平面问题的极坐标解答

平面问题的极坐标解答要点：（1）极坐标中平面问题的基本方程：——平衡方程、几何方程、物理方程、相容方程、边界条件。（2）极坐标中平面问题的求解方法及应用应用：圆盘、圆环、厚壁圆筒、楔形体、半无限平面体等的应力与变形分析。弹性力学§4-1极坐标中的平衡微分方程§4-2极坐标中的几何方程与物理方程§4-3极坐标中的应力函数与相容方程§4-4应力分量的坐标变换式§4-5轴对称应力与相应的位移§4-6圆环或圆筒受均布压力压力隧洞§4-7曲梁的纯弯曲§4-8圆盘在匀速转动中的应力与位移§4-9圆孔的孔边应力集中§4-10楔形体的楔顶与楔面受力§4-11半平面体在边界上受法向集中力§4-12半平面体在边界上受法向分布力主要内容

弹性力学§4-1极坐标中的平衡微分方程1.极坐标中的微元体xyOPABC体力：应力：PA面PB面BC面BC面应力正向规定：正应力——拉为正，压为负；剪应力——

r、θ的正面上，与坐标方向一致时为正；r、θ的负面上，与坐标方向相反时为正。弹性力学xyOPABC2.平衡微分方程考虑微元体平衡（取厚度为1）：将上式化开：（高阶小量，舍去）弹性力学xyOPABC两边同除以：两边同除以，并略去高阶小量：弹性力学xyOPABC——剪应力互等定理于是，极坐标下的平衡方程为：（4－1）方程（4－1）中包含三个未知量，而只有二个方程，是一次超静定问题，需考虑变形协调条件才能求解。弹性力学§4-2极坐标中的几何方程与物理方程1.几何方程xyOPAB(1)只有径向变形，无环向变形。径向线段PA的相对伸长：（a）径向线段PA的转角：（b）线段PB的相对伸长：（c）环向线段PB的转角：（d）弹性力学xyOPBA径向线段PA的相对伸长：（a）径向线段PA的转角：（b）环向线段PB的相对伸长：（c）环向线段PB的转角：（d）剪应变为：（e）弹性力学yxOPBA(2)只有环向变形，无径向变形。径向线段PA的相对伸长：（f）径向线段PA的转角：（g）环向线段PB的相对伸长：环向线段PB的转角：（h）（i）剪应变为：（j）弹性力学(3)总应变整理得：（4－2）——极坐标下的几何方程弹性力学2.物理方程平面应力情形：平面应变情形：（4－3）（4－4）弹性力学弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：平衡微分方程：（4－1）几何方程：（4－2）物理方程：（4－3）(平面应力情形)弹性力学边界条件：位移边界条件：应力边界条件：为边界上已知位移，为边界上已知的面力分量。（位移单值条件）rrr弹性力学rlr弹性力学a取半径为a的半圆分析，由其平衡得：弹性力学弹性力学§4站-3叛极罗坐标沫中的婚应力盏函数录与相金容方学程1.怪直读角坐秩标下叙变形哗调方幼程（卡相容坡方程盒）（2画-2攀2）（2根-2肌3）（平源面应睬力情滩形）（2妄-2生5）(2响-2畜7)(2设-2编6)应力虽的应出力函禁数表派示：弹性膝力学2.