第07讲不等式的基本性质（解析版）

第07讲不等式的基本性质【学习目标】1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法比较两个实数的大小.3.掌握不等式的基本性质.4.运用不等式的性质解决有关问题.【基础知识】知识点一两个实数大小的比较(1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a<b⇔a－b<0.知识点二等式的性质性质1如果a＝b，那么b＝a；性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4如果a＝b，那么ac＝bc；性质5如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).知识点三不等式的性质注意这些性质是否可逆(易错点)性质1如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.性质2如果a>b，b>c，那么a>c，即a>b，b>c⇒a>c.性质3如果a>b，那么a＋c>b＋c.性质4如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.性质5如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.性质6如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.【考点剖析】考点一：实数(式)的比较大小例1．比较大小：__________填”或“【答案】【解析】【分析】由于，所以比较两分母的大小即可【详解】因为，且，所以所以故答案：考点二：利用不等式的性质判断命题的真假例2．（多选题）1．下列命题为真命题的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】ABC【解析】【分析】对于A：利用同向不等式相加，即可证明；对于B、C：利用不等式的可乘性可以证明；对于D：取特殊值即可否定结论.【详解】对于A：因为，所以.因为，利用同向不等式相加，则有.故A正确；对于B：因为，所以，所以，对两边同乘以，则有.故B正确；对于C：因为，所以.因为，所以.对两边同乘以，有，所以.故C正确；对于D：取，满足，但是，所以不成立.故D错误.故选：ABC考点三：利用不等式的性质证明不等式例3．（1）求证：；（2）求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）利用作差法即证；（2）利用作差法即证.【详解】（1）∵，∴；（2）∵，当且仅当时等号成立，∴考点四：利用不等式的性质求范围例4．（1）已知，，求和的取值范围；（2）已知，，求的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根据不等式的性质求解（2）由待定系数法配凑后求解【详解】（1），又，，又，（2）设，得即而，【真题演练】1．已知，下列选项中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】用不等式的基本性质得解.【详解】，但，，A、C错，，所以.B正确.，但，D错.故选:B.2．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm【答案】B【解析】【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．【详解】设人体脖子下端至肚脐的长为xcm，肚脐至腿根的长为ycm，则，得．又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm．故选B．【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．3．已知为非零实数，且，则下列命题成立的是A． B． C． D．【答案】C【解析】【详解】若a<b<0,则a2>b2，A不成立；若B不成立；若a=1，b=2，则,所以D不成立,故选C.4．已知实数a，b，c.A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2＜100B．若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，则a2+b2+c2＜100C．若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，则a2+b2+c2＜100D．若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，则a2+b2+c2＜100【答案】D【解析】【详解】试题分析：采用排除法：A.令可排除此选项，B.令可排除此选项，C.令可排除此选项，故选D．【考点】不等式的性质．【方法点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时能够对四个选项逐个利用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式．5．若，则下列说法正确的是（

）A．若，，则 B．若，则C．若，则 D．若，则<【答案】C【解析】【分析】对于AB，举例判断，对于CD，利用不等式的性质判断【详解】对于A，若，则，所以A错误，对于B，若，则，所以B错误，对于C，因为，所以由不等式的性质可得，所以C正确，对于D，因为，所以，所以，即，所以D错误，故选：C6．已知，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质即可求解.【详解】解：因为，，所以，，所以，所以的取值范围是，故选：D.7．已知，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．无法确定【答案】B【解析】【分析】作差可得x-y的表达式，根据题意，分析可得x-y的正负，即可得答案.【详解】，因为，所以，又，所以，即.故选：B8．已知且，则的取值范围是_______（答案用区间表示）【答案】（3,8）【解析】【分析】根据不等式的性质，求得待求量的范围.【详解】设，则，解得，即，又且，且，.故答案为：（3,8）9．若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则的取值范围是_____【答案】【解析】【详解】由得由整数有且仅有1，2，3知，解得10．设，，求，，的范围.【答案】，，【解析】【分析】根据不等式的基本性质，先求出与的范围，再由可乘性得出的范围即可.【详解】∵，，∴，，，，∴，，∴.故，，．【过关检测】1．如果，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】举例判断A，B，D错误，再证明C正确.【详解】由已知可取，则，A错，，B错，，，D错，因为，所以所以，故，C对，故选：C.2．如果，那么下面不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质依次判断即可.【详解】若，则，故A错误；若，，则，故B错误；若，则，故C正确；若，则，故D错误.故选：C.3．已知，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由不等式的性质求解【详解】，故，，得故选：C4．铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（

）A．a+b+c≤M B．a+b+c>M C．a+b+c≥M D．a+b+c<M【答案】A【解析】【分析】根据长、宽、高的和不超过Mcm可直接得到关系式.【详解】长、宽、高之和不超过Mcm，.故选：A.5．下列命题中，正确的是（

）A．若，，则 B．若，则C．若，，则 D．若，则【答案】C【解析】【分析】根据不等式的基本性质及特殊值一一判断即可．【详解】解：对于A：当，，，，满足，，但是，故A错误；对于B：当时，故B错误；对于C：由，所以，因为，所以，故C正确；对于D：当，满足，但是，故D错误；故选：C6．若，，则与的大小关系为（

）A． B． C． D．不能确定【答案】B【解析】【分析】利用作差法判断大小即可【详解】因为，所以，故选：B7．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若a，b，，则下列用不等号表示的真命题是（

）A．且，则 B．若，则C．若，则 D．若，，则【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质逐一判断即可.【详解】对于A，当，不等式不成立，故错误；对于B，取，，故错误；对于C，因为，所以，即，两边同时除以得，故正确；对于D，当，不等式不成立，故错误.故选：C.（多选题）8．若，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】【分析】利用作差法对四个选项一一比较，即可得到正确答案.【详解】对于A：因为，所以.所以，所以.故A错误；对于B、C：因为，所以.所以，所以.故B正确，C错误；对于D：因为，所以，所以.故

D正确.故选：BD（多选题）9．已知，，满足，且，则下列选项一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】【分析】分析的符号，由不等式的基本性质对选项逐一判断【详解】，且，可得对于A，，故，A正确对于B，，故，B正确对于C，的符号不确定，无法比较，故C错误对于D，，故，D正确故选：ABD10．已知，，则_______．（填“>”或“<”）【答案】<【解析】【分析】作差判断正负即可比较.【详解】因为，所以.故答案为：<.11．对于实数a，b，c判断以下命题的真假（1）若，则；()（2）若，则；()（3）若，则；()（4）若，则；()（5）若，则．()【答案】

假命题

真命题

真命题

真命题

真命题【解析】【分析】根据不等式的基本性质和实数的性质，逐个推理运算，即可求解.【详解】（1）中，因为的符号不定，所以无法判定和的大小，故原命题为假命题；（2）中，因为，所以，可得，故原命题为真命题；（3）中，因为，所以，又因为，所以，综合可得，故原命题为真命题．（4）中，根据实数的性质，两个负实数，绝对值大的反而小，故原命题为真命题．（5）中，因为且，所以且，所以且，可得，又因为，所以，故原命题为真命题．12．设，，则，的大小关系为_______.【答案】【解析】先分别将平方，再进行大小比较即可．【详解】，两式的两边分别平方，可得，，显然.所以.故答案为：【点睛】此题主要考查了无理数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较平方法等．属于基础题.13．（1）比较与的大小；（2）已知，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求差法进行大小比较即可；（2）求差法去证明即可解决.【详解】（1）由，可得．（2），∵，∴，，，∴，∴．14．已知，求的取值范围．【答案】【解析】【分析】先求出的取值范围，结合即可求