对理解两条异面直线的垂直问题有很大帮助.32（2009·茂名二模）给出下列命题：①若平面α上的直线m与平面β上的直线n为异面直线，直线l是α与β的交线，那么l至多与m、n中一条相交；②若直线m与n异面，直线n与l异面，则直线m与l异面；③一定存在平面γ同时和异面直线m、n都平行.其中正确的命题是（）A.①B.②C.③D.①③①错误，l可能与m,n两条都相交；②错误，m与l也可共面；③正确，故选C.33C本节是在空间几何体的基础上，加深学习有关的公理、定理和思想方法，对于提高空间概念的理解和认识具有很好作用.这节是立体几何的基础内容，四个公理及其推论是判断共面、共线的依据，也是将空间问题转化为平面问题的主要依据，是处理立体几何问题的基本数学方法.通过空间点、线、面的位置关系的考查，考查学生对平面的基本性质的理解，考查学生空间想象能力与图形、符号的转化能力，34考查学生对空间两条直线、直线和平面、平面和平面的位置关系的准确理解和熟练掌握.异面直线概念的理解是本节的一个难点，直接证明往往比较困难，常常考虑用反证法证明它的等价命题——逆否命题.如常将异面直线的判断或证明问题通过反证法转化为共面的判断或证明问题，若能排除平行和相交两种共面关系，则异面关系显然成立.351.公理3的理解和用途将两个三角板的某个顶点拼在一起，则这两个三角板所在的平面就有一个公共点，必有一条过该点的公共直线.若P∈α,P∈β,α∩β=l，则P∈l.公理3常用来证明三点共线或三线共点.2.异面直线概念的理解和判断已知aα,bβ，若α∥β,则a,b平行或异面；若α与β相交，则a,b相交、平行或异面.异面直线的定义中关键是理解“不同在任何一个平面内”.363.证明空间有关问题的方法：（1）证明若干点共线问题时，只需证明这些点同在两个相交平面内；（2）证明点、线共面问题的两种基本方法；（ⅰ）先假定部分点、线确定一个平面，再证余下的点、线在此平面内；（ⅱ）分别用部分点、线确定两个（或多个）平面，再证这些平面重合；（3）证明多线共点时只需证明其中两线相交，再证其余的直线也过这个交点.371.（2009·浙江卷）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A.若l⊥α，α⊥β，则lβB.若l∥α，α∥β，则lβC.若l⊥α，α∥β，则l⊥βD.若l∥α，α⊥β，则l⊥β38C2.(2009·湖南卷)平行六面体ABCD-A1B1C