枣极执坐标水下的假应力栽分量朴与相桂容方哄程方法喘1：保（步醒骤）（1永）利瓦用极万坐标胞下的味几何早方程触，求夸得应舞变表产示的从相容透方程批：（2堆）利成用极搅坐标怀下的旬物理缝方程岭，得公应力蹦表示羞的相香容方农程：（常峡体力吧情形幻玉）（3渡）利挂用平衡象方程求出族用应权力函聚数表番示的倡应力土分量哥：（4课）将诉上述尿应力裤分量板代入篇应力足表示割的相死容方肾程，雅得应常力函富数表主示的就相容狮方程湿：（常核体力饿情形裁）弹性兰力学方法张2：安（用能极坐虑标与锣直角宁坐标衫之间徒的变诸换关腾系求潜得到视）xyOrPxy（1产）极炒坐标未与直筹角坐橡标间占的关化系：（2竞）应俱力分尤量与坚相容暂方程群的坐汁标变候换：应力饮分量颗的坐完标变绸换弹性叠力学(a册)(b页)弹性事力学(c暖)xyOrPxy由直皂角坐钟标下昨应力富函数磁与应邪力的锻关系栗（2码－2稳6）仿：弹性检力学弹性贯力学极坐加标下愧应力店分量携计算岭公式携：（4风－5楚）可以穿证明柴：式务（4镇－5万）满朝足平烦衡方示程（赛4－遇1）仁。相容钻方程诊的坐劣标变宾换说明暖：式妻（4陶－5击）仅付给出鉴体力测为零品时的俯应力迈分量件表达仍式。弹性爷力学相容柱方程鸦的坐余标变班换(a伯)(b摧)将式校(a礼)与晌(b鞭)相隆加，哭得弹性仰力学得到桥极坐袜标下漫的哭L醒ap贺la冒ce竞微迎分算柔子：极坐裕标下纽奉的相被容方颈程为厌：（4怖－6披）方程免（4伐－6细）为吨常体常力情拌形的直相容插方程要。说明袄：弹性禾力学弹性抹力学平极坐锦标求些解归研结为结论奇：（1晓）由问均题的羽条件咏求出秋满足萄式（点4－梅6）股的应爸力函班数（4除－6唇）（2闻）由式拥（4购－5托）求针出相河应的累应力能分量警：（4贯－5若）（3水）将上述应力分量满足问题的边界条件：位移切边界发条件偿：应力挖边界伸条件至：为边界上已知位移，为边界上已知的面力分量。（位这移单牛值条肠件）弹性箱力学3.衡轴锹对称惧问题且应力狠分量柄与相棕容方请程轴对颈称问青题：qO（4－5）（4－6）由式咏（4退－5广）和格（4汗－6臣）得魂应力牌分量千和相管容方备程为乌：（4那－1丽0）应力警分量煮：相容嘉方程局：弹性醉力学§4宇-4裕应力齿分量打的坐滔标变店换式(1弯)用极涝坐标动下的孩应力狼分量呀表示避直角专坐标园下的侍应力辟分量(2挪)用直脑角坐依标下计的应挂力分腥量表居示极评坐标寇下的铲应力倚分量（4跃－8肢）（4俗－9为）弹性灾力学§4奴-5干轴拒对称肿应力花与相偿应的选位移求解粥方法传：——伏逆解它法1.混轴漆对称胀问题辨应力敢分量乡丰与相忧容方徒程（1户）应咏力分丈量（4商－1饿0）（2绳）相透容方惭程2.甩相缘瑞容方产程的羡求解将相却容方饭程表缴示为虑：4阶缝变系脆数齐蚕次微库分方炊程将其拖展开乡丰，有弹性恒力学——4阶变系数齐次微分方程方程两边同乘以：——犁E限ul猾er朴齐枯次微菌分方拼程令：有代入上述方程其特征方程为方程的特征值弹性李力学方程你的特锄征根泡为：于是僵，方旧程的昨解为言：将代回：（4母－1敏1）——巡寿轴对章称问息题相钉容方甜程的柿通解乌，A、B、C、D为待具定常森数。3.戒应糊力分肉量（4翼－1费0）将方逆程（工4-鬼11踪蝶）代丽入应床力分积量表兰达式（4健－1厉2）——揪轴对况称平解面问基题的泡应力舟分量勾表达晌式弹性踪蝶力学4.位移分量对于霞平面丝式应力锹问题修，有缎物理途方程（a束）积分弱式（否a）科，有弹性针力学（b痰）——是任意的待定函数将式桥（b渐）代丽入式晃（a雀）中困第二剃式，批得将上桨式积党分，盛得:（c偏）——是r任意函数将式朗（b羞）代兼入式踢（c巩）中橡第三忧式，痕得或写烤成：要使膏该式桌成立堡，两雾边须酸为同救一常盘数。弹性星力学（d励）（e调）式中F为常蔽数。挑对其斜积分鸦有：（f想）其中H为常投数。肥对式运（e耕）两斤边求遇导其解烟为：（g庆）（h提）将式腊（f捕）晨（h届）代弊入式很（b换）铲（c乱），矮得（b）（c）（4优-1痛3）弹性龄力学平面蹲轴对亚称问变题小习结：（4玻－1鞭1）（1泊）应力直函数（2义）应力欠分量（4穷－1肿2）（3阴）位移统分量（4统-1哄3）式中索：A、隔B、歉C、名H、仙I、醋K由应屑力和松位移屑边界禁条件剥确定友。弹性层力学（3）位移分量（4-13）式中：A、B、C、H、I、K由应力和位移边界条件确定。由式伞（4惨-1规3）享可以满看出顽：应力动轴对扶称并侧不表郑示位热移也毅是轴田对称罢的。但在爷轴对帮称应蜓力情森况下污，若热物体货的几剖何形掠状、乌受力穿、位赛移约翻束都拘是轴眠对称佣的，河则位宽移也腐应该姿是轴恩对称狸的。这戚时，惧物体恒内各黎点都欺不会有环升向位践移，析即不希论r和θ取何败值，峡都应将有：录。对这趴种情河形，愿有式（洒4-漫13斥）变稍为：[4饱-1首3（莲a）倡]弹性栽力学弹性农力学国平面敲问题母极坐迫标求史解的尘基本装方程愿：平衡盛微分妄方程高：（4灭－1本）几何郊方程炭：（4躁－2傍）物理情方程榨：（4荐－3华）(平兰面应闯力情侮形)弹性饶力学弹性垂力学尸平面北问题抓极坐题标求馒解步仰骤：（1乒）由问位题的侮条件畅求出愤满足匪式（德4－嘴6）镇的应悉力函晃数（4腐－6拣）（2纱）由式轻（4览－5魄）求骂出相玻应的右应力罗分量究：（4须－5伤）（3面）将上述应力分量满足问题的边界条件：位移乔边界月条件傅：应力磨边界希条件哥：为边界上已知位移，为边界上已知的面力分量。（位狮移单艺值条福件）弹性捉力学平面位轴对尼称问累题的昼求解籍：（4校－1沾1）（1饺）应力舰函数（2广）应力匹分量（4慰－1陡2）（3晒）位移桶分量（4贪-1纪3）式中处：A、晃B、蝇C、终H、乱I、乡丰K由应倾力和凳位移怖边界秤条件尼确定址。对于援多连密体问事题，汇位移贸须满师足位兔移单米值条伍件。弹性荣力学极坐紧标下石的平面返问题爹的基池本方程（4－2）几何方程蜜：（4揉－1殃）物理方程描：（4－3）平面忘应力如情形（4－4）平面绞应变升情形平衡微分方程坛：弹性熟力学边界将条件：位移边界条件：应力边界条件：为边界上已知位移，为边界上已知的面力分量。（位州移单灶值条栋件）相容瞧方程：（4－6）——常体季力情形番的相询容方蓬程。应力些分量染计算怕式：（4－5）弹性洋力学弹性衡力学尽极坐碎标求谈解归辆结为（1）由问题的条件求出满足式（4－6）的应力函数（4－6）（2）由式（4－5）求出相应的应力分量：（4－5）（3）将上述应力分量满足问题的边界条件：位移边界条件：应力边界条件：（位木移单寸值条巷件）弹性烂力学（1边）应姜力分岭量（4－10）（2绪）相兰容方邮程轴对岔称问怒题的佩应力分分量现与相乡丰容方堵程：弹性章力学平面茄轴对颠称问愧题小鼓结：（4－11）（1）应力函数（2）应力分量（4－12）（3）位移分量（4-13）式中：A、B、C、H、I、K由应力和位移边界条件确定。弹性珠力学§4慢-6饲圆环跌或圆偷筒受蜜均布博压力首压力匹隧洞1.满圆胜环或孩圆筒励受均羽布压授力已知榆：求：雕应力词分布爪。确定得应力姻分量蛋的表膝达式斥：（4－12）边界加条件听：（a毅）将式拣（4害-1帖2）殃代入膝，有萌：（b刮）弹性晒力学（b）式中绵有三盯个未泰知常踪蝶数，驰二个串方程讨不通血用确悄定。对于王多连牛体问判题，韵位移偷须满怖足位厚移单驴值条志件。位移多值项要使认单值桃，须毛有：B=挑0星，棵由式蚂（b杨）得将其脖代回州应力断分量宗式（羊4-硬12社），剃有：弹性比力学（4虚-1队4）（1辰）若堵：(牌二向页等压起情况惜)（2侧）若短：（压钻应力茧）（拉壮应力塔）弹性推力学（3跨）若味：（压驼应力设）（压纠应力丘）（4浴）若询：——秆具有储圆形猪孔道节的无编限大兆弹性兵体。边缘鹿处的侧应力跪：弹性划力学2.度压牵力隧炕洞问题尚：厚壁决圆筒逆埋在写无限肚大弹稻性体垫内，座受内线压q作用抛，求势圆筒丘的应免力。1.枣分析迎：与以插前相愚比较啦，相狐当于花两个青轴对卖称问王题：(a歌)受内膝外压愁力作异用的回厚壁女圆筒奋；(b于)仅受读外压蒙作用合的无记限大改弹性裂体。确定刷外压p的两爆个条俊件：径向鲜变形容连续额：径向竿应力粱连续怪：2.荐求解弹性誉力学2.祝求解(1虫)辉圆定筒的规应力定与边错界条饲件应力仿：（a讲）边界嚼条件雾：(2首)名无村限大慌弹性为体的喂应力这与边驱界条大件应力静：（b已）边界垂条件按：将式印（a娱）、链（b界）代绑入相公应的介边界移条件蓄，得跪到如斧下方仰程：弹性奋力学4个狗方程碰不能猾解5切个未漂知量夜，需由栗位移躬连续滋条件歪确定思。上式箩也可史整理烘为：(c喂)(d障)弹性蚊力学利用但：(e与)要使对任意的成立，须有(f蒸)对式瓦（f壳）整波理有举，有0弹性歇力学(g猎)式（艰g）导中：将式养（g愁）与洒式（狱c）桃（d至）联辫立求筐解(c)(d)（4靠-1尝6）当n<算1房诚时些，应迹力分线布如切图所项示。弹性屿力学讨论保：（1秘）压力诵隧洞欢问题陷为最际简单纹的接芬触问凤题（轨面接室触）双。完全瓣接触遮：接触膛面间放既不闭互相平脱离坚，也割不互打相滑猛动。议接触控条件煌为应力爹：位移毁：（1窄）非完头全接角触（满光滑寻接触裂）应力苏：位移土：接触傅条件典：弹性枝力学§4服-7绑曲讯梁的竟纯弯廉曲1庆.百问侮题及朱其描赤述矩形臣截面保曲梁凝：内屡半径缺为a，外农半径勤为b，在亩两端岂受有阴大小沃相等躲而转胜向相扔反的乐弯矩M作用芽（梁欺的厚唉度为蛙单位县1）侮，O为曲摔梁的屈曲率歪中心纠，两歇端面跌间极急角为β。取曲企梁的蒸曲率妄中心O为坐依标的乏原点命，并壶按图恼示建磨立坐案标系描。由于史各截蜓面上满弯矩M相同俘，因隐而可文假定材各截欣面上翠应力脾相同雄，构瓣成一须轴对楚称问待题（讨对称补轴为z轴）席。2车.房诚应混力分波量1.恭曲盟梁的峡应力弹性需力学3.慈边界售条件——映自堡然满用足（1状）（2凑）将应立力分飞量代诵入，汤有（a至）（b梅）注：此处辣为单四连体泼问题伴，（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